2768.Несущая способность и расчёт деталей машин на прочность

Т1»

При упругом деформировании

в этом случае ордината г)1 определяет собой расстояние от наиболее удален­ ной точки сечения до оси, проходящей через центр тяжести сечения, т. е. до оси, относительно которой происходит поворот.

Ниже приведены значения коэффи­ циентов /Си и /Ср для некоторых сечений:

Рассмотрим интегрирование уравне­ ний моментов и сил при полигональном

упрочнении, когда <р=-^-|-Ьп для

р ис ^ Расположение областей пластич­ ности

3) область пластичности охваты­ вает все сечение:

Для случая полигонального упроч­ нения уравнения (1.29) при двух обла­ стях пластичности могут быть записаны в видз:

М = ЛИ 2 S ( ° я + М т 1 ^ +

п щ

Лх

+ J ёг\с1ц - ^ J {ап—Ьпё)ч\йу\

При целиком пластичном сечении

Суммирование ведут по участкам, соответствующим интервалам деформа­ ции с одинаковыми параметрами диа­ граммы. В этих выражениях в пласти­ ческих областях пределы интегриро­ вания записаны условно для всей области. В действительности на п-м участке суммирования интегрирование

Рис. 14. Схема распределения напряжений при полигональном упрочнении

Распределение напряжений и участки интегрирования для случая двух обла­ стей пластичности показаны на рис. 14.

Принимая во внимание уравнение (1.30) и имея в виду соотношение

0

е ишах = у , можно записать

^= “1 шах^Л-

Заменив переменные в уравнениях для усилий, получим выражения, ин­ тегрирование которых дает возмож­ ность подсчитать значения моментов и сил в зависимости от ё тах:

(1.38)

Величины интегралов J м и J N для

значений интервалов деформаций 1; 1,25; 1,5; 2, 3, 4 и 5 и таких же зна­ чений ётах даны в работе 121]. По ним

на основе формул (1.38) можно вы­ числить значения моментов и усилий

при различных отношениях к_= х

При линейном упрочнении значения моментов и сил можно вычислить по упомянутым выше данным или непо­ средственным интегрированием уравнений в пределах всего интервала де­ формаций каждой из областей сечения. После интегрирования уравнений по­ лучим:

для случая 1

1 - G T

N = G ^ T

(1 — ^m ax) ( ! — ^ p - h ^ m a x )

для случая 3

JV = GT£p+ ( l - G T); \

M = Gr (emax £p) , J

Из полученных уравнений^ могут быть найдены усилия N и М, если иметь в виду, что

Соотношения усилий для этого слу­ чая приведены на рис. 15.

_При изгибе без растяжения ёр = 0; /V = 0 и уравнения (1.29) принимают вид

М = КИ jj ф -^ ^ тахМ Л ;

Я = КР j Ф ^ - г иш ахМ Л = 0

Если сечение имеет одну ось симмет­ рии, то положение нейтральной оси зависит от степени пластического де­ формирования, пределы интегрирова­ ния меняются и определяются из урав­ нений равновесия. В этом случае поло­ жение нейтральной оси находят по второму уравнению (1.47). У сечений с двумя осями симметрии нейтральная ось проходит через центр тяжести сече­ ния, н второе уравнение (1.47) удовлет­ воряется тождественно. В этом случае

Для прямоугольного сечения при полигональном упрочнении момент можно определить по уравнениям (1.38) при значениях х = 0. В случае линей­ ного упрочнения

Л1= С Л ,« + ! ( 1 - 0 , ) -

(1.49)

Для круглого сечения при линейном упрочнении и х = 0

* = 0 /™ * + ^ ( 1 - 0 , ) X

Х( ё т а х — l ) 1/a + g m a x - 5 -arCSin г------1.

^етгх)

(1.50)

Ha рис. 3 гл. 11 приведены графики моментов для прямоугольного и круг­

лого сечений по параметру GT. Аналогично определяют моменты в

зависимости от деформации наруж­ ного волокна и для других симметрич­ ных сечений.

Для сечений с одной осью симметрии из уравнения

Hi

S Мч“°

-Л*

определяют ординаты нейтральной

оси.

Для трапециевидного сечения

Р = — (1—а) г) + (1—а)11г+ а.

Из уравнения

^ф[(1— a) Oil — т])+а] X

—(l-Th)

х-^ 1 1 = 0

%

рон трапеции.

Предполагая линейное упрочнение, после интегрирования получим урав­ нение для определения координаты ней­ тральной оси:

при одной области пластичности

В результате совместного решения уравнений (1.51), (1.52) (1.54) и (1.55) получаем решение задачи. Графики М от ётях от треугольного сечения

(а = 0) приведены на рис. 17.

При совместном действии растяжения

иизгиба деформирование характери­ зуется двумя интегральными функция­ ми пластичности: функцией Фи, уста­ навливающей связь между изгибаю­ щим моментом и деформацией изгиба,

ифункцией Фр, устанавливающей связь между продольным усилием и деформацией растяжения (сжатия).

Учитывая уравнения (1.38), запишем

Для прямоугольного сечения могут быть использованы данные работы [21] применительно к разным значениям

итах

Вслучае линейного упрочнения

®„=4± Ч ( ' - о,) 2 - /:«+

ст а х

+ 0 , 2 ^ + ^ ' ] ;

Рис. 17. Величины изгибающего мо­ мента для треугольного сечения

деляются из выражения для моментов

М

OV ишах

графики этих функций для прямо­ угольного и круглого сечений при ли­

нейном упрочнении GT = 0; 0,1 и 0,2 показаны на рис. 4 гл. 11.

Выше были приведены уравнения для усилий в сечении стержня и для инте­ гральных функций пластичности, по­ строенные по параметру отношений

ё Р

деформаций х = ^------ . В ряде случаев

^нгпах

нужно получить зависимости усилий и интегральных функций пластичности по параметру отношения усилий К —

= —ц . Такие зависимости могут быть

получены перестроением, если известна связь параметров х и X или если по­ строен график зависимости между уси­ лиями М и N по параметру етах, где К

изображается лучом, выходящим из начала координат. На рис. 18 и 19 приведены для прямоугольного и круг­ лого сечений зависимости К от х при

значениях модуля упрочнения GT =

=0; 0, 1.

Напряжения в сечении стержня при совместном действии изгиба и растя­ жения легко могут быть определены из уравнения

Максимальные напряжения в сечении

0-61)

здесь фе — функция пластичности, со­ ответствующая максимальной дефор­ мации.

Распределение напряжений в сечении

здесь функция <р определяется для деформации

в точке сечения с ординатой г).

М '

1 + Я - ^

^Фр

вэтом случае функции пластичности определяются для максимальной де­ формации етах при заданном соотноше­

нии усилий А..

Д л я с т е р ж н е й с к р и в о м о с ь ю также могут быть использованы уравнения равновесия (1.29), эти урав­ нения преобразуются, если использо­ вать гипотезу плоских сечений для кривых брусьев. На основании этой гипотезы перемещение произвольной точки можетбыть выражено как резуль­ тат двух перемещений: поворота во­ круг некоторой оси, отстоящей от центра кривизны на расстоянии г, и плоскопараллельного перемещения (рис. 20):

dw 0-\-y dQ = dw.

Деформация некоторого исходного элемента бруса ds = (г + у) d(y при этом составит

С другой стороны, эти перемещения могут быть представлены как результат поворота сечения на угол d\p вокруг центра кривизны и на угол dd' вокруг оси, отстоящей от центра кривизны на расстоянии г. Тогда

6 + е р

Здесь и далее все радиусы и высоты сечений отнесены к внутреннему ра­

диусу бруса: р = ~ и Л = -тг-

А2 А2

Теперь уравнения равновесия запишутся в следующем виде:

Til

м я с Г Ф [*Р-

°т^тах^2

— щ

— (б+ёр) п ] N dry,

Р+ Л тц

N

"5 ф Т]2

где Мн — момент относительно цент­ ра поворота;

оЪ

р* 7 ---------относительная ширина се­

кт а х

чения.

Положение радиуса оси поворота р, который может быть назван радиусом нейтральной оси, определяют из усло­ вия

Tit

—"Па

при выполнении этого условия реше­ ния уравнений равновесия несколько упрощаются.

Как известно, при деформировании кривых брусьев в пределах упругости нейтральная ось смещается относитель­ но центра тяжести в сторону центра кривизны на постоянную величину; при деформировании за пределом упру­ гости положение нейтральной оси за­ висит от изменения параметров упру­ гости по сечению: при пластическом изгибе радиус нейтральной оси зависит от характера диаграммы и степени де­ формирования. Даже для простейшего случая идеальной пластичности после интегрирования условия (1.69) полу­ чается трансцендентное уравнение от­ носительно р; его решение весьма громоздко и может быть найдено гра­ фически или путем последовательных