Математическое моделирование в естественных науках

где Σ – тензор напряжений Коши на макроуровне; Ω – тензор спина на макроуровне, который характеризует движение подвижной системы координат; ω – тензор спина на мезоуровне; Π, π –

тензоры упругих свойств на макроуровне и на мезоуровне; Din – неупругая составляющая тензора деформации скорости на макро-

уровне; din – неупругая составляющая тензора деформации ско-

рости на мезоуровне; De – упругая составляющая тензора деформации скорости на макроуровне.

Для связи уровней в рамках модели принята кинематическая гипотеза Фойгта, согласно которой тензоры скоростей деформации всех зерен совпадают с тензором деформации скорости представительного объема поликристалла [5].

Исходя из вышесказанного мы можем записать аналогичную (1) систему для мезоуровня:

251

где σr – коротационная производная тензора напряжений Коши на мезоуровне; d – тензор деформации скорости на мезоуровне;

n(i) , b(i) – векторы нормали и Бюргерса соответственно для i-й системы скольжения или единичные векторы в соответствующих направлениях; τ(ci) – критическое напряжение на i-й системе скольже-

ния; τ(i) – действующее напряжение на i-й системе скольжения; γ(i) –

скоростьсдвиганаi-йсистемескольжения; H – функцияХевисайда. Часть характеристик с мезоуровня переходят на макро-

уровень с использованием осреднения:

Π= < π>,

Ω= < ω >, Σ = < σ > .

Входе моделирования была получена зависимость интенсивности напряжения от интенсивности деформации при неупругом деформировании поликристаллического агрегата. В данной работе рассматривались и реализованы: модель ротаций по Тейлору, механизм разгрузки, моделирование простого нагружения, моделирование монотонного циклического нагружения

имоделирование произвольного нагружения. Была проанализирована зависимость результатов моделирования от изменения внутренних параметров модели.

Работа выполнена при поддержке гранта Президента РФ № МК-4917.2015.1, гранта Российского фонда фундаментальных исследований № 14-01-96008 р_урал_а.

Список литературы

1.Трусов П.В., Волегов П.С., Кондратьев Н.С. Физические теории пластичности: учеб. пособие. – Пермь: Изд-во Перм. нац. исслед. политехн. ун-та, 2013. – 244 с.

2.Ашихмин В.Н., Волегов П.С., Трусов П.В. Конститутивные соотношения с внутренними переменными: общая структура

252

и приложение к текстурообразованию в поликристаллах // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2006. – № 14. – С. 11–26.

3.Трусов П.В., Волегов П.С., Швейкин А.И. Конститутивная упруговязкопластическая модель ГЦК-поликристаллов:

теория, алгоритмы, приложения. – LAP LAMBERT: Saarbucken, 2011. – 147 с.

4.Многоуровневые модели неупругого деформирования материалов и их применение для описания эволюции внутренней структуры / П.В. Трусов, А.И. Швейкин, Е.С. Нечаева, П.С. Волегов // Физическая мезомеханика. – 2012. – Т. 15, № 1. – С. 33–56.

5.Трусов П.В., Волегов П.С. Физические теории пластичности: приложение к описанию упрочнения в поликристаллах // Вестник Тамбов. ун-та. Сер.: Естественные и технические нау-

ки. – 2010. – Т. 15, № 3-1n. – С. 983–984.

МЕТОДЫ ИЗМЕРЕНИЯ УПРУГИХ МОДУЛЕЙ В Ti, ПОЛУЧЕННОМ ИНТЕНСИВНЫМИ ПЛАСТИЧЕСКИМИ ДЕФОРМАЦИЯМИ

Д.К. Магомедова

(Санкт-Петербургский государственный университет,

Санкт-Петербург, Россия, magmedva.dasha@mail.ru)

Рассматривается применимость трех наиболее распространенных методик для нахождения упругих характеристик твердого тела, таких как модуль Юнга и коэффициент Пуассона, посредством измерения продольной и поперечной скорости распространения звуковых волн в наноструктурированном Ti.

Ключевые слова: распространение волн, наноструктурированные металлы, оптико-акустический метод.

Работа посвящена измерению упругих модулей в наноструктурированном Ti [1]. С помощью измеренных значений продольной vl и поперечной vt скоростей распространения волн

считались значения параметров, характеризующих упругое со-

253

Юнга; μ – коэффициент Пуассона; – модуль сдвига.

Резонансный метод [2] (рис. 1, 2)

Рис. 1. Схема установки

в

Рис. 2. Осциллограммы акустического сигнала для образцов Ti

толщиной: а – h = 19,5 мм; б – h = 14 мм; в – h = 9,6 мм

254

Толщина представленных образцов оказалась слишком большой, что не позволило получить данные по поперечным волнам, так как сигнал затухал внутри материала. Чтобы найти толщину образцов для применимости данного метода, требуются дополнительные исследования. Данный метод полностью не решает представленную задачу.

Импульсный метод [3] (рис. 3–6)

Рис. 3. Инициация звукового импульса вAl

Рис. 4. Осциллограмма звукового импульса вAl

255

Данным методом не удалось измерить поперечную скорость волны, так как возникла необходимость создания специального датчика для принятия сигнала, поэтому он также не дал нам полного решения поставленной задачи

Оптико-акустический метод [4] (рис. 7, 8, таблица)

Рис. 7. Осциллограмма звукового импульса в Ti ОА метода

Рис. 8. Осциллограмма звукового импульса в Ti ОА метода для расчета скорости поперечных волн

257

Рассчитанные скорости продольных и поперечных волн

Плотность Ti (метод гидростатического взвешивания)

E = 1,12 1011 Па и μ = 0,32. Это показывает влияние нанострук-

турирования на упругие свойства титана. Данный метод оказался эффективным для измерения упругих свойств объемного наноструктурированного Ti.

Заключение. В данной работе были рассмотрены три метода, из которых только один (ОА метод) оказался действующим для данного типа материалов. В настоящее время ведутся дальнейшие исследования по применению различных методов для измерения упругих свойств наноматериалов для получения более широкого спектра данных.

Автор благодарит за предоставленные материалы и оборудование В.А. Морозова (СПбГУ), Ю.В. Судьенкова (СПбГУ), А.А. Лукина (СПбГУ). Исследования выполнены при поддержке гранта № 14.В25.31.0017.

258

Список литературы

1.Валиев Р.З., Александров И.В. Объемные наноструктурные металлические материалы. – М.: Академкнига, 2007.

2.Физическая акустика. Т. 1, ч. А. Метод и приборы ультразвуковых исследований / под ред. У. Мэзона. – М.: Мир, 1966. – 592 с.

3.Experimental studies of high-speed loading of materials / B.F. Vorobiev, U. Daubayev, I.P. Makarevich, V.A. Morozov, A.I. Nedbay, Yu.V. Sud'enkov // Physical mechanics. – 1984. – №5. – P. 144–169.

4.Gusev V.E., Karabutov A.A. Laser Optico-acoustics. – Moscow: Nauka, 1991.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КОНВЕКЦИИ ЖИДКОСТИ В ТОНКОМ КОАКСИАЛЬНОМ ЗАЗОРЕ

Е.С. Мазунина

(Пермский государственный гуманитарно-педагогический университет,

Пермь, Россия, bratchikova-e@yandex.ru)

Рассматриваются некоторые вопросы, связанные с численным моделированием конвекции в узком коаксиальном зазоре. Исследованы режимы движения жидкости в зазоре при подогреве через внешнюю границу, определены границы существования режимов.

Ключевые слова: вязкая жидкость, гравитационная конвекция, теплообмен, коаксиальный зазор, метод сеток.

Целью данной работы является изучение гравитационной конвекции вязкой несжимаемой жидкости, находящейся в горизонтальном цилиндрическом зазоре. Внешняя и внутренняя поверхности твердые и изотермические. Подогрев слоя происходит через наружную границу. Исследованиям конвекции в таком коаксиальном зазоре посвящены работы [1, 2]. В работе [2] движение дополнительно осложнено вращением слоя вокруг горизонтальной оси. Основными параметрами, характе-

259

ризующими движение в жидкости являются число Релея, число Прандтля и отношение радиусов цилиндрических поверхностей. При анализе профилей температуры для стационарного состояния выявлено, что движение в жидкости начинается при любом значении числа Релея, кроме нулевого. Число Прандтля и отношение радиусов цилиндрических поверхностей было взято Pr = 5 и 10, R1/R2 = 0,9

При численном решении задачи использовались нелинейные уравнения для момента импульса и температуры в полярной системе координат [3]. В качестве единицы расстояния взят радиус внешнего цилиндра. За начало отсчета температуры принята температура внутренней границы, за единицу температуры – температура на внешней границе зазора. Система уравнений и граничных условий имеет три безразмерных параметра: число Релея, число Прандтля, отношение радиусов цилиндров. Расчет проведен с помощью схемы Кранка–Николсона на половине области. Были получены поля функции тока и температуры для разных значений чисел Релея и Прандтля.

Обнаружено, что в диапазоне чисел Релея от 0 до 40 × 105 возможно существование двух различных режимов движения жидкости: стационарной конвекции в случае Pr = 5 при

0 < Ra < 29,2 × 105 и колебательной 29,3 × 105 < Ra < 40 × 105.

Изучена структура движений, определены диапазоны существования режимов и периоды колебаний. В случае стационарной конвекции в правой половине зазора образуется положительный вихрь, центр которого расположен строго посередине слоя. Функция тока вихря растет с увеличением значения числа Релея по степенному закону. При колебательной конвекции в нижней части слоя образуется отрицательный вихрь, который существует только часть периода. За это время отрицательный вихрь смещается по радиальной и азимутальной координатам. Интенсивность отрицательного вихря увеличивается с ростом числа Релея. При увеличении числа Прандтля колебательная конвекция обнаружена при больших числах Релея.

260