Статистика и анализ геологических данных

Приближенное процентное отношение сумм квадратов имеет вид

В этих равенствах все суммирования производятся по п данным точкам исходной последовательности или по п* точкам сгла­ женной последовательности. В частности, отметим, что вычисля­ ются два значения для суммы квадратов первоначальных дан­ ных. Первая из них учитывает все точки данной последова­

тельности от 1 до п, вторая включает только те наблюдения, для

л

которых вычисляются оценки Yi. Таким образом, из-за потери

среднего. Это происходит по той причине, что вычисление оценок Yi вблизи концов последовательности данных отчасти основано

на использовании значений, не входящих в вычисление S S o . Поэтому значение процентного отношения сумм квадратов яв­ ляется приближенным, но его можно использовать как показа­ тель эффективности процесса фильтрации.

В табл. 5.16 приведены 176 значений сопротивления пород на электрокаротажной диаграмме нефтяной скважины, в кото­ рой замеры были проведены с интервалом в 2 фута. Скважина была пробурена в породах пенсильванского возраста в Айове, где стратиграфический разрез представлен переслаиванием тон­ ких слоев измененного известняка и сланца. Геологи предпри­ няли попытку установить корреляцию внутри стратиграфиче­ ской последовательности в северо-восточном Канзасе, однако подходящих каротажных диаграмм там не оказалось. Дело в том, что каротажные диаграммы скважин Канзаса отличаются наличием дополнительных слоев известняка и общего увеличе­ ния мощности пород. Сглаживание данных уменьшило измен­ чивость каротажных диаграмм и позволило, по крайней мере приближенно, оценить корреляцию. Используя программу 5.6, произведите сглаживание данных с помощью метода 5-членного скользящего среднего. Какое влияние оказывает сглаживание На расположение пиков? Используя больший интервал сглажи­ вания, снова примените метод скользящего среднего и сравните результаты. Приводит ли увеличение сглаживающего интер­ вала к значительному изменению вида кривой? Перепишите Программу SMOOTH для уравнения Шеппарда. Как сравнить сглаженные последовательности, полученные методом Шеп­ парда и методом пятичленного скользящего среднего?

Значения каротажной кривой в стратиграфическом разрезе пенсильванских

слоев в штате Айова (интервал замеров 2 фута)

сравним их между собой, то получим автокорреляционную функцию с лагом 0; коэффициент корреляции, конечно, будет равен 1,0. Далее, сдвинем одну цепь вперед на одно звено и сравним две полученные цепи, затем сдвинем цепь снова на одно звено и сравним и т. д. Если один участок цепи целиком пере­ двинется по отношению к другому, то скажем, что мы провели полную автокорреляцию и обладаем сведениями о степени сов­ падения двух цепей в каждой позиции. В вычислительной ма­ шине нельзя физически передвигать элементы самого времен­ ного ряда. Мы даже не имеем дела с двумя «цепями», а просто проводим процесс вычисления, используя переменные индексы в циклах DO. Тем не менее приведенная физическая аналогия весьма полезна, и она будет еще использоваться в следующих разделах.

Вычислив автокорреляционную функцию для всех значений лага, можно построить коррелограмму, представляющую собой график автокорреляционной функции, аргументом которой явля­ ется лаг. Коррелограмма временного ряда фиг. 5.16 изображена на фиг. 5.18. Типичная коррелограмма принимает значения от 1,0 при нулевом лаге до отрицательных значений. При значе­ ниях лага, соответствующих близкому совпадению элементов, коррелограмма имеет пики, соответствующие высокой автокор­ реляции. Исследование коррелограммы помогает выявить вре­ менные или пространственные интервалы, при которых изучае­ мые ряды имеют повторяющиеся элементы.17

Фиг. 5.18. Коррелограмма последовательности, представленной на фиг. 5.16.

Значения автокорреляционных функций, равные 1,00, при лаге 9, указывают на то, что исходная последовательность периодична, а длина периода равна девяти единицам.

17 Заказ No 455

Коррелограммы помогают выявить характеристики времен­

ровно на одну длину волны. На фиг. 5.19, б изображен сигнал, полученный в результате использования точек, взятых из таб­ лицы случайных чисел. Коррелограмма быстро убывает от +1.0 до 0 и затем незначительно колеблется около нуля. Оба эти ряда являются стационарными, т. е. в наблюдениях не имеется значительного тренда. Нестационарный сигнал изображен на фиг. 5.19, в, где наблюдения, образующие последовательность, неуклонно растут по величине. Соответствующая коррелограмма показывает, что корреляция неуклонно убывает. На фиг. 5.19, г изображена комбинация случаев 5.19, а и 5.19, б, т. е. синусои­ дальной волны и наложенного на нее шума. Полная автокорре­ ляция возможна только при нулевом лаге, однако о периоди­ ческой компоненте временного ряда напоминает пик коррело­ граммы, имеющей два пересечения с нулевым уровнем. График фиг. 5.19, д представляет собой комбинацию графиков 5.19, а, 5.19, б и 5.19, в, т. е. синусоидальная волна складывается с гра­ фиком линейного тренда и с наложенным на них шумом. Заме­ тим, что тренд значительно снижает наши возможности выде­ лить периодическую компоненту в сигнале.

Математическое ожидание или среднее значение автокорре­ ляции для последовательности случайных чисел равно нулю. Ожидаемая теоретическая дисперсия автокорреляции случайной последовательности при любом лаге L равна

Р-43)

Эти два параметра определяют совокупность элементов случай­ ного временного ряда данной длины п [27]. Как уже отмечалось в гл. 3, можно определить вероятность появления некоторого случайного события для нормального распределёния с извест­ ным средним значением и заданной дисперсией, если ввести стандартизованную величину

Извлекая квадратный корень из выражения (5.43), мы получим стандартное отклонение автокорреляции. Подставив среднее значение и стандартное отклонение в формулу (5.44), получим

+/1

0-

I I I г I I

0 510152025

+ /

UA^ vo

-/

I I I I I I

0 5 10152025

1 i i i i i

0 5 10152025

J

+ /-|

0-

-H

I i i i i i

.0 5 10152025

+ / J

i i i i I i

0 5 10152025

Фиг. 5.19. Примеры идеализированных временных рядов и их автокорреляци­ онные функции.

а — синусоидальная волна с длиной волны 20 единиц; б — последовательность случайных чисел или «шум»; в — последовательность возрастающих по линейному закону чисел илн «тренд*; г — сумма синусоидальной волны н случайного шума (последовательность а плюс последовательность б); б — сумма синусоидальной волны со случайным шумом и линейным трендом (последовательность а плюс последовательность б плюс последова­

тельность в).

Эту величину можно использовать в качестве статистики для проверки гипотезы, заключающейся в том, что автокорреляция гь равна нулю при условии, когда длина последовательности п

только к увеличению дисперсии гь, но также к все более значи­ тельному нарушению предположения о том, что автокорреля­ ция вычисляется по выборке из временного ряда бесконечной длины. По указанным причинам высокие значения автокорре­ ляционной функции при большом лаге не играют существенной

а именно наблюдаемые значения истинного временного ряда из геологического прошлого. Только при очень редком стечении обстоятельств удается датировать прошедшие события по ре­ зультатам изучения пород, что в свою очередь позволяет опре­ делить временную шкалу для последовательности геологических данных. Эоценовые озерные отложения в Скалистых горах со­ стоят из тонкослоистых доломитизированных нефтяных сланцев мощностью в сотни футов. Было установлено, что слоистость претерпевает изменения, т. е. является результатом сезонных климатических изменений в бассейне озера. Измерения мощ­ ности этих слоев позволили определить годичные изменения скорости осадконакопления в течение истории озера. Табл. 5.17 содержит значения мощности слоев в миллиметрах, замеренные в разрезе этих отложений вблизи западного побережья одного из самых больших озер. Мы попытаемся ответить на несколько вопросов, связанных с этими данными. Например, существовал ли тренд в скорости отложения доломитов с течением времени, причиной которого могло явиться постепенное изменение кли­ мата? Имеется ли очевидная цикличность мощности слоев, ко­ торая, возможно, имеет связь с астрономическими явлениями? При наличии цикличности мы можем определить многолетние периоды (связанные, например, с солнечными пятнами за по­ следние 11 лет). Было проведено 101 наблюдение, которые при­ ведены в таблице. Вычисление автокорреляционной функции без ЭВМ при малом числе точек для любого значительного ко­ личества лагов является почти невыполнимой задачей. Прог­ рамма 5.8 (AUTOCR) предназначена для вычисления и графи­ ческого представления коррелограммы временного ряда, имею­ щего п точек. Значения лага берутся вплоть до L = n/4.