На,

полуокружности

z ' = R, где

Rez = A '> 0

при

достаточно

большом

R (R >

А.+ 1), имеем j / (г) | >

ср (г)

так

как

|/(г) - ' г - Х

^ | 2 |— Я,=

Д - А , > 1,

I ф (г) ; =

i er* , =

ег*~*и (= '

егхе^и {=е~х , <r'i/

=

^ 1

(х > 0).

447.

Показать,

что

уравнение

= 1, где Л> 1 ,

имеет в

единичном

круге

|г |^ 1 единственный действи­

тельный

и положительный

корень.

1+z4-az"-=0,

где

448.

Показать,

что

уравнение

п —натуральное число,

большее единицы, при всяком а

имеет в

круге

| г | ^ 2 ,

по

крайней

мере, один корень.

449.

Пусть

/(г)

и ср (г) —функции аналитические

в не­

которой окрестности точки

a,

С — круг с центром в точке а -

такой, что вдоль окружности

этого

круга имеем

Показать,

что

уравнение

ь

F(z) = z — а —а/(г)—Р/(г) = 0

имеет внутри

круга С один и только один корень.

§ 12.

Конформные отображения

I. П о н я т и е к о н ф о р м н р г о о т о б р а ж е н и я

On р е д.е л е н и е.

Отображение

окрестности точки

г0 на окрест­

ность точки

w0, осуществляемое

функцией

щ= /(г), называется кон­

формным, если

й

точке г0 оно обладает свойством сохранения углов

между линиями и постоянством растяжений (рис. 14).

Это означает,

что:

1) если

при

отображении w = [(z) кривые у,

и у, переходят

соответственно

в кривые Г1 и Г2, то

угол

ср между

касательными

и /:, к

кривым ух и у2 в точке z0 будет равен углу Ф

между-соответствующими

касательным“и К,

и К2 к кривым

Г, и Г4

в точке C^Q, т. е*

Ф = ср; 2) если

в плоскости комплексного

перемен­

ного z возьмем

бесконечно

малый

круг с центром

в

точке г0, то

в плоскости

w ему будет

соответствовать

бесконечно

малый круг

с центром

в

точке

Поэтому

говорят, что конформное отображение

обладает свойством консерватизма углов и подобия в малой.

Если

при

Отображении

w= [(z)

углы

между соответствующими

направлениями

Ьавны

не только по величине, но и по направлению

жение w = z.

рассматривать только конформные отобра­

В дальнейшем будем

жения первого

рода.

называется конформным в области D, если

Отображение w = f(z)

оно конформно

в каждой

точке этой области.

чтобы в этой области

функция w = f(z)

была однолистной *) и ана­

литической, причем /'

(z) 'ф 0 для всех z е

D.

то отображение, осу­

Если не предполагать однолистности

/(г),

ществляемое этойфункцией, не будет взаимно

однозначным, а тем

в

полукольце

1^

| z | ^ 2, 0 ^

arg г ^

я, является аналитичной в нем

и,

кроме

того, всюду в полукольце выполняется условие wf = 4z3 Ф 0.

Однако функция

w = z4 отображает заданное

полукольцо на область

1^

| w |

16,

0 ^ arg

4я,

т. е. область,

дважды покрывающую

соответствующее

кольцо

на плоскости w, что и нарушает

взаимно

однозначное соответствие.

D отображения

П р и м е р

1. В каких областях

a) w = 2z,

б) ш = (г —2)2

являются

конформными?

/ (z) = 2z является

аналитической

и одно­

а) Так как

функция

листной во всей

комплексной

плоскости г, а ее производная

/' (г) =

=

2 Ф-0,

то данное отображение

является конформным вовсей

ком­

плексной

плоскости.

она

*) Функция

w = f (z)

называется

однолистной в области

D,

если

в различных

точках

области

D принимает различные значения.

б)

Отображение

w= (z — 2)2

является всюду

конформным, кроме

точки z = 2, в которой производная f

(г) = 2 (г —2) обращается в нуль.

450.

Указать

области

конформности

для

следующих

отображений:

a)

w = e~3z\ б) оу = г2- 4 г ;

в)

ш = — /г2;

Г)

oy = s h ( l —г);

д) w = (z + 2i)3.

II.

О б щ и е т е о р е м ы

т е о р и и

к о н ф о р м н ы х о т о б р а ж е н и й

1.

Т е о р е м а

Р и м а н а .

Существует аналитическая

функция

оу= / (2)*

отображающая

взаимно однозначно и конформно одну одно­

связную

плоскую

область

D на другую G, если

только

ни одна из

этих областей

не совпадает

со всей плоскостью

с одной

выключен­

ной точкой или всей расширенной плоскостью.

Имеется бесконечное множество аналитических функций, осущест­

вляющих

отображение

области

D на

область

G.

Единственность

отображающей

функции

w = f(z)

будет обеспечена, если потребовать,

чтобы выполнялось одно из условий:

а)

заданная

точка

г0 области

D перешла в

заданную точку itf0

области

G,

а линия, выходящая

из zQt

повернулась

на данный угол

а(ш 0 =

/(г 0), a r g / ' (20) =

а);

точка

границы

у перешли соответ­

б)

точка

г0 области D и

ственно

в

точку гс»о области G

и в

точку wx границы Г [wQ= f (z0)>

ничные точки wlt

w2y

w3 области

G [wt = f (zj,

w2 = f(z2), w3 = f(z3)],

при этом,

если

при

движении

по

границе

-у от

zx к z3 через

z.r

область

D остается

слева (справа),

то

при движении

по граниие

Г

от wx к

w3

через

w2

область G

также должна

оставаться

слева

(справа).

б)

и

в)

функция

f (z)

предполагается

непрерывной

В случаях

в замкнутой области

D.

о д н о з н а ч н о г о

с о о т в е т ­

2. П р и н ц и п

в з ' а и м н о

с т в и я

г р а н и

ц. Пусть область D ограничена гладким или кусочно

гладким

контуром у. Пусть функция

цу = /(г),

аналитическая

в D

и

область G также

остается

слева.

Тогда область D с помощью функ­

ции

ш= /(г) отобразится

взаимно

однозначно

и

конформно

на

область G.

Пусть область

D,

содержащая

3. П р и н ц и п с и м м е т р и и .

в составе своей

границы

некоторый

прямолинейный отрезок

у (ко­

нечной или бесконечной

длины),

отображается функцией

w = f(z)

на

область G так, что у переходит в

прямолинейный

отрезок Г,

входя­

щий

в границу области

(рис. 15).

Обозначим соответственно

через I

и L прямые, на которых

лежат отрезки у и Г. Принцип симметрии

утверждает: если

функция

w ~[(z)

апалитична в области

D, а также

П р и м е р

2.

В области

D, ограниченной

контуром

у:

задана функция

х2 + у2 — 2* =

0,

w = 3z + i.

В какую область перейдет D при отображении, осуществляемом этой

функцией?

Пусть

z= x+ n/,

= н+

Тогда

соотношение

Ре ше ние -

to = 3z+t

перепишется в виде u + iv = 3х+ / (3t/+ 1),

так что и.= Зх}

и = Зу+1.

Отсюда х= ы/3, г/= (у— 1)/3.

Контур у отображается

в

контур

Г:

( ! ' / + ( н

г ) ? - 2 '

з

= 0

нли

(“ - 3 ) 2- Н У -1 )г= 9 ,

т. е. окружность радиуса 3 с центром в точке

М (3,

1). Положитель­

ное направление обхода контура у

соответствует

положительному

направлению

обхода контура

Г. В этом

можно убедиться, задав кон­

туры параметрическими

уравнениями:*

Y: x=l +cos <p,

f/= sirup,

0 ^ с р < 2 я ,

Г: w =

3 + 3cos(p,

%и=

3 sin (р + 1,

0 ^ ф < 2 я .

Согласно

принципу

взаимно

однозначного

соответствия границ

область D отобразится в область

G — внутренность окружности, огра­

ниченной

контуром Г.

III.

К о н ф о р м н ы е

о т о б р а ж е н и я ,

о с у щ е с т в л я е м ы е л и н е й н о й

ф у н к ц и е й w = az + bt ф у н к ц и е й

и д р о б н о - л и н е й н о й ф у н к ц и е й w =

1.

Л и н е й н а я

ф у н к ц и я .

Линейная функция

w = az+ bt

где а и

Ь — постоянные

комплексные

числа

(аф 0), осуществляет

конформное отображение

всей плоскости г на

всю плоскость wt так

как при любом г имеем w '=*аФ 0.

Частные случаи:

w = z-\-b

(1)

1.

осуществляет преобразование

параллельного переноса.

2.

w = eiazy

(2)

где а —действительное число, осуществляет преобразование поворота

вокруг начала координат на угол ос.

3.

w — rZy

( 3)

где г —действительное положительное

число,

осуществляет

преобра­

зование

подобия с центром подобия в начале'координат, г — коэффи­

циент подобия.

Общий случай линейного отображения

w = az+by где

а = ге*а ,

(4)

3) параллельного

переноса с помощью вектора, соответствующего

комплексному числу Ь.

преобразование

оставляет

неподвижными

Отметим,

что линейное

две точки zx = oo

и z2 = y—

При

а =

1

получаем

z2 = oo, т. е.

в этом случае обе неподвижные точки совпадают.

П р и м е р

5.

Показать,

что

линейное

отображение w = az + b

вполне определяется, если

потребовать, чтобы две различные точки z1

и г2 переходили

соответственно

в произвольно заданные, но различ­

ные точки wx и w2.

задание отображения ш= аг + 6 будет

Р е ш е н и е .

В самом деле,

осуществлено,

если известны

значения

параметров а

и Ь. Покажем,

при z —zx получаем w = wlt

т. е. wl = azl -\-bt а при

z = za получаем

w2 —az2 + b.

находим

Из этих равенств

w2 — wx

_ wxz2—

(zi ^

2г)*

Z2

1

z2 zx

В т о р о й

с п о с о б .

Пусть искомая

функция

есть

ш= a z + b,

где аг и

6 — пока

неопределенные

константы.

По

условию задачи

точки 2j = 0 и z2=

1 должны

перейти

соответственно в точки

и Ь:

1 + i

и ша= 0. Получаем

систему

уравнений

для определения а

f

1+* = *,

\

0 = а + 6 .

Отсюда а = — 1— г,

6 = 1 + 7 ,

а значит,

ш= ( 1 + 0 ( 1 - г ) .

454. Указать геометрический смысл (сдвиг, растяже­

ние, поворот) следующих

преобразований:

a)

w = z + 3i\

б)

w — z + b\

в)

to =

iz;

г)

до = е

6 z;

д)

до —3z;

е)

до — -pJ- z.

~

455. Найти общий вид линейных функций, с помощью

которых осуществляются преобразования^

а)

верхней

полуплоскости

на себя;

б) верхней

полуплоскости

нанижнююполуплоскость;

в) верхней

полуплоскости

на правую

полуплоскость.

456. Найти

линейные

отображения

w = az-\-b,

оста­

вляющие точку

г0 неподвижной и переводящие

точку zx

В ТОЧКУ Wy\

а)

2Q= 1 —i,

Zy = 2-)-i,

Wy = 4 — 3/;

б)

z„ = — i, Zy — 1 — 2i,

Wy = 2 —3r,

в) Z„= —1— t, zr = 3 —'2t,

Ш! = 3/.

457. Найти

линейную

функцию до = /(г),

отображаю­

щую полосу, заключенную между прямыми х = а, x= a+ h,

на

полосу 0 <

и <

1

в плос­

кости' (до).

2.

Ф у н к ц и я

ш=

(5)

Точки

М

и

М'

называются

симметричными

относительно ок­

ружности Г,

если

на одном

1)

они

находятся

луче, выходящем из центра ок­

ружности;

З а м е ч а н и е .

Точки, окружности Г симметричны самим себе

относительно этой

окружности, *

Для

центра 0 окружности Г симметричной точкой относительно Г

является

бесконечно удаленная точка.

Если

центр окружности F находится в начале координат и одна

из симметричных

относительно

Г точек изображает комплексное

число z,

то другая

соответствует

D2

комплексному числу, - г - .

Преобразование

яв­

ляется

конформным

во

всей

расширенной

плоскости, причем

точке

z = 0

соответствует точка

w = co, а точке, г —со соответст­

вует

точка

со = 0.

(Считают,

что угол

между линиями

в бес­

конечно

удаленной точке одной

из плоскостей

(г

или

w)

равен

углу

между

образами

этих

ли­

ний

в начале координат другой

плоскости.) Окружности

(а так­

же

прямые)

при

отображении

1

до=-~ переходят в.окружности

пли

прямые.

Неподвижные

точки

г, = + 1 и г2 =

—1.

образ

окружности

г

= 3 при отображении

П р и м е р

8.

Найти

^25

w = — .

Z

П е р в ы й

с п о с о б . Пусть

z = x + iy,

w = u-]r iv.

Р е ш е н и е .

_

25

перепишется-в виде

Тогда

соотношение w = —

u + iv

25

25дг

.

25у

x + iy

х- + у-

1х2 + у21

откуда-4-*

25*

и

ь = ---- ЦУ—„.

(а)

х*+ у-

х-+ у-

Уравнение окружности

2 |==3

в декартовых

координатах

запишется

в виде

х-+ у2 = 9.

(б)

Исключая

из

(а)

и (б) * и у, получим

т.

е. окружность

радиуса

/? = —— с центром

ъ начале

координат

в

плоскости w.

Запишем г и w в показательной

форме

В т о р о й

с п о с о б .

z =

ре*Ф,

w = reib.

Тогда при отображении w = ^ -

получим

рЯ-.

25

г = -25

' ре*ч> ’

откуда

Э= — ср,

где р = 3 и 0 ^

ф <

2я. Значит,

w =

еЧ(Р

есть окружность радиуса

г = 25/3 с центром в начале координат, про­

ходимая по часовой стрелке, когда исходная окружность проходится

против

часовой стрелки.

Из

равенства до = 25/г имеем г = 25/ш. Под­

Т р е т и й

с п о с о б .

ставляя

это

выражение

для

z

в уравнение

окружности

|г | = 3 и

пользуясь свойством

модуля,

получим

25

= 3

или

25

3,

w

|ш|

откуда

1ш| = 25/3.

Следовательно, образом

окружности |z | = 3

при

отображении

ад = 25/г будет окружность

|ш | =

25/3.

458.

На

какую

область отображает функция

w = l/z

полуполосу

0 < R e z < l , l m z > 0 ?

459.

Найти образы

следующих

множеств при

отобра­

жении до =

1/2 :

a)

arg z = я/3;

б)

|г | =

1, ^ < arg z <

я;

в)

0 <

у —0;

г )

—2 <

г/ <

— 1,

х = 0;

д)

R e z < 1.

3. Д р о б и о-л и н е й н а я ф у н к ц и я

W

az + b

(6)

cz + d *

az + b

W ---------- !-----

cz + d

отображает

верхнюю

полуплоскость Im z > 0 на верхнюю полупло­

скость Im ш > 0.

__

Р е ш е н и е .

При

этом отображении требуется, чтобы граница

области

l m z > 0 — ось

Ох, проходимая слева направо, отображалась

в границу

области Im w ;> 0, т. е. в ось

Ои, тоже проходимую слева

направо.

Таким

образом, при любых

действительных значениях z

лишь при

действительных значениях

чисел а, b, с, d. Далее, каждому

z = x-\-iy, где у > 0,

должно

соответствовать

такое w = u-\-iv, у кото­

рого 1»>0. Подставив г = х + ф в формулу

(6),

получим

w = и + iv

(ах + b)(cx + d)-\- асу2

.

(ad — bc) у

(cx-\-df- + if-

+ I (cx + d)2-\-y2 ’

откуда

с. _

(ad — be) у

(cx + d)2+ y- •

Так как

здесь у >

0 и знаменатель

положителен,

то для

положи­

тельности

v необходимо и

достаточно,

чтобы

выполнялось

условие

ad — b o

0. Это и есть искомое условие.

С в о й с т в а д р о б и о-л и н е й н о г о п р е о б р а з о в а н и я

1. К р у г о в о е

с в о й с т в о . Дробно-линейное

преобразование

точек,

симметричных относительно

у, переходит в центр окружно­

сти

Г,

то другая точка необходимо переходит в бесконечно удаленную

точку.

единственная дробно-Линейная

функция,

которая

три

3. 'Существует

заданные

точки zlf

z2, z3 плоскости г переводит в три заданные

точки

wl9 w2, w3 плоскости

w. Она имеет вид

w — wx

w3 —w2 _

z —zt

z3— z2

(!)

w —w2

w3 —wx ~~ z —z2

z3 —zx

П р и м е р

10.

Найти

дробро-линейную

функцию,

переводящую

точки

zL= 1, z2 = i,

z3 =

—1

в точки

^ = —1, w2= 0, w3= 1.

иметь

Р е ш е н и е .

Воспользовавшись

формулой

(7),

будем

ш + 1

1—0

z— 1

—1 — i

откуда

. t —г

w

— -------— — ---------

-----

w = i -

1 —(—1)

2— ( - 1 - 1

i+ * '

З а м е ч а н и е . Если одна из точек zk или

2, 3)

ницами все разности, содержащие эту тдчку.

П р и м е р

11.

Найти

дробно-линейную функцию, переводящую

точку z\ в точку ку, =

0,

а

точку z.> в точку ia2='oo.

Р е ш е н и е . 'Возьмем произвольную точку г3, отличную от точек zx

и г2, и предположим,

что

она

переходит

в точку

ш3,

отличную от

точек сс;1

и ш2. .Тогда по формуле (7) с учетом

замечания

будем иметь

е

0

1

1

Z3— Z2

1

___

1

w 3 —0

z —za

' h - h

’

откуда

„

Z — Zl

где

W ^

K

z - z \

*

(8)

т. е. К есть произвольное

комплексное

число,

К ф 0.

l r n z > 0 на

П р и м е р

12.

Отобразить

верхнюю

полуплоскость

единичный

круг

тоу

<

1

так,

чтобы

точка

z0 (lm z0> 0 )

перешла

-в центр

to = 0

круга.

как точка z0 переводится

искомой

дробно-линей­

Р е ш е н и е .

Так

ной функцией

w —w(z) в

центр

круга,

т. с. ш(г0) = 0,

то сопряжен­

ная ей точка г0 должна перейти

в точку w = co (по свойству

симмет­

рии). Далее воспользуемся формулой

(8)

и получим

w = K

г - ? о

где К — постоянный

z - ? o *

К эта функция

множитель.

При

любом

отобра­

жает верхнюю

полуплоскость

на

некоторый

круг с центром в точке

w = 0.

Подберем

/f

так,

чтобы круг был единичным. Для этого

достаточно

потребовать

чтобы точка

г = 0 (граничная

точка

области

l m z > 0 )

перешла

в точку единичной

окружности |ил =

1. Тогда

1 = ; ш ; =

1/с 1-

20

откуда

1*1 = 1,

так что

К =

eia ,

20

’

где а —любое действительное

число. Итак,

w = e*a

z - z 0

_

(9)

2— ZQ

i - 1

.

2z -4-1 — i

2

ш = /(г )= е ‘“ Т Т П ± 1

или /(г )= е 'в

2 + Т (Г + 0 *

Согласно условию arg/'

^

j «= у

получаем arg(2е'а) = л/2, откуда

а = л/2, а потому

/(*)“ *

2 z + l - f

или

/(г)

1 + ( 2 г + 1) i

2+ 0 + 0 *

2 + г ( 1 + i) •

дробно-линейных отображениях:

461.

Кольцо

1 < . | г | < 2 при

=

462.

Внешность круга

| г | > 1

при ш =

463.

Круг | г | < 1

при

йУ= -ттт-

464.

с-\-1

Определить, во что переходит внутренность круга

| г | < 1

при дробно-линейном отображении, которое пере­

водит точки

гх = 1, z-i — i,

z3 = оо

соответственно в точки

Шх = 0,

to2 =

oo,

to3= l .

симметричные с точкой z = l + i

465.

Найти

точки,

относительно следующих линий:

а) А' = 0;

б)

121 = 1/2;

в) | г — 1 — / 1= 2.

так

как

при

отображении

с помощью

функции (1 1 ) углы

увеличи­

ваются

в п

раз.

Угол

0 < с р < 2 л /л

функцией

(11)

отображается

взаимно однозначно

на

всю

плоскость

z с

разрезом

по положитель­

ной

части действительной

оси, причем

лучу ф = 0 соответствует верх-

2л

разрзза. Такое

же отображение

ний; а лучу ф=*-^— нижний край

получим

для

каждого

из

углов,

на

которые

плоскость z разбивают

2£л

(& —целое

*

причем

при

отображении

угла

лучи ф = — -

число),

~п ^ я <

ф <

п

(& = 1 ,

2,

п)

на плоскость

с разрезом лучу

Ф =

2{k— 1) л

соответствует

„

2/гл

„

край

v

7—

верхний, а лучу

ф = ~

----- нижнии

разреза.

Л

П р и м е р

15.

Отобразить сектор

0 <

arg г

<

на

о

—

единичный