Теория автоматического управления
..pdfРис. 2.1. Функциональная схема автоматической системы стабилизации по дачи руды
Рассмотрим процесс передачи воздействий в конкретной авто матической системе на примере автоматической системы стаби лизации подачи руды (рис. 2.1), которая была рассмотрена в 1.4. В этой системе электрическая энергия, поступающая из сети, преобразуется при помощи двигателя в механическую, ко торая через редуктор Р передается на вал шнекового питателя Я. Питатель перемещает руду из бункера на весоизмеритель В и да лее в технологический аппарат, перерабатывающий руду. Коли чество энергии, передаваемой двигателем питателю, изменяется в зависимости от значения величин управляющего сигнала иу и мо мента сопротивления, действующего на вал шнека. Момент сопро тивления зависит от механических свойств руды (плотность, круп
ность, вязкость) и частоты вращения шнека. Это |
означает, что |
в электромеханической части системы, состоящей из |
силового маг |
нитного усилителя СМУ, приводного двигателя Д, |
редуктора Р |
и питателя Я, действует внутренняя обратная связь |
(см. пунктир |
ную линию), т. е. рассматриваемая часть системы не обладает свойст вом однонаправленности.
Свойством однонаправленности передачи воздействия в данной автоматической системе обладают ленточный весоизмеритель В, магнитоупругий датчик М Д и электронный усилитель ЭУ: никакие искусственные изменения выходных величин этих элементов не могут привести к изменению их входных величин. Например, сила F не может изменить количество руды, проходящей через ве соизмеритель, а напряжение на выходе датчика не может повлиять на силу F.
Глубокий анализ процессов, происходящих в системах, и эф фективное решение задач расчета и проектирования автоматических
систем возможны лишь с применением языка и методов математики. Причем, первым этапом при исследовании или конструировании автоматической системы является составление математического опи сания (математической модели) ее элементов и системы в целом.
Составление математического описания конструктивного эле мента автоматической системы состоит из следующих последова тельных процедур: принятие исходных допущений, выбор входных и выходных переменных, выбор систем отсчета для каждой пере менной, применение физического принципа, отражающего в мате матической форме закономерности преобразования энергии или ве щества.
Наиболее распространенной формой описания передаточных свойств автоматических систем и их элементов являются обыкно венные дифференциальные уравнения. Для элемента, имеющего один входной сигнал х (t) и один выходной сигнал у (t), обыкно венное дифференциальное уравнение записывается в общем случае следующим образом:
ФИО. у'(0. |
. у*а)(0; *(0. *'(0. • -, *(т)(0. 0=о. |
|
(2. 1) |
Уравнение (2.1) связывает неизвестную функцию у (0 и ее про изводные у' (0, • . У(п){0 с независимой переменной t и известной (заданной) функцией времени х (t). Уравнение (2.1) называют урав нением динамики или движения элемента. При этом понятие «дви жение» употребляют в самом обобщенном смысле.
Уравнение (2.1) может быть линейным и нелинейным. Линей ным оно является в том случае, если функция Ф линейна по отно шению ко всем ее аргументам. Если же переменные у (t), х (t) и их производные входят в выражение функции Ф в виде произведений, частных или степеней, то уравнение является нелинейным.
В выражение функции Ф, кроме основных переменных, входят постоянные величины, называемые параметрами. Числовые зна чения параметров зависят от конструктивных данных описываемого элемента — масс, индуктивностей, емкостей и т. д.
Если переменная у, характеризующая состояние элемента, кроме времени зависит еще от другой независимой переменной, которая является пространственной координатой, то элемент опи сывается дифференциальным уравнением с частными производными. Сам описываемый элемент называют в этом случае элементом с рас пределенными (в пространстве) параметрами. Такими элементами являются, например, сушильные барабаны, флотомашины и дру гие аналогичные установки, в которых процессы преобразования энергии и вещества происходят по всей длине аппарата.
Почти все реальные объекты автоматического управления яв ляются элементами с распределенными параметрами. Однако при практических расчетах с большей или меньшей степенью прибли-
32
а |
~л |
Ш . |
|
|
|
-о— |
F3(t) |
|
|
и(Ы |
|
|
|
^ Р > = ^ = н * |
|
|
|
|
F(t) |
|
|
|
Kt) |
Рис• 2.2. Конструктивная (а) и алгоритмическая (б) схемы электромагнита
женин их рассматривают как элементы с сосредоточенными пара метрами.
Рассмотрим схему электромагнита (рис. 2.2, а), состоящего из обмотки, неподвижного сердечника и подвижного якоря. В авто матике такие электромагниты используют в качестве исполнитель ных устройств систем управления.
Составим уравнение и алгоритмическую схему, отражающие физические связи между входной и выходной величинами электро магнита и характеризующие его передаточные свойства.
Входной величиной является напряжение |
и (t), приложенное |
|
к обмотке электромагнита. |
Напряжение и (t) |
в процессе работы |
электромагнита изменяется |
в соответствии с алгоритмом управле |
|
ния системы (в общем случае — по произвольному закону). Будем считать, что источник напряжения 1 обладает достаточно большой мощностью, и напряжение и (/) не зависит от электромагнитных процессов, происходящих в обмотке.
В качестве выходной величины целесообразно принять электро магнитную силу Рэ (/), которую создает магнитное поле и которая действует через подвижный якорь на последующий элемент 2 си стемы управления.
Согласно второму правилу Кирхгофа алгебраическая сумма ЭДС и напряжений в цепи обмотки в каждый момент времени равна
нулю: |
|
u ( t ) - i ( t ) r + e(t) = 0, |
(2.2) |
ЭДС самоиндукции е (/) равна скорости изменения |
потокосцепле- |
ния: |
|
e (0 = - d Y (/)/d (/), |
(2.3) |
а потокосцепление самоиндукции Ч1, (/) |
равно произведению тока |
i (/) и индуктивности L: |
|
V(t) = Li{t). |
(2.4) |
Индуктивность цепи, в свою очередь, зависит от величины за зора между сердечником и якорем, т. е. от перемещения якоря / (/) и тока в цепи. Эта зависимость в общем случае имеет довольно сложный характер. Однако при наличии воздушного зазора на сыщение в магнитопроводе не наступает, ток практически не влияет на индуктивность, и индуктивность может рассматриваться как функция только одной переменной — перемещения I (t), т. е.
L U (*)].
Индуктивность зависит также от размеров, формы и магнитных свойств сердечника. Но эти факторы в процессе работы электро магнита не меняются, и поэтому при описании передаточных свойств электромагнита учитываются коэффициентами уравнений.
Подставляя выражения (2.3) и (2.4) в равенство (2.2), получаем
нелинейное дифференциальное уравнение цепи обмотки |
|
||
и (0 - i (0 r - L [ i (01 |
i (/) |
= 0. |
(2.5) |
Электромагнитная сила F3 (/), как известно из электротехники, пропорциональна в каждый момент времени квадрату тока и об
ратно пропорциональна величине зазора (перемещения): |
|
F3(t) = c3F(t)/F(t), |
(2.6) |
где сэ — коэффициент, учитывающий число витков обмотки и пло щадь сечения сердечника.
Алгебраическое соотношение (2.6) и дифференциальное уравне ние (2.5) совместно описывают электромагнит как преобразователь сигнального (информационного) воздействия в силовое (энерге тическое) воздействие. Выражая из соотношения (2.6) ток через силу и перемещение и подставляя ток в уравнение (2.5), можно получить одно общее уравнение электромагнита в форме (2.1):
Ф [^э(0, Ъ (0 , и(0, 4 ) . 4 0 . 4 0 . г, сэ] = о. |
(2.7) |
Нетрудно убедиться, что в левую часть уравнения (2.7) войдут произведения и степени переменных F3 (/), / (/) и их производных. Следовательно, полученное дифференциальное уравнение является нелинейным. Причем, один из параметров уравнения является пе
ременным: индуктивность |
L зависит |
от |
меняющейся величины |
/ (/). Использовать такое |
уравнение |
для |
анализа передаточных |
свойств электромагнита трудно.
Более наглядное представление о внутренних процессах элек тромагнита и его передаточных свойствах дает алгоритмическая схема (рис. 2.2, б), которая соответствует уравнениям (2.5) и (2.6).
34
Особенностью электромагнита, рассматриваемого как структур ное звено автоматической системы, является наличие у него внут ренней обратной связи: электромагнитная сила Рэ (t) создает пе ремещение I (/), а перемещение I (t), в свою очередь, влияет на силу F9 (t) и индуктивность L. Поэтому при математическом опи сании электромагнит рассматривают обычно совместно с конструк тивным элементом 2, на который действует сила Рэ (t) и от проти водействия которого зависят результирующая сила и перемещение
/ (/). В практических расчетах обычно учитывают |
лишь влияние |
перемещения на силу Рэ (/), а индуктивность L считают неизмен |
|
ной и равной некоторой средней величине L0. |
определяющих |
В заключение сформулируем ряд положений, |
|
м е т о д о л о г и ю ф о р м а л и з о в а н н о г о п р е д с т а в л е н и я и м а т е м а т и ч е с к о г о о п и с а н и я элементов
исистем управления:
1.Система рассматривается как цепь взаимодействующих (фи зически и информационно) элементов, которая обладает способ ностью передавать физические воздействия и информационные сиг налы в одном, строго определенном направлении.
2. Каждый конструктивный элемент системы рассматри вается как преобразователь входного воздействия в выходную ре акцию.
3.На основе априорных сведений о физической природе каж дого элемента и закономерностях его функционирования состав ляется математическая модель, которая на языке соответствующей научной дисциплины отражает существенные для данной цепи взаи мосвязи между входными и выходными переменными элемента.
4.При составлении математического описания отдельных эле ментов и системы в целом всегда приходится прибегать к некоторой идеализации реальных физических процессов, происходящих в эле ментах, определенным упрощениям физических закономерностей, отбрасыванию второстепенных факторов. Удачность и допустимость всех этих упрощений зависят от глубины знаний исследователя системы в данной области физики и технологии, его инженерной интуиции и всегда подлежат экспериментальной проверке.
2.2. Временные и спектральные характеристики типовых воздействий и сигналов
Виды воздействий и режимов в системах управления. Большое
разнообразие конструкций и условий работы автоматических си стем управления определяет многообразие воздействий и сигналов, наблюдаемых в системах. Изучение и математический анализ кон кретных автоматических систем существенно упрощаются, если пользоваться разработанной в теории управления типизацией воз действий и сигналов.
Рис. 2.3. Виды сигналов и типовых воздействий
Рассмотрим о с н о в н ы е |
р а з н о в и д н о с т и с и г н а |
л о в и в о з д е й с т в и й . |
В зависимости от характера измене |
ния сигнала во времени и от формы его математического представ ления различают регулярные и нерегулярные сигналы.
Регулярный (детерминированный) сигнал изменяется по опре деленному закону и может быть описан конкретной математиче ской функцией времени. К классу регулярных сигналов относятся различные периодические сигналы и непериодические импульсы конечной длительности. Пример регулярного сигнала — импульс, описываемый экспонентой (рис. 2.3, а).
Нерегулярный (случайный) сигнал изменяется во времени слу чайным образом и не может быть представлен в виде конкретной математической функции. Характер изменения случайного сигнала во времени показан на рис. 2.3, б.
Если значение регулярного или случайного сигнала определено
вкаждый момент времени (рис. 2.3, в), то сигнал называется не прерывным или аналоговым. Если же значения сигнала заданы лишь
внекоторые моменты времени (рис. 2.3, г), то он называется
дискретным.
При экспериментальном и теоретическом исследовании автома тических систем и их элементов используют ряд стандартных сиг налов, называемых типовыми воздействиями. Эти воздействия опи сываются простыми математическими функциями и легко воспроиз водятся при испытании систем. Использование типовых («эталон ных») воздействий позволяет унифицировать расчеты различных систем и облегчает сравнение передаточных свойств систем.
Наибольшее применение в теории и практике автоматического управления находят следующие четыре типовых воздействия: сту пенчатое, импульсное, гармоническое и линейное.
Ступенчатое воздействие — это воздействие, которое мгновенно возрастает от нуля до некоторого значения и далее остается по стоянным (рис. 2.3, д). Ступенчатому воздействию соответствует функция
| 0 при ^< 0;
(2.8)
{ а0 при *> 0 .
При анализе и расчете систем удобно использовать ступенчатое воздействие, у которого величина а0 = 1. Его называют единичным ступенчатым воздействием (единичным скачком) и обозначают 1 (t). Математическое выражение, описывающее единичный скачок, имеет вид
1(0 = |
0 |
при |
/< 0 ; |
(2.9) |
|
1 |
при |
0. |
|||
|
|
Любое неединичное ступенчатое воздействие можно обозначить а01 (0- Единичное ступенчатое воздействие, возникающее в момент времени t = tlt обозначают 1 (t—tj).
Ступенчатое воздействие чаще всего используют при испытаниях и расчетах систем стабилизации, так как эти воздействия наиболее близки к реальным входным (задающим и возмущающим) воздейст виям систем стабилизации.
Импульсное воздействие представляет собой одиночный импульс прямоугольной формы (рис. 2.3, е), имеющий достаточно большую высоту и весьма малую продолжительность (по сравнению с инер ционностью испытываемой системы). Очевидно, что площадь та кого импульса всегда равна а0.
При математическом анализе автоматических систем исполь зуют единичное импульсное воздействие, которое описывается так
называемой дельта-функцией |
|
||||
( |
0 |
при |
t-j^O; |
(2. 10) |
|
1 |
оо |
при |
t = 0, |
||
|
|||||
причем |
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
$ 6 (f)d * = l. |
|
(2.11) |
|||
оо |
|
|
|
|
|
Согласно выражениям (2.10) и (2.11) дельта-функцию можно рассматривать как импульс, имеющий бесконечно большую высоту, бесконечно малую длительность и единичную площадь. Дельта функцию можно определить также как производную единичного скачка:
6 (/) = d 1 (t)ld t. |
(2.12) |
Неединичное импульсное воздействие с площадью а0 обозна чается а0б (/).
Если |
единичный импульс действует |
в момент времени t = tlt |
||||
то ему соответствует |
так |
называемая смещенная дельта-функция |
||||
б (t—t j , |
которая также удовлетворяет условию (2.11). |
|
||||
Основное свойство дельта-функции |
выражается соотношением |
|||||
$ х (ft) б (ft— f) dft = х (<), |
|
|
(2.13) |
|||
—оо |
|
|
|
|
|
|
которое |
означает, |
что |
неединичная |
импульсная |
функция |
|
х (ft) б (ft—t), полученная |
как |
произведение произвольной функ |
||||
ции х (ft) на дельта-функцию, |
существует только в момент ft = /, |
|||||
а площадь ее равна |
значению |
функции |
х (ft) в точке |
ft = t. Это |
||
свойство дельта-функции называют фильтрующим или «выхваты вающим».
Выражение (2.13) можно также рассматривать как разложение некоторой функции х (/) на сумму бесконечно большого числа эле ментарных импульсов вида х (ft) б (ft—t) rfft. Каждый элементар ный импульс действует лишь в момент времени ft = t и имеет пло щадь х (ft) dft.
В качестве стандартного гармонического воздействия используют обычно сигнал синусоидальной формы, описываемый функцией
х (t) хтsin at (— сж < /< о о ), |
(2.14) |
где хт— амплитуда сигнала; © = |
2лIT — круговая частота, рад/с; |
Т — период сигнала, с. |
|
Гармонический сигнал, начинающий действовать в момент вре мени t = 0 (рис. 2.3, ж), описывают при помощи единичной сту
пенчатой функции: |
|
x(t) = 1 (i)xmsin wt (0 < t<.oo). |
(2.15) |
Гармонические воздействия (2.14) и (2.15) широко используются при исследовании точности и устойчивости как стабилизирующих, так следящих и программных автоматических систем. Это объяс няется двумя обстоятельствами: во-первых, реальные возмущения часто имеют периодический характер и поэтому могут быть пред ставлены в виде суммы гармонических составляющих; во-вторых, математический аппарат анализа автоматических систем хорошо разработан именно для случая гармонических воздействий.
Для следящих и программных систем типовым является линей ное воздействие (рис. 2.3, з)
x{t) = l( t) ait { 0 ^ t < o o ) . |
(2.16) |
Коэффициент аг характеризует скорость нарастания воздейст |
|
вия х (t). |
|
Рассмотрим возможные состояния |
и р е ж и м ы п е р е х о д а |
а в т о м а т и ч е с к и х с и с т е м |
от одного состояния к дру |
гому. Состояние системы будет характеризовать изменением управ38
а |
5 |
5 |
ляемой величины во времени. Очевидно, что состояние системы и ре жимы перехода зависят как от формы задающего или возмущаю щего воздействия, так и от свойств самой системы.
Различают два режима работы автоматических систем и их эле ментов: статический и динамический. Статическим режимом на зывают состояние системы (элемента), при котором управляемая (выходная) величина у не изменяется во времени, т. е. у (t) = = const.
Очевидно, что статический режим (или состояние равновесия) может иметь место лишь тогда, когда входные воздействия по стоянны во времени. Связь между входными и выходными величи нами в статическом режиме описывают алгебраическими выраже ниями.
В динамическом режиме работы системы (элемента) управляемая (выходная) величина непрерывно изменяется во времени — у (t) = = var.
Динамические режимы имеют место, когда в системе после на несения внешних воздействий происходят процессы установления заданного состояния или заданного изменения выходной величины. Эти процессы называются процессами управления и описываются в общем случае дифференциальными уравнениями.
Динамические режимы разделяются на неустановившиеся и уста новившиеся. Неустановившиеся, или переходные, режимы имеют место сразу после изменения внешних воздействий. Конкретный вид функции у (/) в переходном режиме зависит от типа воздейст вия и собственных динамических свойств системы. Установившийся режим работы наступает после окончания переходного процесса, когда выходная величина элемента или системы изменяется во вре мени по такому же закону, что и входное воздействие. При этом говорят, что элемент (система) совершает вынужденное движение.
Нетрудно заметить, что статический режим является частным случаем установившегося (вынужденного) режима при х {t) = = const.
Рис. 2.5. Периодический (а) и непериодический (в) сигналы и их амплитуд ные спектры (б, г)
Понятия «переходный режим» и «установившийся режим» иллю стрируются графиками изменения выходной величины у (/) при трех типовых воздействиях (рис. 2.4). Граница между переходным и установившимся режимами показана вертикальной пунктирной линией.
Основные сведения из гармонического анализа воздействий и сигналов. В инженерной практике при описании и исследовании си
стем управления широко применяется разложение реальных сиг налов сложной формы на элементарные сигналы синусоидальной формы. Математический метод представления сложных сигналов (периодических и непериодических) в виде совокупности элемен тарных гармонических составляющих (гармоник) называется гар моническим анализом.
Рассмотрим основные положения этого метода. Как известно из курса высшей математики, любая периодическая функция с пе риодом Т (рис. 2.5, а)
x(f)=x{t + iT)(l = 0] 1; |
2; |
), |
(2.17) |
удовлетворяющая условиям |
Дирихле (конечное число |
разрывов |
|
на интервале периода Т), может быть разложена в бесконечный
сходящийся тригонометрический ряд — ряд |
Фурье |
00 |
|
*(0 = - ^ - + £ (akcos(a1kt + bksin(j)1kt), |
(2.18) |
2 k=\