====== Приложение 2

(П2.4)

Преобразование (П2.2) к виду (П2.3) и нахождение корней с помо­ щью (П2.4) довольно громоздко, поэтому применение вычислительной техники здесь уже вполне рационально. Не менее сложным является решение уравнения четвертой степени, если только оно не сводится к биквадратному. Формул для решения уравнений пятой степени и выше не существует. Уравнения, в которых неизвестное встречается не толь­ ко в какой-либо степени, но и под знаком других функций (sin х, lg х, е^ит.п.), называются трансцендентными. Кроме самых простых случаев для нахождения корней этих уравнений формул не существует.

Численные методы в совокупности с ЭВМ позволяют решать срав­ нительно просто как алгебраические уравнения произвольных степеней, так и трансцендентные. Любое уравнение с одним неизвестным может быть приведено к виду

Корнем такого уравнения будет значение х, при котором Дх) про­ ходит через ноль (рис. П2.1). Разобьем решение уравнения на два эта­ па: изоляцию корней и уточнение значения изолированного корня.

Рис. П2.1. Корни уравнения

Изоляция корней означает определение такого отрезка [а, А], где есть корень, притом только один. Эта задача решается либо путем анализа функции Дх), либо построением таблицы значений функции при различ­ ных значениях аргумента (выполнение табуляции функции). Далее по­ строенный по полученной таблице график функции Дх) удобно исполь­ зовать для приближенного вычисления корней уравнения. Как табуля­ цию, так и построение графика функции целесообразно выполнять с использованием электронных таблиц (например, электронной таблицы MS Excel), не прибегая к написанию собственных программ.

Рис. П2.2. Иллюстрация к методу деления отрезка пополам

Для уточнения значения корня уравнения после его изоляции суще­ ствуют различные методы. Простейшим является метод деления отрезка пополам. Идея метода заключается в следующем. На первом шаге вычис­ ляются значения функции на концах отрезка (рис. П2.2). Затем исход­ ный отрезок [а, Ь] делят пополам (точка Xj) и вычисляют значение фун­ кции в этой точке. Из двух отрезков выбирается тот, для которого зна­ чения функции на концах отрезка имеют противоположные знаки (отрезок [xj, b\ на рис. П2.2). Выбранный отрезок снова делят пополам, вновь вычисляют значение функции в полученной точке и осуществля­ ют выбор отрезка. Процесс продолжается до тех пор, пока модуль зна­ чения функции в средней точке очередного выбранного отрезка не ста­ нет меньше некоторого малого положительного е. Ниже приведен воз­ можный алгоритм данного метода.

А л гор и тм П2.1

Procedure Уточнение корней уравнения методом деления пополам. Данные: F(x) —исследуемая функция;

а, b —Исходный исследуемый отрезок; е - точность вычислений. Результаты: х —значение корня уравнения,

start

х := а

if (F(a)F(b) < 0) then while (|Дх)| > () do

х:= (a + b )/ 2

if (F(x):F(a) < 0) then b : = x новый отрезок [a, (a+ b)/2] else а:=хновый отрезок [(a+b)/2, b]

end if end while

else Attention(Отрезок задан неверно. Корень не изолирован.)

return

Более эффективным методом уточнения корней уравнения являет­ ся метод хорд. В отличие от предыдущего метода исследуемый отрезок разбивается на два новых точкой пересечения оси абсцисс с линией,

ИЛИ

[А]{Х}={В}. (П2.8)

При исследовании многих моделей, связанных, например, с реше­ нием задач механики сплошных сред в объемной постановке или задач из области экономики, приходится решать системы, состоящие из не­ скольких тысяч или десятков тысяч уравнений. В этом случае особое вни­ мание приходится уделять вопросам повышения эффективности и точ­ ности применяемых методов решения.

Все методы решения систем линейных уравнений делят на прямые и итерационные.

Прямые методы позволяют за конечное число действий найти точ­ ное решение системы уравнений (П2.6), если входная информация (пра­ вая часть уравнений {В} и элементы ау матрицы [А]) заданы точно и

вычисления ведутся без округления. Конечно, прямые методы также дают решение с определенной точностью, которая зависит от ошибок округ­ ления, т.е. от точности представлений данных в ЭВМ, характера решае­ мых задач и самого метода решения системы уравнений. К наиболее известным представителям прямых методов можно отнести методы Га­ усса и квадратного корня.

Итерационный метод позволяет найти приближенное решение сис­ темы путем построения последовательности приближений (итераций), начиная с некоторого начального приближения. К этому классу методов относят методы итераций и Зейделя. При выборе того или иного метода исходят из мощности имеющейся вычислительной техники и требуемой точности получаемого решения. Для больших систем (более 10 тыс. урав­ нений), как правило, используют итерационные методы.

В качестве примера рассмотрим алгоритм наиболее часто применя­ емого метода —метода Гаусса. Как уже отмечалось, данный метод отно­ сится к прямым и позволяет найти решение за конечное число шагов. Алгоритм метода состоит из двух этапов, или ходов: прямого и обратно­ го. При прямом ходе система уравнений приводится к треугольному виду.

Пусть требуется решить следующую систему уравнений:

Н и ж е п р и в е д е н а з а п и с ь а л г о р и т м а м е т о д а Г а у с с а н а п с е в д о к о д е д л я с и с т е м ы и з п у р а в н е н и й с п н е и з в е с т н ы м и .

П 2.3. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений

М а т е м а т и ч е с к а я п о с т а н о в к а м н о г и х з а д а ч м а т е м а т и ч е с к о г о м о д е л и ­

р о в а н и я с в о д и т с я к с и с т е м е обыкновенных дифференциальных уравнений

(О Д У ) . П р о с т е й ш е е О Д У - у р а в н е н и е п е р в о г о п о р я д к а

шением шага интегрирования Дх кривая Эйлера приближается к интег­ ральной кривой.

Для метода Эйлера характерны малая точность вычислений и систе­ матическое накопление ошибок. Пример алгоритма, использующего ме­ тод Эйлера, для системы уравнений первого порядка приведен в гл. 2.

Примечание. Задачи динамики точки, как правило, приводят к сис­ теме двух ОДУ первого порядка по каждой координате. При вычислении новых скоростей точки значения действующих сил берутся на момент начала каждого шага и не учитывается их изменение за шаг. Таким об­ разом, принимается, что на шаге по времени точка движется под дей­ ствием постоянных сил и с постоянным ускорением.

Это обстоятельство можно учесть при вычислении новой координа­ ты точки. Если уравнение для координат решать после уравнения для скоростей, то в этом случае можно воспользоваться значениями скорос­ тей точки на начало и на конец шага по времени. При равноускоренном движении пройденный путь равен произведению величины интервала времени на среднюю скорость точки на этом интервале. С учетом ука­ занного обстоятельства соотношения для скорости и координаты точки могут быть переписаны следующим образом:

v*+l =vk +AtF(t,xk,vk); хк+\ =xk +*t(vM +vk)/2.

Приведенная схема вычисления соответствует модифицированному методу Эйлера и дает более точные результаты интегрирования.

Метод Рунге-Кутта. Пусть дифференциальное уравнение приведено к виду (П2.15), а вид функции f(x,y) известен. Выберем шаг интегриро­ вания Ах и для краткости введем обозначения хк = х$ + кАх и Ук~У(х1)’ к = 0, 1,2, 3,...

Согласно обычному методу Рунге-Кутта [36], последовательность значений ук искомой функции у определяется по формуле:

Ук+l = У к+ АУк’

где

Метод Рунге-Кутта обладает значительной точностью и несмотря на свою трудоемкость широко используется при численном решении ОДУ.

Основная сложность при использовании численных методов интег­ рирования ОДУ — выбор величины шага интегрирования Ах. На прак­ тике величину шага Ах выбирают двойным пересчетом: вначале опреде­ ляют ук с шагом Ах, а затем с шагом Дх/2. Если расхождение результа­ тов превысило некоторую малую заданную величину е, то шаг уменьшают еще в 2 раза и повторяют вычисления. Уменьшение производят до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность вычислений.