Статистика и анализ геологических данных

Мы видим, что нахождение корней этого уравнения требует извлечения квадратных корней из отрицательных чисел, тогда

где Xi и Х2— комплексные числа, содержащие как действитель­

ную, так и мнимую части, включающие число i = i — 1. К сча­ стью, симметричные матрицы всегда имеют действительные соб­ ственные значения, и в большинстве наших вычислений, связан­ ных с собственными векторами и собственными значениями, ис­ пользуются ковариационные, корреляционные или аналогичные матрицы, которые всегда симметричны.

Давайте теперь рассмотрим процедуру вычисления собствен­

после чего получим

—X3 2Х2—J—8Х=0.

Это кубическое уравнение, имеющее три корня. Разложив его на множители, можем записать (X — 4) (X — 0 )(Х + 2 )= 0 и получить корни

его в течение нескольких минут.

Теперь, когда мы получили представление о процедуре по­ лучения собственных значений, можно попытаться понять и их сущность. Матрицу можно рассматривать как набор значений

бумаги. Таким образом, матричные операции можно трактовать геометрически. Так, матрица

определяет две точки плоскости с координатами (4, 8) и (8, 4). Эти точки соответствуют двум векторам на координатной пло­ скости, выходящим из начала координат, как это показано на фиг. 4.1. Отметим, что в качестве координат точек мы могли бы использовать и столбцы матрицы, что не внесло бы существен­ ных изменений в наши рассуждения. Для определенности будем действовать со строками.

Представим себе, что две точки лежат на эллипсе с центром в начале координат. Тогда эллипс будет представлять кривую, проходящую через эти точки. В результате собственные значе­ ния матрицы окажутся равны длинам большой и малой полу­ осей этого эллипса. В нашем примере собственные значения равны

Необходимо отметить, что отношения полуосей можно ис­ пользовать как меру вытянутости эллипса, что графически показано на фиг. 4.2. Первое собственное значение характе­ ризует большую полуось, длина которой от центра до самой

Вспомним, что мы уже вычислили собственные значения этой

Подстановка первого собственного значения в матрицу дает

Соответствующая система уравнений имеет вид 15Xj— 6Х2= 0 ,

45Xj — 18Х2= 0

или, в матричной форме, Г15 - 6 ] Г Х Л Г О '

L45 —18J • LX 2J " L O . *

Нетрудно видеть, что второе уравнение можно получить из первого умножением на 3, поэтому нам достаточно решить одно из них, чтобы полученные решения удовлетворяли и другому уравнению. Простой подбор дает нам следующие решения:

Это координаты первого собственного вектора, соответствую­ щего первому собственному значению. В действительности име­ ется бесконечное множество решений, так как решением явля­ ется любой вектор вида

Е М ! ] -

где р — любое число. Мы же ограничились только одним значе­ нием Р = 1. Позже мы увидим, что интерес представляют только отношения координат вектора, а они при умножении вектора на любое число не изменяются.

Матрица системы уравнений, отвечающая второму собствен­

Оба уравнения приводятся к одному: ЗХ1- Х 2 = 0,

решением которого является вектор

Хотя вычисления при увеличении порядка значительно ус­ ложняются, рассмотренные методы можно применять к матри­ цам порядка пХп. Прежде чем перейти к вычислительным ас­ пектам проблемы нахождения собственных значений, рассмот­ рим некоторые матрицы с целью проведения геометрического анализа этих величин. Возможно, что это позволит более по­ нятно объяснить геометрический смысл собственных значений.

Сначала рассмотрим матрицу

Г4 81

I A ] = L8 4 J

с собственными значениями

Подставляя первое из них в исходную матрицу, получим

Этой матрице соответствует собственный вектор

Возвращаясь снова к фиг. 4.2, мы убеждаемся, что собст­ венный вектор можно интерпретировать как характеристику угла наклона большой полуоси эллипса. Если рассматривать элементы собственного вектора как координаты точки на плос­ кости, то первый собственный вектор определяет полуось (яв­ ляющуюся биссектрисой угла между двумя заданными строками матрицы векторами), длина которой равна первому собствен­ ному значению. Подставляя в матрицу второе собственное зна­ чение, получим

Решением будет второй собственный вектор

который имеет тангенс угла наклона равный —1/1, следова­ тельно, перпендикулярен главной полуоси эллипса и определяет меньшую полуось (см. фиг. 4.2).

Теперь произведем расчеты для второй матрицы, строки ко­ торой определяют точки, расположенные ближе друг к другу, чем в предыдущем примере:

<A|“ [s 6

Я -

Для первого собственного вектора получим

Таким образом, угол наклона первого собственного вектора составляет 45°; вектор делит пополам угол, образованный двумя заданными векторами. Длина большой полуоси равна 14, т. е. первому собственному значению. Как и следовало ожидать, этот вектор параллелен вектору, найденному в предыдущем примере, но имеет большую длину. Аналогично можно найти второй соб­ ственный вектор, соответствующий второму собственному зна­ чению:

Е Ш -

Этот метод применим и к матрицам большего порядка, хотя

На фиг. 4.6 наглядно изображены три вектора, заданные строками матрицы. Прежде чем начать анализ, остановимся на некоторых известных свойствах собственных значений и собст­ венных векторов. Так как матрица симметрична, все три собст­ венных значения — действительные числа. Первый собственный вектор, соответствующий наибольшему собственному значению, проходит в пространственном углу, в котором лежат три задан­ ных вектора. Сумма собственных значений равна следу матрицы, т. е. 11. Собственные значения и собственные векторы этой мат­ рицы следующие: