2080

вытекает из (16.20).

При отсутствии сторонних сил напряжение U совпадает с разностью потенциалов ϕа – ϕb (рис. 16.4, б):

ЭДС и напряжение, как и разность потенциалов, измеряются в вольтах (В).

Сопротивление. Как показывает опыт, при одной и той же разности потенциалов на концах проводников одинаковой длины и поперечного сечения, но выполненных из различных металлов, по ним протекают токи различной величины. Отсюда следует, что в электрическом отношении проводники из разных металлов обладают различными свойствами. Электрические свойства проводника характеризуются величиной R, названной сопротивлением проводника.

Экспериментально установлено, что при данной температуре сопротивление проводника зависит от его геометрических размеров – длины и площади поперечного сечения, а также от вещества проводника:

где ρ – удельное сопротивление проводника (см. формулу (16.10)); l – длина; S – площадь поперечного сечения проводника.

291

Удельное сопротивление вещества в сильной степени зависит от примесей. Кроме того, на сопротивление металлов влияет их химическая обработка; ковка, прокалка, протягивание и закалка повышают, а отжиг понижает сопротивление.

Поскольку сопротивление, оказываемое току металлическим проводником, обусловлено столкновением свободных электронов с ионами кристаллической решетки металлов, сопротивление и удельное сопротивление проводников в сильной степени зависит от температуры. С повышением температуры усиливается хаотическое движение электронов, что приводит к уменьшению количества упорядоченно движущихся электронов. С другой стороны, повышение температуры приводит к увеличению столкновений электронов с ионами кристаллической решетки проводников, что в свою очередь приводит, также к увеличению сопротивления. Опыт показывает, что сопротивление металлов связано с температурой линейной зависимостью

где R0 – сопротивление проводника при 0 °С (273 К); t – температура по Цельсию; Т – температура по Кельвину; α – температурный коэффициент сопротивления, α = 1/273 ≈ 0,004 К–1.

Очевидно, что такая же температурная зависимость наблюдается и для удельного сопротивления металлов:

где ρ0 – удельное сопротивление проводника при 0 °С (273 К). Зависимость ρ (Т) представлена на рис. 16.5 (кр. 1).

На зависимости сопротивления от температуры основано устройство термометров сопротивления: по сопротивлению проводника определяется температура, соответствующая этому сопротивлению.

При очень низких температурах – порядка 1–10 К сопротивление некоторых веществ падает в миллиарды раз и практически становится равным нулю. Это явление, открытое в1911 году гол-

292

ландским физиком Г. Камерлинг-Оннесом у ртути называется сверхпроводимостью (см. рис. 16.5, кр. 2).

на в 1958 году советским академиком Н.Н. Боголюбовым. Согласно этой теории, сверхпроводимость – это движение элек-

движутся как один поток невязкой идеальной жидкости, не испытывающей трения. Поэтому сопротивление проводника равно нулю. Детальная теория явления сверхпроводимости базируется на положениях квантовой механики и очень сложна.

Способность вещества проводить электрический ток характеризуется либо его удельным сопротивлением γ, либо удельной проводимостью ρ (см. формулы (16.9) и (16.10)):

γ= ρ1.

16.4.Закон Ома в интегральной форме

В1826 году немецкий физик Г. Ом экспериментально установил законы, связывающие силу тока в проводниках с разностью потенциалов на участках электрической цепи и действующей в этой цепи ЭДС. Возможны три случая.

1. Однородный участок цепи. Однородным называется участок электрической цепи, в котором не действуют сторонние силы (участок не содержит источника тока) (см. рис. 16.4, б).

293

В этом случае разность потенциалов на концах проводника совпадает с напряжением, а закон Ома гласит: сила тока в провод-

нике пропорциональна напряжению на концах проводника и обратно пропорциональна сопротивлению проводника:

Этот закон можно получить на основании выводов электронной теории проводимости. Действительно, в соответствии с дифференциальной формой закона Ома можно записать

dl численно равный элементу dl длины проводника и направленный по касательной к проводнику в ту же сторону, что и вектор плотности тока j:

jdl = γ(Eкул +Eстор )dl .

Учитывая (16.10) и то, что скалярное произведение совпадающих по направлению векторов j и dl равно произведению их модулей, это равенство можно переписать в виде

ρjdl = Eкулdl +Eсторdl .

С учетом того, что для постоянного прямолинейного тока j = SI , находим

IρdlS = Elкулdl +Elсторdl,

где Elкул, Elстор – проекции кулоновского поля и поля сторонних сил на направление dl.

294

Интегрируя по длине проводника от точки 1 до точки 2 (см. рис. 16.4, б) и учитывая, что сила тока во всех сечениях проводника одинакова, получаем

представляет собой ЭДС, действующую на участке 1-2. Наконец, интеграл в левой части уравнения (16.28)

есть не что иное, как сопротивление участка цепи между точками 1 и 2. Так как в однородном участке цепи не действуют сторонние силы (Естор = 0), из (16.29) с учетом (16.30) и (16.31)

находим закон Ома для участка цепи без ЭДС:

Из закона Ома (16.32) вытекает единица измерения сопротивления

[R] = [[UI]] = AB = Ом,

т.е. сопротивление проводника в СИ выражается в омах. Удельное сопротивление ρ в СИ выражается в Ом·м.

295

2. Неоднородный участок цепи (участок цепи, содержа-

щий ЭДС) (см. рис. 16.4, а). Этот участок цепи описывается за-

где R+r – сумма сопротивлений проводников и внутреннего сопротивления источника тока (см. рис. 16.4, а). Этот закон следует непосредственно из соотношений (16.29), (16.30).

3. Замкнутая неразветвленная цепь. Во всех сечениях замкнутой электрической цепи (рис. 16.6) сила тока одинакова. Такую цепь можно рассматривать как участок, концы которого совпадают (см. формулу (16.20)):

В результате из (16.33) получаем для замкнутой электрической цепи закон, совпадающий с найденным Г. Омом экспериментально:

т.е. сила тока в замкнутой цепи прямо пропорциональна величине ЭДС, действующей в этой цепи, и обратно пропорциональна сумме внешнего и внутреннего сопротивлений.

Формулу (16.34) можно переписать иначе:

ε= IR +Ir =U +Ir.

296

Исходя из физического содержания величин, входящих в это соотношение, можно утверждать, что закон Ома для замкнутой цепи выражает закон сохранения энергии для данного частного случая.

Соединения сопротивлений. Обычно в цепи осуществля-

ется соединение нескольких сопротивлений. При этом возможны два вида соединения: последовательное и параллельное (рис. 16.7). При последовательном соединении (см. рис. 16.7, а) сопротивлений сила тока на всех сопротивлениях одинакова, а общее напряжение между точками 1 и 2 складывается из падений напряжений на всех сопротивлениях:

U = UR1 +UR2 + +URn ,

или по закону Ома (16.27)

IR = I (R1 + R2 + ... + Rn ),

откуда

i=1

т.е. при последовательном соединении проводников их сопротивления складываются.

Рис. 16.7

297

При параллельном соединении сопротивлений (см. рис. 16.7, б) происходит разветвление тока, а напряжение на всех ветвях соединения одинаково. В соответствии с законом сохранения заряда, сила тока в общей цепи равна сумме сил токов на отдельных ветвях соединения:

I = I1 + I2 + ... + In ,

или согласно закону Ома (16.26)

Таким образом, при параллельном соединении проводников общая проводимость разветвления равна сумме проводимостей каждой из ветвей.

16.5. Разветвленные цепи. Правила Кирхгофа

Расчет разветвленных цепей, например нахождение токов в отдельных ее ветвях, значительно упрощается, если пользоваться двумя правилами Кирхгофа.

Первое правило Кирхгофа относится к узлам цепи, т.е.

к точкам ее разветвления: алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю:

Узлами называются такие точки цепи, в которых сходятся не менее трех проводников. При этом токи, идущие к узлу, и токи, исходящие из узла, следует считать величинами разных знаков, например: первые – положительными, вторые – отрицательными (или наоборот, это не существенно).

298

Применительно к рис. 16.8 уравнение (16.37) запишется так: I1 – I2+I3 = 0. Уравнение (16.37) является следствием условия стационарности тока, т.е. закона сохранения заряда; если бы это было не так, в узле изменялся бы заряд и токи не были бы стационарными.

Второе правило Кирхгофа от-

носится к любому выделенному в разветвленной цепи замкнутому контуру: алгебраическая сум-

ма произведений сил токов в отдельных участках произвольного замкнутого контура на их сопротивления равна алгебраической сумме ЭДС, действующих в этом контуре:

I1R1 = ϕ2 − ϕ3 + ε1;

I2 R2 = ϕ3 − ϕ1 + ε2 ;

I3R3 = ϕ1 − ϕ3 + ε3.

Сложив эти равенства, приходим после сокращения всех потенциалов к формуле (16.38), т.е. ко второму правилу Кирхгофа. Таким образом, уравнение (16.38) является следствием закона Ома для неоднородных участков цепи.

299

Составление системы уравнений. Правила Кирхгофа в каждом конкретном случае позволяют написать полную систему алгебраических уравнений, из которой могут быть найдены, например, все неизвестные токи.

Уравнений (16.37) и (16.38) надо составлять столько, чтобы их число было равно числу искомых величин. При этом надо следить, чтобы одни уравнения не являлись следствием других:

1) если в разветвленной цепи имеется N узлов, то независимые уравнения типа (16.37) можно составить лишь для N-1 узлов; уравнение для последнего узла будет следствием предыдущих;

контуров 124 и 234 будут независимыми. Уравнение же для контура 1234 является следствием двух предыдущих. Можно составить независимые уравнения для двух других контуров, например для контуров 124 и 1234, но тогда уравнение для контура 234 будет следствием двух пер-