2025

11

В синхронных двигателях с постоянными магнитами исследованию переходных процессов уделяет-

ся большое внимание. Наличие пусковой беличьей клетки позволяет осуществлять асинхронный пуск таких двигателей. Большое число работ посвящено анализу переходных процессов в пусковом режиме, входу в син-

хронизм и выходу из синхронного режима работы. Поведение СДПМ в переходных режимах описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений, записанных обычно в осях d,q. Система уравнений при постоянной частоте вращения ротора становится линейной, а пусковой режим рассматривается как квазиста-

ционарный и по принципу суперпозиции система уравнений разделяется на две подсистемы, одна из которых описывает асинхронный (двигательный) режим работы невозбужденной машины, а вторая - генераторный

(тормозной) режим работы возбужденной машины при коротком замыкании. Такой подход позволил полу-

чить выражение для электромагнитного момента СДПМ при произвольной частоте вращения, с учетом того,

что ротор возбужден, а обмотка статора имеет относительно большое активное сопротивление.

При исследовании переходных процессов в конденсаторных СДПМ имеются определенные трудно-

сти. Несимметрия данного типа машин как вращающихся магнитных полей , метод двух реакций , а также одновременное применение этих методов .

Наиболее полно теория и расчет конденсаторных СДПМ, в том числе и в переходных режимах, ос-

вещены в [9]. Асинхронный режим конденсаторного СДПМ в данных работах, так же как и в трехфазных двигателях, рассматривается в виде квазистационарного режима, состоящего из двух режимов асинхронного

(двигательного) режима конденсаторной реактивной машины и генераторного (тормозного) режима возбуж-

денной машины, которая работает при коротком замыкании и переменной частоте вращения. Используя дан-

ный подход, определяют составляющие электромагнитного момента, что позволяет рассчитывать характери-

стики конденсаторного СДПМ в синхронном и асинхронном режимах работы.

Применение синхронных двигателей в высокоточных устройствах и электроприводах требует ана-

лиза их работы в установившемся синхронном режиме. Важнейшей характеристикой установившегося режи-

ма синхронных двигателей является статическая устойчивость. Как уже отмечалось ранее, нарушение стати-

ческой устойчивости характеризуется сползанием или самораскачиванием.

Самораскачивание и сползание относятся к электромеханическим переходным процессам и работа синхронной машины в этом случае описывается полной системой дифференциальных уравнений.

Начало исследованиям процессов в синхронной машине при нарушении статической устойчивости положено в работах А.А. Горева [2] А.А. Горев в своей работе наряду с исследованием других переходных процессов синхронной машины уделил большое внимание самораскачиванию, анализ которого осуществляет-

ся на основе системы линеаризованных дифференциальных уравнений с помощью алгебраических критериев устойчивости.

Обобщил и классифицировал методы исследования статической устойчивости А.И. Важнов [1]. Он выделяет два метода: метод малых возмущений и приближенный метод. Метод малых возмущений основан на использовании общих положений теории устойчивости. Анализ проводился на основе линеаризованной сис-

темы дифференциальных уравнений с помощью алгебраических критериев устойчивости Гурвица или Рауса.

В итоге определяются границы областей самораскачивания и сползания. Когда порядок характеристического уравнения высокий, используются критерий Михайлова, метод Д-разбиений или построение частотных харак-

теристик.

12

Исследование устойчивости приближенным методом предполагает анализ коэффициентов демп-

ферного и синхронизирующего моментов. Метод назван приближенным потому, что статическая устойчи-

вость синхронной машины не может определяться только этими коэффициентами, необходимо учитывать и дополнительные условия. Этот вывод делается на том основании, что характеристическое уравнение может иметь вещественные корни или вещественные части комплексных корней, не связанные с коэффициентами демпферного и синхронизирующего моментов.

Исследование статической устойчивости при работе СДПМ от однофазной сети до настоящего вре-

мени не проводилось. Поэтому вопросы анализа устойчивости конденсаторных СДПМ представляют большой теоретический и практический интерес.

2.МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КОНДЕНСАТОРНОГО СДПМ

2.1. Исходная схема включения двигателя и основные допущения

Подключение к однофазной сети конденсаторных электродвигателей осуществляется с помощью разнообразных схем соединения обмоток статора . На рис.2.1 изображена базовая схема включения конденса-

торного СДПМ в однофазную сеть. Используя данную схему, рассмотрим процессы, происходящие в иссле-

дуемом двигателе. Фаза А обмотки статора включается непосредственно в сеть и называется главной обмот-

кой. Фаза В подключается к сети через последовательно включенное емкостное сопротивление. Причем в установившемся синхронном режиме обмотка В остается подключенной к источнику напряжения. Для рас-

сматриваемой схемы оговорим ряд условий:

1)обмотки А и В смещены в пространстве на 90 эл.град;

2)число витков обмотки А не равно числу витков обмотки В WA WB ;

3)активные и индуктивные сопротивления обмоток не равны между собой rA rB ; XA XB .

Нарушение статической устойчивости в синхронном двигателе сопровождается изменением как скорости вращения ротора, так и электрических величин. Происходит сложный переходной электромеханиче-

ский процесс, исследование которого приводит к сложным системам нелинейных дифференциальных уравне-

ний. Решение таких систем связано с определенными трудностями и не всегда эффективно с точки зрения практического применения. Опыт анализа переходных процессов в электрических машинах показывает, что необязательно учитывать все факторы, влияющие на переходной процесс . Обычно необходимо выделить часть величин, оказывающих основное влияние на развитие переходного процесса, приняв при этом, что ос-

тальные параметры остаются неизменными или изменяются по известному закону.

13

Рис.2.1. Схема включения в сеть обмоток конденсаторного СДПМ

Таким образом будем рассматривать СДПМ, имеющий некоторые отличия от реальной машины.

Эти отличия определяются следующими допущениями:

1) учитываются только основные гармоники пространственного распределения МДС и индукций в воздушном зазоре;

2) магнитная проницаемость стали принимается бесконечно большой. При исследовании это позво-

ляет применять принцип наложения. Учет насыщения магнитной цепи производится соответствующим выбо-

ром параметров электродвигателя; 3) потери в стали при составлении уравнений не учитываются. Учет этих потерь может быть выпол-

нен при расчете рабочих характеристик; 4) индуктивные сопротивления рассеяния обмоток не зависят от положения ротора, а активные со-

противления остаются постоянными; 5) реальная многоконтурная пусковая короткозамкнутая обмотка ротора заменяется двумя эквива-

14

лентными короткозамкнутыми контурами. Стержни короткозамкнутой обмотки располагаются симметрично относительно продольной d и поперечной q осей ротора. При замене реальной обмотки ротора эквивалентны-

ми контурами исходим из равенства основных гармонических МДС, создаваемых реальной и эквивалентной обмотками;

6)исследуемый двигатель работает от источника бесконечной мощности;

7)напряжение, подводимое к обмотке статора, изменяется по синусоидальному закону.

Введение дополнительных допущений или снятие приведенных в дальнейшем будет специально оговариваться.

2.2. Эквивалентная модель конденсаторного СДПМ

Как уже отмечалось выше, нарушение статической устойчивости синхронной машины представляет собой электромеханический переходный процесс. Процессы, проходящие в синхронной машине в данном случае, описываются полной системой уравнений Парка-Горева, которая включает в себя дифференциальные

уравнения напряжений обмоток и уравнения движения ротора .

Обычно при исследовании синхронных машин используется система координатных осей d - q , же-

стко связанная с ротором. Реальные величины представляются в виде составляющих по продольной и попе-

речной осям машины. Преобразование дифференциальных уравнений синхронных машин с симметричным статором к данной системе координат позволяет исключить периодические составляющие и использовать

хорошо разработанные и эффективные методы анализа статической устойчивости .

Конденсаторные СДПМ имеют несимметрию как на роторе, так и на статоре. В этом случае преоб-

разование уравнений к той или иной системе координатных осей не избавляют от периодических коэффици-

ентов в дифференциальных уравнениях, поэтому исследование статической устойчивости данного типа син-

хронных двигателей невозможно провести выше упомянутыми методами.

Для того, чтобы избавиться от периодических коэффициентов в дифференциальных уравнениях конденсаторного СДПМ и использовать при анализе данного типа двигателей методы теории многофазных

электрических машин, предлагается следующая эквивалентная модель.

Как уже отмечалось, конденсаторные СДПМ в общем случае представляют собой двухфазные дви-

гатели с несимметричной обмоткой статора, к которой подводится несимметричная система напряжений.

Обмотки статора конденсаторного СДПМ, включенные по схеме, изображенной на рис.2.1, при наличии в них

ное поле в воздушном зазоре двигателя. Анализ процессов, происходящих в несимметричных электрических машинах, наиболее часто проводится на основе теории вращающихся полей. В основе данного метода, в об-

щем случае, лежит представление эллиптически расположенной МДС в виде двух составляющих: F1 и F2,

вращающихся в пространстве в противоположные стороны с синхронной угловой скоростью . МДС F1 вра-

щается синхронно с ротором двигателя и называется прямовращающейся, МДС F2 вращается в обратную сторону относительно ротора и называется обратновращающейся. Суммарная МДС в воздушном зазоре равна

15

Таким образом, реальный конденсаторный СДПМ можно представить в виде двух одинаковых дви-

гателей: один из них работает от напряжения прямой последовательности U1 c частотой f1(двигатель прямой последовательности), а другой от напряжения обратной последовательности U2 c частотой f1(двигатель обрат-

ной последовательности), роторы их соединены между собой механически. Причем оба двигателя модели имеют на статоре двухфазную симметричную обмотку, что отличает данную модель от ранее применяемых в общей теории электрических машин, когда конденсаторные двигатели (асинхронные и синхронные) заменя-

ются двумя одинаковыми двигателями с несимметричными обмотками статора .

На рис.2.2 представлена схема эквивалентной модели конденсаторного СДПМ, построенная на ос-

нове выше приведенных рассуждений. Двигатель прямой последовательности работает в синхронном режиме и создает момент M1, двигатель обратной последовательности работает в асинхронном тормозном режиме и создает момент M2.

Моменты двигателей модели направлены встречно. Результирующий момент в целом определяется как разность моментов

Следует отметить, что в выражении для электромагнитного момента двигателя, работающего от од-

нофазной сети, в общем случае

Рис.2.2. Схема эквивалентной модели конденсаторного СДПМ

содержатся пульсирующие составляющие, изменяющиеся с двойной частотой . Вследствие инерции вращаю-

щихся масс эти пульсирующие составляющие электромагнитного момента не оказывают практического влия-

16

ния на работу двигателя и в установившемся синхронном режиме работы их обычно не учитывают .

Данная эквивалентная модель позволяет использовать при расчетах конденсаторных СДПМ те же методы, что и при исследовании трехфазных электродвигателей. При этом токи фаз разлагаются на симмет-

ричные составляющие, которые создают круговые вращающиеся поля, и применяется принцип наложения.

2.3. Определение напряжений прямой и обратной последовательстей

Для исследования несимметричных машин переменного тока часто применяется метод симметрич-

ных составляющих . Используем данный метод для определения напряжений U1 и U2 . Рассмотрим схему со-

единения статорных обмоток конденсаторного СДПМ, изображенную на рис.2.1. В общем случае числа вит-

ков обмоток А и В не равны между собой. Поэтому обмотку В необходимо привести к обмотке А. В этом случае коэффициент приведения будет равен

где WA, WB - числа витков обмоток А и В; kобA ,kобB - обмоточные коэффициенты соответственно фаз А и В.

Величины, характеризующие цепь приведенной обмотки, определятся как в асинхронном двигателе

где E0A, E0B - ЭДС, индуктируемая в обмотках А и В при холостом ходе магнитным полем постоян-

ного магнита;

UB,UC - напряжения на обмотке В и конденсаторе, включенном последовательно с обмоткой В (см.

рис.2.1);

IB- ток в обмотке В;

ZC=RC-jXC - полное сопротивление конденсатора.

Здесь XC=1/( ·C)- емкостное сопротивление конденсатора; RC- активное сопротивление конденса-

тора, обусловленное потерями мощности в нем. Для упрощения в дальнейшем активное сопротивление кон-

денсатора примем равным нулю, ввиду незначительной величины потерь в нем .

Величины с индексом "штрих" обозначают приведенные величины обмотки В.

В соответствии с методом симметричных составляющих можно записать следующие выражения:

17

где ZA1 ; ZA2 ; Z B1 ; Z B2 - полные сопротивления токам прямой и обратной последовательностей

фаз А и В;

ностей фаз А и В ;

стей.

Электрическая несимметрия статора рассматриваемого двигателя, обусловленная различной вели-

чиной сопротивлений фаз А и В, а также наличием в цепи фазы В конденсатора, не позволяет анализировать процессы в конденсаторном СДПМ методами теории многофазных СДПМ с симметричной обмоткой статора.

Анализ конденсаторного СДПМ значительно упрощается, если воспользоваться следующими рассуждениями.

Сопротивления ZA1 и ZA2 можно представить в виде суммы двух составляющих:

ZA1=ZA11+ZA12 ; ZA2=ZA21+ZA22 , (2.11)

где: ZA11 и ZA21 - полные сопротивления обмотки статора токам прямой и обратной последователь-

ностей, состоящие из активного и индуктивного сопротивлений рассеяния;

ZA12 и ZA22 - составляющие сопротивлений прямой и обратной последовательностей, обусловленные конструкцией ротора и индуктивными сопротивлениями взаимоиндукции фазы А.

Подобным образом записываются выражения для полных сопротивлений приведенной обмотки фа-

зы В:

где Z1- дополнительное сопротивление, учитывающее разность между полными сопротивле-

ниями фаз В и А.

Тогда с учетом выражений (2.11)-(2.15) получим

18

Сопротивление Z1присоединяем к сопротивлению конденсатора и вводим обозначение

В соответствии с изложенным, двигатели эквивалентной модели конденсаторного СДПМ, будут одинаковыми и имеют двухфазные симметричные обмотки статора к которым подводится несимметричная система напряжений.

Для упрощения обозначений, параметры фазы А будем обозначать без дополнительного индекса А,

то есть:

ZA1=Z1 ; ZA2=Z2 ; IA1=I1 ; IA2=I2 ; E0A=E0 ; UA=U и т.д.

Тогда уравнения (2.8) и (2.10) с учетом (2.7), (2.9) и (2.17) можно записать в виде:

Рис.2.3. Векторная диаграмма установившегося режима работы

конденсаторного СДПМ

20

изложении для упрощения величины в относительных единицах будут иметь обозначения такие же, как и в физических единицах, без дополнительных индексов, за исключением ниже перечисленных величин:

- время, выраженное в относительных единицах , определяется в приложении 1. Учитывая выше изложенное, уравнения (2.18), (2.22), (2.23),(2.24) в относительных единицах, соответственно запишутся сле-

дующим образом:

2.4.Сопротивления токам прямой Z1 и обратной Z2

последовательностей

Векторная диаграмма двухфазного СДПМ с симметричной обмоткой статора, работающего в уста-

новившемся синхронном режиме, как и для трехфазных синхронных двигателей может быть представлена в виде, изображенном на рис.2.4.

При построении векторной диаграммы использована система координат d, q, жестко связанная с ро-

тором. Применение данной системы координат обусловлено как магнитной, так и электрической несимметри-

ей ротора конденсаторного СДПМ. Реальные величины в этом случае заменяются на составляющие по про-

дольной и поперечной осям. Положительным направлением вращения принято вращение против часовой