Математическое моделирование в естественных науках.-1

обозначения обычные.

ρ0 (z) – заданная функция, описывающая распределение плотности с высотой, С – константа, которая находится из условия

замкнутости течения; C = h / h (ρ0 (z))−1 dz .

плотность при z = 0 , α и β – параметры стратификации.

В исследуемом в настоящей работе высокочастотном случае во всех переменных удобно выделить пульсационную, быстро меняющуюся часть и медленную часть, характерные времена изменений которой велики по сравнению с ω−1 . Амплитуда вибраций a полагается малой a << h , а амплитуда скорости вибраций b = aω конечной. Уравнения и граничные условия для средних и амплитуд пульсационных полей имеют вид:

291

Сформулированная задача допускает решение, соответствующее состоянию квазиравновесия, в котором средняя скорость равна нулю. Это решение в безразмерной форме имеет вид:

1

U = 0, V0 = j (C / ρ0 (z) −1), C = 1/ (ρ0 (z))−1 dz ,

0

ρ0 (z) = 1− βth (α / 2) − βth (α(z −1/ 2)).

Линейная задача устойчивости. Перейдем к рассмотре-

нию устойчивости. Линейная задача устойчивости квазиравновесия имеет вид:

292

Подстановка этого решения в выражение для плотности и учет граничных условий позволяют получить уравнение для критической амплитуды вибраций А0 как функции α . Расчеты показали, что А0 является немонотонной однозначной функци-

му пределу при α → ∞ .

Для произвольных k задача решалась численно, методом построения фундаментальной системы решений. Расчеты показали, что граница неустойчивости пересекает ось A , причём это происходит в точках, хорошо согласующихся с аналитическим решением. При увеличении k критическое значение A монотонно убывает. Таким образом, наиболее опасными являются коротковолновые возмущения.

Заключение. Изучена устойчивость плоскопараллельного течения двух смешивающихся жидкостей в поле высокочастотных горизонтальных вибраций. Исследование проведено в пренебрежении диффузией, что позволило рассматривать систему двух смешивающихся жидкостей как одну жидкость с плотностью, зависящей от времени и координат. Найдено квазиравновесное решение задачи, в котором среднее течение отсутствует. Получены аналитическое решение задачи устойчивости квазиравновесного состояния по отношению к длинноволновым возмущениям и численное решение для конечных волновых чисел. Найдено, что критическое значение вибрационного параметра монотонно убывает с ростом волнового числа.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (грант 14-21-00090).

293

Список литературы

1.Wolf G.H. The dynamic stabilization of the Rayleigh-Taylor instability and the corresponding dynamic equilibrium // Z. Physik. – 1961. – 227. – 291–300.

2.Любимов Д.В., Черепанов А.А. О возникновении стационарного волнового рельефа на поверхности раздела жидкостей в вибрационном поле // Изв. АН СССР. Механика жидкости

игаза. – 1986. – № 6. – С. 8–13.

О МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ДЛЯ ОПИСАНИЯ ЭФФЕКТА ПОРТЕВЕНА – ЛЕ ШАТЕЛЬЕ

Ф.С. Попов

Пермский национальный исследовательский политехнический университет,

Пермь, Россия, popovfyodor@yandex.ru

Приведен краткий анализ известных физических механизмов возникновения прерывистой пластичности (эффекта Портевена – Ле Шателье (ЭПЛШ)) при деформировании образцов из металлических сплавов в определенных температурных и скоростных диапазонах при неупругом деформировании. Рассматривается структура математической модели, основанной на многоуровневом подходе и физических теориях пластичности. В качестве одного из основных механизмов возникновения прерывистой пластичности принимается динамическое деформационное старение, обусловленное взаимодействием дислокаций с атомами примеси. В рамках построения математической трехуровневой модели сформулированы концептуальная и математическая постановки задачи на различных уровнях.

Ключевые слова: многоуровневые модели, эффект Портевена – Ле Шателье, физические теории пластичности.

В настоящее время изготовление многих изделий из металлов и сплавов осуществляется методами обработки давлением; при деформировании имеют место как положительные (измельчение микроструктуры, упрочнение), так и отрицательные

294

эффекты, например прерывистая текучесть (эффект Портевена – Ле Шателье). Прерывистая текучесть (ПТ), называемая также скачкообразной деформацией, – явление неустойчивости пластического деформирования, которое обнаруживается практически для всех сплавов в определенных температурно-скоростных диапазонах деформирования.

Учет эффекта Портевена – Ле Шателье (ЭПЛШ) важен при разработке технологических режимов штамповки листовых материалов на финишных стадиях изготовления. Поверхность материала при возникновении режима ПТ становится шероховатой, что влияет на усталостную прочность, аэродинамические характеристики листовых панелей. Изучение и моделирование ЭПЛШ представляют интерес также с научной точки зрения, поскольку требуют создания моделей, учитывающих взаимодействие различных механизмов и носителей деформации (дислокаций, примесных атомов, барьеров различной природы). Целью работы является разработка прямой трехуровневой модели неупругого деформирования поликристаллического образца, описывающей неустойчивость пластического течения.

Для объяснения физической природы появления скачков напряжений существует несколько гипотез, основанных на анализе взаимодействия дислокаций друг с другом, с барьерами различной природы, примесными атомами. Основным механизмом рассматриваемого эффекта в рамках данной работы полагается взаимодействие дислокаций с точечными дефектами, такими как вакансии, межузельные и примесные атомы (внедрения и замещения), а также различные барьеры. При скольжении дислокации поля напряжений от точечных дефектов взаимодействуют с полями напряжений дислокаций. Эти взаимодействия препятствуют дальнейшему движению дислокаций до тех пор, пока не будет преодолен текущий барьер критического напряжения, что и является основным фактором появления «ступенек» на кривой деформирования. В предлагаемой работе анализируется возникновение прерывистой пластичности при повышенных температурах и невысоких скоростях деформации в сплавах.

295

Основываясьнамоделях физики твердоготелаи имеющихся экспериментальных данных, можно констатировать, что все процессы деформирования, в которых велика роль диффузионных процессов (диффузия точечных дефектов, неконсервативное движение («переползание») дислокаций и др.), чувствительны к скорости деформации и температуре [1]. В качестве одного из наиболее известных проявлений влияния диффузионных процессов на поведениедеформируемогоматериалаявляетсяЭПЛШ[2].

Существует большой спектр работ, посвященных исследованию эффекта ПЛШ различными методами как экспериментальными (механическими и микроструктурными), так и теоретическими, основанными на макрофеноменологических и физических теориях. Основным механизмом рассматриваемого эффекта в рамках данной работы полагается динамическое деформационное старение (ДДС), возникающее в процессах пластического деформирования при определенных температурно-скоростных условиях, при котором происходит взаимодействие дислокаций с примесными атомами в результате их диффузии в направлении скоплений дислокаций. В ряде работ, например в [3], на примере алюминиевомагниевого сплава возникновение пластической неустойчивости напрямую связывают с концентрацией легирующего материала: чем выше концентрация примесных атомов, тем четче проявляются скачки напряжений на диаграммах растяжения-сжатия. Также возникновение скачков напряжений связывают с эволюцией дефектов микроуровня, вособенности с изменением плотностей мобильныхииммобильныхдислокацийвпроцесседеформирования.

Исходя из вышеизложенного, разработана структура трехуровневой модели, которая подразумевает разделение описания поведения материала на три масштабных уровня: макро-, мезо- и микроуровень. Модель основана на подходе, использующем внутренние переменные (на каждом из масштабных уровней).

Верхним уровнем (макроуровнем) в рассматриваемой модели является представительный макрообъем материала. Представительный макрообъем состоит из конечного числа (порядка

296

300–400) кристаллитов, нагружение реализуется заданием кинематических граничных условий.

Для описания деформирования кристаллитов (зерен, субзерен) используется модель мезоуровня. Объектом исследования является не содержащий в себе субзерен, границ и фрагментов монокристалл (представительный объем мезоуровня). К внутренним переменным относятся сдвиги, скорости сдвигов по системам скольжения (СС) и критические напряжения. Принимается гипотеза об аддитивности упругой и пластической составляющих тензора скорости деформации.

На низшем уровне (микроуровне) рассматривается взаимодействие дислокаций, дислокационных субструктур и примесных атомов, описываемых соответствующими плотностями и концентрациями. Изменение критических напряжений на системах скольжения определяется по плотностям дислокаций на системах скольжения и их взаимодействиями с примесными атомами; определяемые на микроуровне критические напряжения на системах скольжения далее «передаются» на мезоуровень. Внутренними переменными микроуровня являются: плотность дислокаций, плотность барьеров, концентрации примесных атомов.

Для каждого из уровней осуществлена математическая постановка задачи, включающая собственно определяющие соотношения (на макро- и мезоуровнях), эволюционные и замыкающие уравнения для внутренних переменных. На примере металлов с ГЦК-решеткой рассмотрены процессы взаимодействия дислокаций различных систем скольжения, образование барьеров, взаимодействие дислокаций с примесными атомами.

Список литературы

1.Окишев К.Ю. Кристаллохимия и дефекты кристаллического строения: учеб. пособие. – Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2007. – 97 с.

2.Трусов П.В., Чечулина Е.А. Прерывистая текучесть: физические механизмы, экспериментальные данные, макрофеноменологические модели // Вестник Пермского национального

297

исследовательского политехнического университета. Механи-

ка. – 2014. – № 3. – С. 186–232.

3. Plastic instabilities and dislocation densities during plastic deformation in Al–Mg alloys / G.Q. Horvath, N. Chinh, J. Gubicza, J. Lendvai // Materials Science and Engineering. – 2007. – Vol. A 445–446. – Р. 186–192.

4.Многоуровневые модели неупругого деформирования материалов и их применение для описания эволюции внутренней структуры / П.В. Трусов, А.И. Швейкин, Е.С. Нечаева, П.С. Волегов// Физическаямезомеханика. – 2012. – Т. 15, №1. – С. 33–56.

5.Latent hardening and plastic anisotropy evolution in AA6060 aluminium alloy / M. Khadyko, S. Dumoulin, G. Cailletaud, O.S. Hopperstad // International Journal of Plasticity. – 2016. – Vol. 76. – Р. 51–74.

НЕЛИНЕЙНЫЕ РЕЖИМЫ КОНВЕКЦИИ БИНАРНЫХ СМЕСЕЙ В НАКЛОННОМ СЛОЕ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ТЯЖЕСТИ И ВЫСОКОЧАСТОТНЫХ ВИБРАЦИЙ

С.А. Прокопьев, Т.П. Любимова

Пермский государственный национальный исследовательский университет,

Пермь, Россия, asaznai@gmail.com, lubimova@psu.ru

Исследуются нелинейные режимы конвекции бинарных смесей в плоском наклонном слое с идеально теплопроводными границами под действием тяжести и вибраций высокой частоты и малой амплитуды. Задача решается численно методом конечных разностей в переменных «функция тока – завихренность». Получены зависимости максимального значения функции тока от числа Релея при различных значениях вибрационного числа Релея.

Ключевые слова: бинарная смесь, конвекция, вибрации, наклонный слой.

Рассмотрим нелинейные режимы конвекции в подогреваемом снизу наклонном слоя бинарной смеси в поле тяжести и высокочастотных вибраций, при заданных однородных градиен-

298

тах температуры и концентрации. Границы слоя считаются твердыми и идеально теплопроводными, на них предполагается выполненным условие отсутствия диффузионного потока вещества. Эффекты термодиффузии и диффузионной теплопроводности не учитываются.

Система уравнений конвекции бинарной смеси в поле тяжести и высокочастотных малоамплитудных вибраций, полученная методом осреднения в приближении Буссинеска [1], имеет вид [2]:

rot V = (T + KC) × n, div V = 0 .

Здесь v , p ,T ,C – средние скорость, давление, температура и концентрация легкой компоненты, V – амплитуда пульсационной скорости.

Уравнения записаны в безразмерной форме и содержат следующие безразмерные параметры: Ra, Rav , Pr, Le – число Ре-

лея, вибрационное число Релея, число Прандтля и число Льюиса соответственно, K – отношение сил плавучести, вызванных градиентом концентрации, к силам плавучести, вызванным градиентом температуры.

Численные расчеты проводились методом конечных разностей, в терминах функции тока ψ и завихренности ω, при

фиксированных значениях чисел Льюиса и Прандтля: Le = 130 , Pr = 7 . Параметры Ra, Rav , K варьровались.

На рис. 1 и 2 представлены численные результаты для случаев горизонтального и наклонного слоев при перпендикулярных к слою вибрациях. Видно, что при увеличении Rav по-

299

рог устойчивости заметно повышается. Наличие градиента концентрации (случай K = 0.001), напротив, ведет к уменьшению критического значения Ra. В случае наклонного слоя при некоторых параметрах возникает конкуренция режимов и не устанавливается никакого стационарного течения, а при достаточно больших Ra (>5500) течение становится плоскопараллельным. Сравнение результатов показывает, что наиболее устойчивая ситуация реализуется в случае горизонтального слоя.

max

0.6

б

Рис. 1. Горизонтальный слой, сплошные линии – K=0,

штриховые – K=0,001; Rav =0: 1 (k=π), 1' (k=π) ;

Rav =2000: 2 (k=2,5), 2' (k=2,1) ; Rav =5000: 3 (k=2), 3' (k=1,6) ;

Rav =10 000: 4 (k=1,7), 4' (k=1,2)

300