1153

УДК 678.067.5:624.073

А.Н. Гузь, В. С. Зеленский, Ю. В. Коханенко

ОРЕШЕНИИ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЗАДАЧ ТРЕХМЕРНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОЙ УСТОЙЧИВОСТИ ПЛАСТИН И СТЕРЖНЕЙ

ПРИ НЕОДНОРОДНЫХ д о к р и т и ч е с к и х с о с т о я н и я х

В работах [1—4] для неоднородных докритических состояний по­ строены общие решения трехмерных уравнений устойчивости при малых начальных деформациях, исследованы вопросы устойчивости пластин

иоболочек, выполненных из материалов с малой сдвиговой жесткостью,

атакже рассмотрены вопросы о погрешностях, вносимых в значения критических нагрузок прикладными двухмерными теориями. В [5] дано решение плоской задачи трехмерной теории упругой устойчивости пря­ моугольной пластины при неоднородном докритическом состоянии и определены области применимости прикладных двухмерных теорий устойчивости при различных значениях геометрических и жесткостных характеристик материала пластин.

Вданной статье рассматривается решение пространственной задачи трехмерной теории упругой устойчивости прямоугольной ортотропной пластины при неоднородном докритическом состоянии. Приводятся при­ меры расчета конкретных пластин, изготовленных из материала с малой сдвиговой жесткостью при различных значениях параметра тонкостенности и технических постоянных материала пластины. Проведено срав­ нение значений критических сил, полученных из решения задачи трех­ мерной устойчивости, с критическими силами, вычисленными по двух­ мерным прикладным теориям с привлечением гипотез Кирхгофа—Лява

иТимошенко. Компоненты начального (невозмущенного) состояния обо­

значим индексом нуль, возмущения индексом не обозначаем. По повто­ ряющимся индексам производится суммирование от 1 до 3.

1. Постановка задачи. Рассмотрим задачу об устойчивости прямо­ угольной пластины (О^Хг^/г), сжатой вдоль оси Ох1 усилиями интен­ сивности р. По торцам *1 = 0, /! пластина жестко защемлена так, что со­ ставляющие вектора упругих смещений вдоль осей Ох2 и Ох3 равны нулю. Для исследования используем трехмерную линеаризованную теорию устойчивости упругих тел при малых докритических деформа­ циях, тогда докритйческое состояние определяется по геометрическим линейной теории [3]. Тело будем считать однородным и ортотропным, направления ортотропии которого совпадают с Ох\, Ох2 и Ох3. При из­ ложенной постановке компоненты начального состояния определяютсяиз решения уравнений линейной теории упругости в области, занятой пластиной,

( 1. 1)

при следующих условиях на границе:

Wl°(0, Х2, Х3) = — M l°(/b * 2, * з) =

= V\ и2°{х1, х2, х3) = w3°(x1, х2, х3) = 0 |х, = о ,

( 1.2)

Рчр — критическая нагрузка, полученная из решения методом конечных разностей задачи трехмерной устойчивости, защемленной по торцам пластины; рт— критическая нагрузка для замещенного стержня, вычисленная по двухмерной прикладной теории е использованием гипотезы Тимошенко; р0л — критическая сила, вычисленная по двух­ мерной прикладной теории, использующей гипотезу Кирхгофа—Лява.

трансверсально-изотропной пластины с плоскостью изотропии х2Ох3. Ва­ рианты исходных данных, при которых решалась задача (1.10), пред­ ставлены в табл. 1, а в табл. 2 даны значения приведенных критических сил для различных значений параметра тонкостенности а. Варианты 1 и 2 соответствуют материалу из бороэпоксидного [12, 13] пластика.

Выводы. 1. Критическая нагрузка существенно зависит от отношения

EJG 12.

2. Для рассмотренных случаев критическая нагрузка, определенная по теории типа Тимошенко, дает заниженное, а критическая нагрузка, вычисленная по прикладной теории, использующей гипотезу Кирхгофа— Лява, — завышенные значения критической силы. При этом погреш­ ность последней растет с увеличением параметра тонкостенности а.

3. Полученные в данной работе результаты для стержня качественно согласуются с аналогичными результатами для трехмерной устойчивости полосы в работе [5].

прикладных теорий в задачах устойчивости стержней и пластин с низкой сдвиговой жесткостью в случае одноосного сжатия. — Механика полимеров, 1969, № G.

с. 1124— 1126.

5. Гузь А. Н., Коханенко Ю. В. О решении плоских задач трехмерной теории упругой устойчивости пластин и стержней при неоднородных докритических состоя­ ниях. — Прикл. механика, 1977, т. 12, № 12, с. 63—72.

6.Болотин В. В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. М.. 1961. 339 с.

7.Коллатц Л. Задачи на собственные значения. М., 1968. 503 с.

8.Коханенко Ю. В. Застосування методу скшченних р1зниць до проблеми пружшя стшкостг — Доп. УРСР. Сер. А, 1973, № 7, с. 637—639.

9.Самарский А. А. Введение в теорию разностных схем. М., 1971. 552 с.

10.Гузь А. Н. Некоторые вопросы устойчивости нелинейно-упругих тел при коноч­

ных и малых деформациях. — Прикл. механика, 1970, т. 6, № 4, с. 3— 12.

11.Михлин С. Г Вариационные методы в математической физике. М., 1970. 510 с

12.Таси В. Влияние неоднородности на устойчивость составных цилиндрических оболочек при осевом сжатии. — Ракетная техника и космонавтика, 1966, т. 4, № 6, с. 131

13.Хот Н. Выпучивание и послекрнтическое поведение композитных цилиндриче­

ских оболочек при осевом сжатии. — Ракетная техника и космонавтика, 1970, т. 8. № 2, с. 52.

УДК 678.067.5:624.073

Р. Хартранфт, Дж. Си

ВЛИЯНИЕ СВЯЗАННОСТИ ПРОЦЕССОВ ДИФФУЗИИ ТЕПЛА И ВЛАГИ НА НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ПЛАСТИНЫ*

Теория связанной диффузии тепла и влаги Генри [1] была приме­ нена в предыдущей работе [2] к случаю толстой пластины. Решение, даю­ щее распределение значений влажности и температуры в пластине как функции времени, сопровождалось большим количеством численных ре­ зультатов. В частности, была дана новая интерпретация эксперименталь­ ных результатов работы [3]. Упрощенная теория, представленная в [4], дает качественно совпадающие результаты.

При экспериментальном измерении количества влаги, абсорбирован­ ной в твердом теле, как функции квадратного корня из времени опреде­ ленный наклон кривой можно установить из начальных точек. При ис­ пользовании классической теории несвязанной диффузии обнаружено [3], что этот наклон определяется через коэффициент диффузии. Таким об­ разом, коэффициент диффузии определяется из одного эксперимента. Однако при использовании теории связанной диффузии [2, 4] обнару­ жено, что наклон зависит не только от коэффициента диффузии, но и от двух других констант материала. Следовательно, для окончательного определения коэффициента диффузии необходимы дополнительные из­ мерения этих констант.

Три другие эксперимента, описанные в [2, 4], связывают измеренные наклоны, выражаемые через эффективные коэффициенты диффузии, с параметрами, входящими в теоретическое описание. В дальнейшем будет использована простая модель [4], содержание которой изложено в при­ ложении.

Абсорбция тепла или влаги твердым телом приводит к увеличению его объема, которое, не будучи однородным, создает напряжения. В част­ ности, циклические изменения внешних условий, в которых находится материал, будут создавать переменные напряжения; последние могут привести к усталостному росту дефектов до опасных размеров. Анализ напряженных состояний, создаваемых гигротермическими деформа­ циями, проводится аналогично анализу одних лишь термических напря­ жений. Деформации записываются как функции напряжений, темпера­ туры, содержания влаги; затем уравнения теории упругости решаются при соответствующих граничных условиях.

В данной статье анализ напряжений проводится в духе теории плас­ тин, или обобщенного плоского напряженного состояния. Так же, как в [5], деформация принимается линейной функцией поперечной коорди­ наты. Используются средние величины и моменты в уравнениях связи напряжений с деформациями. Затем, в случае, когда механические на­ грузки не прикладываются, средние деформации и кривизны могут быть вычислены через средние температуры и влажности. В конечном итоге могут быть найдены распределения напряжений. Влияние механических нагрузок может быть учтено посредством суперпозиции.

Поля влажности и температуры. Теория, рассмотренная в приложе­ нии, была применена [4] для решения задачи диффузии в бесконечной

* Перевод А. Е. Богдановича.

Эти средние величины могут быть использованы для вычисления тео­ ретических значений эффективных коэффициентов диффузии, введенных в [4]. Результат следующий:

DmeT/Dh = f(u, у); Dinec/Dm= 1 — уf(u, у );

Dhec/Dm = f (1/и, у); DhJ/D h= 1 - yf (1/и, у),

где f(u,y) = \/[\ + и+ У4и(\-у)].

На рис. 2 показаны зависимости от и и у. Следует особо подчеркнуть, что эффективные коэффициенты зависят от начальных наклонов кривых зависимостей содержания влаги и тепла от корня квадратного из вре­ мени. Когда температура на поверхностях поддерживается постоянной, изменение влажности на поверхности вызывает диффузию влаги со ско­ ростью, первоначально связанной с Dmec. Скорость убывает таким обра­ зом, что происходит асимптотический переход к состоянию с новым со­ держанием влаги. В то же время происходит и диффузия тепла. Началь­ ная скорость связана с Dhec, но Затем она меняет знак так, что в конце концов нет чистого притока или потерь тепла. Случай постоянной влаж­ ности на поверхностях и внезапного изменения температуры создает на­ чальные скорости диффузии, связанные с D}ieT для тепла и DmeT для влаги. В то время, как количество тепла асимптотически приближается к новому значению, количество влаги претерпевает лишь кратковремен­ ное изменение; постоянный приток влаги или ее потери отсутствуют.

Анализ напряжений. Пластина, изображенная на рис. 1, предпола­ гается свободной от внешних механических нагрузок. Внутренние на­ пряжения представляют собой отклик на неоднородные деформации, вы­ зываемые изменением температуры и абсорбцией влаги. Требуется по­ строить точное решение, удовлетворяющее уравнениям равновесия, соот­ ношениям напряжения—деформации и деформации—перемещения (или уравнениям совместности). В данном анализе будут использованы при­ ближения, справедливые для тонких пластин. Равнодействующие сил и пары сил будут равны нулю по всей пластине, так что уравнения равно­ весия в среднем будут удовлетворяться. Единственное направление, в котором различные напряжения, деформации и т. д. меняются, — это поперечное направление. В линейном приближении деформации запи­ сываются в виде: ex = ex0 + &x°2; Ev = &y0 + ky°z-, yxy = yXy0 + kxy0z, еде ех°, гу°,

В случае симметричных задач эти выражения упрощаются:

где Т, С — средние по толщине температура и концентрация влаги.

Случай задания граничных условий для влажности. Вид распределе­ ния напряжений во времени иллюстрируется несколькими способами на ряде рисунков. Первая группа результатов относится к случаю, когда концентрация влаги скачком возрастает на поверхностях, в то время как температура на них остается фиксированной. Из уравнений (1), (2), (8) напряжения могут быть выражены в форме:

где ас — безразмерное напряжение, вызываемое изменением влажности в материале

Рис. 3. Распределение напряжения по толщине пластины в различные моменты времени. Температура поверхностей фиксирована; Y = 0,25, и= 0,001 (б, в) и 0,1 (а); \|3/а = 0,001 (б); 0,01 (а) и 10 000 (в). Цифры у кривых — значения т/,.

с абсорбцией влаги. В то же время поверхностные напряжения явля сжимающими, но они убывают по величине после начального скачь разного возрастания вследствие увеличения толщины прилегающе поверхности слоя, пропитанного влагой. В момент времени приб/ тельно тл= 0,09 напряжение в центре пластины начинает убывать, время как связанность диффузии тепла и влаги приводит к повьнш температуры во внутренней области. Этот спад напряжения продо ется до тех пор, пока внутренняя область находится в состоянии сж; а поверхность — растяжения. Наконец, после т/г = 2,0 напряжение с становится равным нулю.

Для меньших значений и , соответствующих скоростям дифф влаги значительно меньшим, чем скорости диффузии тепла, nepei знака напряжения не происходит. На рис. 3—б показаны результать Аф/а, равном 10 000. Если Аф/а меняется до 0,1, то в первую очеред] изменение отражается на порядке величины стс. Если убывает толь то, как следует из уравнения (9), напряжение приблизительно остг тем же самым. Но в обоих случаях относительно быстрое pacnpocTj ние тепла поддерживает температуру пластины постоянной в npoi диффузии влаги с поверхностей. Как и'в теории, не учитывающей свз ности, начальное разбухание материала на поверхностях создает с» вблизи поверхностей и растяжение во внутренней области. Напряж в последней возрастает и затем спадает до нуля, как только разбух вследствие абсорбции влаги становится равномерным. Время, необ; мое для этого, весьма велико в противоположность случаю, изобра ному на рис. 3—а. Рис. 3—в, с другой стороны, для того же значег и меньшего значения Аф/а иллюстрирует слабое влияние связанг процессов распространения тепла и влаги. Хотя здесь напряжение н няет знака, имеет место колебательный характер его изменения. Нс жение в середине пластины возрастает вплоть до x/t= 0,11, убыва< Xh = 1,5, снова возрастает до x/t= 150 и затем монотонно стремится к \

Напряжение в середине пластины изображено как функция вре на рис. 4. При некоторых значениях параметров (таких, какие выб для рис. 4—а) напряжение вначале становится растягивающим, i гает максимума и затем асимг чески стремится к нулю, по того как влажность и темпер

I'uc. I. Зависимости напряжения от времени в центре пластины. Температура п постен фиксирована; у = 0>25. гг = 0,001 (а) и 0,01 (б). Цифры у кривых — зн

Ар/а.