ции (4.6) возможно лишь в случае, когда все числа 1, 2 , ... n

равны нулю.

Имеют место следующие утверждения.

Теорема. Если хотя бы один из векторов a1 , a2 , …, an

является нулевым, то эти векторы линейно зависимы. Теорема. Если среди n векторов какие-либо (n-1) векто-

ры линейно зависимы, то все n векторов линейно зависимы.

Теорема. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости двух векторов является их коллинеарность.

Следствие 1. Если векторы a и b не коллинеарны, то они линейно независимы.

Следствие 2. Среди двух линейно независимых векторов не может быть нулевого вектора (иначе они оказались бы линейно зависимыми).

Теорема. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости трех векторов является их компланарность.

Определение. Линейное пространство R называется n- мерным, если в нем существует n линейно независимых векторов, а любые из (n+1) векторов уже являются зависимыми, то есть размерность пространства – это максимальное число содержащихся в нем линейно независимых векторов.

4.6. Базис на плоскости и в пространстве. Разложение по базису

жет быть представлен в виде некоторой линейной комбинации

быть представлен в виде некоторой линейной комбинации век-

2.Любая тройка некомпланарных векторов a , b и c образует базис в пространстве.

3.Любая пара лежащих на плоскости неколлинеарных

векторов a и b образуют базис на этой плоскости.

4.Каждый вектор d может быть единственным спосо-

бом разложен по базису a , b , c или, координаты каждого

В чем необходимость базиса?

При задании базиса линейные операции над векторами становятся обычными линейными операциями над числамикоординатами этих векторов, а именно:

Тогда в силу свойств линейных операций над векторами:

векторов n-мерного пространства R называется базисом. Теорема. Каждый вектор линейного пространства можно

представить и притом единственным способом в виде линейной комбинации векторов базиса.

Если вектора образуют произвольный базис n-мерного пространства R, то равенство x=x1e1+x2e2+…+xnen называется разложением вектора по базису , а числа x1, x2,…,xn – координатами вектора относительно этого базиса.

4.7. Декартова прямоугольная система координат

Реальное пространство, которое мы будем изучать, называется трехмерным R3. Каждая точка в нем определяется тройкой действительных чисел. Плоскость – R2.

Определение. Декартова прямоугольная система коор-

динат представляет собой три взаимно перпендикулярные оси в пространстве с общим началом О и одинаковой масштабной единицей:

Направленный отрезок OA называется радиус-вектором. Этой системе координат, отвечает тройка взаимно ортогональных единичных базисных векторов, которые обознача-

вать направляющими косинусами вектора d .

Из предыдущих теорем вытекает, что

60

z | d | cos .

Учитывая, что d – диагональ прямоугольного параллелепипеда, имеем определение длины вектора через его координаты

Из системы (4.13) следует, что сумма квадратов направляющих косинусов любого вектора равна 1

cos2 cos2 cos2 1.

Вектор однозначно определяется заданием его длины и трех направляющих косинусов.

4.8. Переход к новому базису

Пусть в пространстве R имеются два базиса: старый

61

и новый , ,…, . Каждый из векторов нового базиса можно выразить в виде линейной комбинации векторов старого базиса:

(4.14)

Найдем зависимость между координатами вектора в разных базисах. Пусть рассматриваемый вектор имеет коорди-

то есть в матричной форме

Здесь

–

62

матрица перехода, причем коэффициенты разложения новых базисных векторов по старому базису образуют столбцы этой матрицы.

63

4.9. Собственные значения и собственные векторы матрицы

Рассмотрим квадратные матрицы размера n n .

При умножении матрицы размера n n на n- мерный вектор в произведении получается n- мерный вектор:

Ax b .

Однако для любой матрицы существует набор особых векторов, таких, что произведение матрицы на вектор из такого набора равносильно умножению этого вектора на определенное число.

Определение. Число называется собственным значе-

нием матрицы А порядка n, если существует такой ненулевой

вектор x , что выполняется равенство

Ax x .

Однородная система (4.17) всегда имеет нулевое решение

x= . Для существования ненулевого решения необходимо и достаточно, чтобы определитель системы

64

пени относительно . Этот многочлен называется характеристическим многочленом матрицы A, а уравнение (4.18) – ха-

рактеристическим уравнением матрицы А.

Пример 4.1. Дан треугольник с вершинами A (-3,5,6), B (1,-5,7), C (8,-3,-1). Найти внутренний угол при вершине A .

Решение. Внутренний угол треугольника при вершине

A равен углу между векторами AB и AC . Находим координаты указанных векторов:

Решение. Определим вектор:

b c (2i j 2k ) (10i 4 j 2k ) 12i 5 j ;

65

столбцов, получим

.

Задача свелась к решению системы:

Решая систему методом Гаусса (п.3.4), приведем ее к

виду:

откуда найдем бесконечное множество ее решений (с, -2с, с), где с – произвольное действительное число.

Таким образом, для данных векторов условие (4.2) выполняется не только при 1 2 3 0 , следовательно эти векторы линейно зависимы.

66

Пример 4.4. Разложить вектор d 8; 5;13 по векто-

зис в пространстве, то есть линейно независимы. По определе-

Вычисляем ее определитель

.

Так как определитель отличен от нуля, то однородная система уравнений имеет единственное решение:

Если векторы образуют базис в пространстве, то любой

вектор d можно представить в виде линейной комбинации ба-

Следовательно,

67

Приравнивая коэффициенты при единичных векторах (ортах) , получим систему уравнений:

5 5;

16 28;

Отсюда .41 82.

2;4;

Тогда

1.

Таким образом, . d a 2b 4c

Данную задачу можно решить с помощью матрицы пере-

.

Обратная матрица

68

.

Тогда

Таким образом, . d a 2b 4c

Пример 4.5. Предприятие выпускает 4 вида продукции Р1, Р2, Р3, Р4 в количествах 50, 80, 20, 120 единиц. При этом нормы расхода сырья составляют соответственно 7; 3,5; 10, 4 кг. Определить суммарный расход сырья и его изменение при

Тогда суммарный расход сырья S есть скалярное произведение векторов и , то есть

3,5 +

По свойству скалярного произведения векторов изменение суммарного расхода сырья:

Пример 4.6. Найти собственные значения и собствен-

Решение. (а):

1. Составляем характеристическое уравнение:

69

Решая полученную систему методом Гаусса, получим:

Так как ранг системы уравнений r=1, то для получения ее решений необходимо рассматривать две свободные переменные. Полагая x2=c1, x3=c2, найдем вектор

Вопросы для самопроверки

1.Что называется вектором и модулем вектора?

2.Какие векторы называют коллинеарными, компланарными, равными?

3.Могут ли два вектора, имеющие равные модули, быть неравными? Если да, то чем они отличаются друг от друга?

4.Какие операции над векторами называются линейными и каковы свойства этих операций?

5.Что называется базисом на плоскости, в пространстве?

6.В каком случае векторы называются линейно зависимыми, а в каком линейно независимыми?

7.Как определяется декартова система координат?

8.Как выражаются координаты вектора через координаты его начальной и конечной точек?

9.Что называется скалярным произведением двух векторов, каковы его свойства, как оно выражается через координаты векторов-сомножителей?

71

10.Как перейти от старого базиса к новому?

11.Что такое собственные значения и собственные векторы матрицы?

72

Задачи для самостоятельного решения

1. Вычислить скалярное произведение векторов a и b , заданных своими координатами: a 3, 4 , b 5,12 .

Ответ. ab 33.

2.Предприятие выпускает три вида продукции Р1, Р2, Р3

вколичестве 15, 25, 40 штук, реализуемых по ценам 30, 40, 50 усл. ед. соответственно. Найти выручку предприятия от реализации продукции и ее изменение при изменении цен продук-

ции Р1, Р2, Р3 соответственно на +5, -3, +2 усл. ед. Ответ. 3530 усл. ед., +80 усл. ед.

73

5. ПРИМЕНЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ В ЭКОНОМИКЕ

Для решения многих экономических задач используются элементы алгебры матриц. Особенно при разработке и использовании баз данных: при работе с ними почти вся информация хранится и обрабатывается в матричной форме.

5.1. Использование алгебры матриц

Рассмотрим типичные задачи, использующие понятие вектора и его свойства.

Пример 5.1. Предприятие выпускает ежесуточно четыре вида изделий, основные производственно – экономические показатели которых приведены в табл. 1.

Требуется определить следующие ежесуточные показатели: расход сырья S, затраты рабочего времени T и стоимость P выпускаемой продукции предприятия.

Решение. По данным таблицы 1 составим четыре вектора, характеризующие весь производственный цикл:

q (20, 50, 30, 40) – вектор ассортимента; s (5, 2, 7, 4) – вектор расхода сырья;

t (10, 5, 15, 8) – вектор затрат рабочего времени; p (30, 15, 45, 20) – ценовой вектор.

74

Тогда искомые величины будут представлять собой соответствующие скалярные произведения вектора ассортимента q на три других вектора:

Пример 5.2. Предприятие выпускает четыре вида изделий, с использованием четырех видов сырья. Нормы расхода сырья даны как элементы матрицы A :

Вид сырья

Требуется найти затраты сырья каждого вида при заданном плане выпуска каждого вида изделия: соответственно

60, 50, 35 и 40 ед.

Решение. Составим вектор – план выпуска продукции q (60, 50, 35, 40).

Тогда решение задачи дается вектором затрат, координаты которого и являются величинами затрат сырья по каждому его виду: этот вектор затрат вычисляется как произведение

75

575550 .835

990

Пример 5.3. Пусть затраты четырех видов сырья на выпуск четырех видов продукции характеризуются матрицей A , приведенной в предыдущей задаче. Требуется найти: а) общие затраты на сырье для каждого вида продукции и его перевозку; б) общие затраты на сырье и его транспортировку при условии заданного вектор – плана предыдущей задачи, если известны себестоимости каждого вида сырья и его доставки (соответст-

венно 4, 6, 5, 8 и 2, 1, 3, 2 ден. ед.).

Решение. Составим матрицу себестоимости сырья и его доставки (соответственно 1-я и 2-я строки):

Тогда ответ на первый вопрос задачи дается в виде произведения матрицы А на транспонированную матрицу CT :

Суммарные затраты на сырье и его доставку (в денежных единицах) при вектор – плане выпуска продукции

q (60, 50 , 35, 40) определяются произведением вектора q на матрицу AC T :

76

Пример 5.4. В таблице 2 приведены данные о дневной производительности пяти предприятий, выпускающих четыре вида продукции с потреблением трех видов сырья, а так же продолжительность работы каждого предприятия в году и цена каждого вида сырья.

Таблица 2

Требуется определить:

1)годовую производительность каждого предприятия по каждому виду изделий;

2)годовую потребность каждого предприятия по каждому виду сырья;

3)годовую сумму кредитования каждого предприятия для закупки сырья, необходимого для выпуска изделий указанных видов и при определенном количестве рабочих дней.

Решение. Необходимо составить матрицы, характеризующие весь интересующий нас экономический спектр производства, а затем при помощи соответствующих операций над ними получить решение данной задачи. Прежде всего приве-

77

дем матрицу производительности предприятий по всем видам продукции:

Производительность предприятий

Каждый столбец этой матрицы соответствует дневной производительности отдельного предприятия по каждому виду продукции. Следовательно, годовая производительность j-го предприятия по каждому виду продукции получается умножением j-го столбца матрицы А на количество рабочих дней в году для этого предприятия (i = 1, 2, 3, 4, 5). Таким образом, годовая производительность каждого предприятия по каждому виду изделий описывается матрицей

Матрица затрат сырья на единицу изделия (эти показатели по условию одинаковы для всех предприятий) имеет вид

Вид изделия

78

Дневной расход по видам сырья на предприятиях описывается произведением матрицы B на матрицу А:

где i-ая строка соответствует номеру вида сырья, а j-й столбец – номеру предприятия согласно табл. 2 (i = 1, 2,3; j = 1, 2, 3, 4, 5). Нас интересует ответ на второй вопрос задачи – он получается, по аналогии с матрицей Aгод, умножением столбцов

матрицы BA на соответствующее количество рабочих дней в году для предприятий. Таким образом, годовая потребность каждого предприятия в каждом виде сырья

Введем вектор стоимости сырья

p (40, 50, 60).

Тогда стоимость общего годового запаса сырья для каждого предприятия получается умножением вектора p на мат-

рицу BAгод :

P pBAгод

=(2 008 000, 3 496 500, 1 878 500, 1 494 000, 1 5526 000).

Следовательно, суммы кредитования предприятий для закупки сырья определяются соответствующими компонента-

ми вектора P.

79

Пример 5.5. Отрасль состоит и n предприятий, выпускающих по одному виду продукции каждое: обозначим объем продукции i-го предприятия через xi. Каждое из предприятий отрасли для обеспечения своего производства потребляет часть продукции, выпускаемой им самим и другими предприятиями. Например, в отрасли электротехнического оборудования часть продукции предприятий, выпускающих электродвигатели, силовые кабели, электротовары и т.д., употребляется практически всей отраслью. Пусть aij – доля продукции i-го предприятия, потребляемая j-м предприятием для обеспечения выпуска своей продукции объема xj. Возникает естественный вопрос о величине yi – количестве продукции i-го предприятия, предназначенной для реализации вне данной отрасли (объем конечного продукта). Эта величина легко может быть подсчитана по формуле

n

yi xi aij x j ; i =1, 2, …, n.

j 1

Введем в рассмотрение матрицу порядка n, описывающую внутренне потребление отрасли

Рассмотрим конкретный пример при n=3. Пусть вектор выпуска продукции отрасли и матрица внутреннего потребления имеют соответственно вид

Используя формулу (5.2) и правило сложения матриц, получаем вектор объемов конечного продукта, предназначенного для реализации вне отрасли, состоящей из трех предприятий:

5.2. Использование систем линейных уравнений

Рассмотрим задачи, приводящие к составлению и решению систем линейных алгебраических уравнений.

Пример 5.6. Предприятие выпускает три вида продукции, используя сырье трех видов. Необходимые характеристики производства указаны в табл. 3. Требуется определить объем выпуска продукции каждого вида при заданных запасах сырья. Задачи такого рода типичны при прогнозах и оценках функционирования предприятий, экспертных оценках проектов освоения месторождений полезных ископаемых, а также в планировании микроэкономики предприятий.

Решение. Обозначим неизвестные объемы выпуска продукции через x1, x2 и x3. Тогда при условии полного расхода

81

запасов каждого вида сырья можно записать балансовые соотношения, которые образуют систему трех уравнений с тремя неизвестными:

Решая эту систему уравнений любым способом, находим, что при заданных запасах сырья объемы выпуска продукции составят по каждому виду соответственно (в условных единицах):

x1=150, x2=250, x3=100.

Пример 5.7. Обувная фабрика специализируется по выпуску изделий трех видов: сапог, кроссовок и ботинок; при этом используется сырье трех типов S1,S2,S3. Нормы расхода каждого из них на одну пару обуви и объем расхода сырья на 1 день заданы таблицей:

Найти ежедневный объем выпуска каждого вида обуви.

82

Решение. Пусть ежедневно фабрика выпускает x1 пар сапог, x2 пар кроссовок и x3 пар ботинок. Тогда в соответствии с расходом сырья каждого вида имеем систему:

Решая систему любым способом, находим (200; 300;200), то есть фабрика выпускает 200 пар сапог,300 пар кроссовок и 200 пар ботинок.

Пример 5.8.С двух заводов поставляются автомобили для двух автохозяйств, потребности которых соответственно 200 и 300 машин. Первый завод выпустил 350 машин, второй - 150 машин. Известны затраты на перевозку машин с завода в каждое автохозяйство ( см. таблицу 5).

Минимальные затраты на перевозку равны 7950 ден.ед.. Найти оптимальный план перевозок машин.

Решение. Пусть – количество машин, поставляемых с i-го завода j-му автохозяйству (i,j=1,2). Получаем систему

83

Решая систему методом Гаусса находим, что , причем система имеет един-

ственное решение.

5.3. Общая постановка задачи прогноза выпуска продукции

Пусть C cij ; i=1, 2, …, m, j=1, 2, …, n.

- матрица затрат сырья m видов при выпуске продукции n видов. Тогда при известных объемах запаса каждого вида сырья, которые образуют соответствующий вектор

q (q1, q2, …, qm),

вектор – план x (x1, x2, …, xn) выпуска продукции определяется из решения системы m уравнений с n неизвестными:

CxT q T ,

где индекс «т» означает транспонирование вектора – строки в вектор столбец.

Пример 5.9. На предприятие с работниками четырех категорий привезли заработную плату в купюрах следующего достоинства: по 100 рублей – 1850 купюр, по 50 рублей – 230 купюр, по 10 рублей – 250 купюр, по 1 рублю – 740 купюр. Заработная плата работника 1-й категории составляет 962 руб., 2- й категории – 713 руб., 3-й категории – 452 руб., 4-й категории

– 261руб. Определить, сколько сотрудников каждой категории

84

работает на предприятии, если каждому сотруднику выдали заработную плату минимальным числом купюр.

Решение. Условие об оплате минимальным числом купюр является основным в определении количества купюр разного достоинства, выданных сотрудникам разных категорий. Исходя из величины заработной платы по категориям, однозначно определяем таблицу распределения купюр.

Пусть x1, x2, x3, x4 – количество работников соответственно с первой по четвертую категории. Тогда по данным табл. 4 составляем уравнение «баланса», которые образуют систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными:

Эту систему удобно решать методом Гаусса, для чего выпишем расширенную матрицу системы, предварительно переместив для удобства первое уравнение на последнее место. Прямой ход метода последовательно меняет вид матрицы:

85