4.4. ПОКАЗАТЕЛИ НАДЕЖНОСТИ

Рис. 4.8. Единичные показатели надежности

Функция ВБР обладает следующими очевидными свойст­

вами:

1)0 </>(/) < 1;

2) функция P(t) есть невозрастающая функция своего ар­

гумента, т.е. если h> t\, то P(h) < P(t\);

3 ) Р(0)=1,Д<ю) = 0.

Из третьего свойства следует, что вероятность безотказной работы определяется в предположении, что в начальный момент времени исчисления наработки объект был работоспособен.

Статистически ВБР равна

завших объектов в интервале времени A/,; t - время, для которо­

Отметим некоторые общие свойства функции распределеиия Q(t), которые, как следует из выражений (4.24), противопо­ ложны свойствам функции распределения ВБР P{t):

1)0 < 2 ( 0 ^ 1;

2)функция распределения Q{t) есть неубьтающая функЦия своего аргумента, т.е. при /2 > t\ П Ь ) > Ш ,

3)в начальный момент времени функция распределения

ния Q(t) есть вероятность того, что случайная точка Т в результа­ те опыта попадает левее точки to.

Будем увеличивать t, т.е. перемещать точку to вправо по оси абсцисс. Очевидно, при этом вероятность того, что случайная точка Т попадает левее to, не может уменьшиться, следовательно, функция распределения Q(t) с возрастанием t убывать не может.

Из введенного в определение вероятности безотказной ра­ боты предположения, что в начальный момент времени исчисле­ ния наработки объект был работоспособен, следует, что Q(0) = 0.

Плотность вероятности fit) статистически определяется по

где An(At) —число отказов за интервал времени At.

При у =100% гамма-процентная наработка называется установленной безотказной наработкой, при у = 50 % гамма­ процентная наработка называется медианной наработкой.

4. Средняя наработка на отказ —отношение наработки восстанавливаемого объекта к математическому ожиданию числа его отказов в течение этой наработки. Для интервала наработки (<i; /2) средняя наработка на отказ определяется выражением

Q (/,;0

где То - средняя наработка на отказ; Q(/i; /2) - математическое ожидание числа отказов на интервале наработки /2 - Л.

То характеризует наработку восстанавливаемого объекта, приходящуюся в среднем на один отказ, в рассматриваемом ин­ тервале суммарной наработки или определенной продолжитель­ ности эксплуатации.

Статистически средняя наработка на отказ определяется так:

< « 2)

П /=1

где tcp- время исправной работы между ( / - 1)-м и i-м отказами объекта; п —число отказов объекта.

При достаточно большом числе отказов /ср будет стре­ миться к среднему времени между двумя соседними отказами. Если испытания проводятся не с одним, а с несколькими одно­ типными объектами, то среднее время между отказами можно определить из выражения

где М - число объектов.

5. Интенсивность отказов - это отношение числа отка­ завших объектов в единицу времени к среднему числу объектов, продолжающих исправно работать в данный интервал времени.

Другими словами, интенсивность отказов - это условная плотность вероятности возникновения отказа невосстанавливаемого объекта, определяемая для рассматриваемого момента времени при условии, что до этого момента отказ еще не возник.

Математически интенсивность отказов определяется сле­ дующим образом:

где q(t; t + At) - вероятность^ отказа невосстанавливаемого объ­ екта на интервале времени от t до / + At при условии, что до мо­ мента времени t отказ не возникает.

Определение интенсивности отказов на основе статисти­ ческих данных осуществляют по формуле

N(t)At

где An(At) - число отказов объекта за период времени ( —— ;

t + At

2

Интенсивность отказов часто называют А,-характеристи- кой, она показывает, какая часть объектов выходит из строя в единицу времени по отношению к среднему числу исправно работающих объектов.

Функция Х,(/) для многих объектов имеет характерный вид (рис. 4.11) для разных периодов эксплуатации.

Период I (О < / < Л ) называют периодом приработки, в процессе которого устраняются систематические отказы эле­ ментов (конструктивные, производственные, эксплуатацион­ ные), заменяются элементы, имеющие дефекты. Все это приво­ дит к повышению вероятности безотказной работы и, следова­ тельно, снижению интенсивности отказов.

Рис. 4.11. Интенсивность отказов

Встречаются случаи, когда на начальной стадии прира­ ботки интенсивность отказов возрастает (участок Г). Такие зави­ симости могут быть описаны в следующем виде:

кк

Эта модель описывает смесь элементов с вероятностями безотказной работы Pk(t) и относительными долями р Группа дефектных элементов имеет малую среднюю наработку до отка­ за и быстрое старение.

В периоде II (t\ < t < /2), часто называемом периодом нор­ мальной эксплуатации, интенсивность отказов остается пример­ но постоянной. Для периода нормальной эксплуатации харак­ терно наименьшее количество отказов.

Наконец, в периоде III, называемом периодом старения и износа, интенсивность отказов увеличивается из-за необрати­ мых физико-химических процессов в элементах объекта, свя­ занных с его длительным использованием, т.е. когда вследствие естественных процессов объект или его составные части при­ ближаются к предельному состоянию по условиям физического

изнашивания. Отказы III периода иногда называют деградации отыми отказами.

6. Параметр потока отказов - отношение среднего числа отказов восстанавливаемого.объекта за произвольно малую его наработку к значению этой наработки.

Параметр потока отказов со(/) характеризует среднее число отказов, ожидаемых на малом интервале времени, и равен

dCljt)

(4.37)

dt ’

где Q(t) - математическое ожидание числа отказов за время /. Отметим, что средняя наработка до отказа, гамма­

процентная наработка до отказа, интенсивность отказов харак­ теризуют надежность невосстанавливаемых объектов. Эти пока­ затели могут быть использованы и для характеристик надежно­ сти восстанавливаемых объектов, но при условии, что наработка восстанавливаемых объектов рассматривается только лишь до первого отказа. Средняя наработка на отказ и параметр потока отказов используются в качестве показателей для восстанавли­ ваемых систем.

Для того чтобы определить показатели, характеризующие надежность восстанавливаемого элемента, необходимо определить модель его функционирования. Простейшей является такая мо­ дель, при которой объект какое-то случайное время Т| работает до первого отказа, фиксируемого достоверно, затем следует мгновен­ ное и полное восстановление свойств объекта в момент Х\ = 1\, по­ сле чего элемент снова работает случайное время х2до второго от­ каза, определяемого достоверно, затем мгновенно восстанавлива­ ется до начального состояния в момент t\ = TJ + х2и т.д.

Для таких объектов моменты отказов на оси суммарной наработки или на оси непрерывного времени образуют поток отказов. В качестве характеристики потока отказов используют «ведущую функцию» Q(T) данного потока - математическое ожидание числа отказов за время t.

Статистически параметр потока отказов можно опреде­ лить по формуле

t —At

где An(At) - число отказов объекта за период времени

2 *

t + At

~7 ~ }'

4.4.2.Показатели долговечности, ремонтопригодности

исохраняемости

Данная группа показателей вводится аналогично показа­ телям безотказности.

Средний ресурс Тр- это математическое ожидание ресурса.

Гамма-процентный ресурс Т^% - это наработка, в течение которой объект не достигнет предельного состояния с заданной вероятностью у, выраженной в процентах. Гамма-процентный ресурс определяется по формуле, аналогичной (4.31).

Назначенный ресурс Гр„ определяется как суммарная на­ работка объекта, при достижении которой применение по на­ значению должно быть прекращено.

Средний срок службы Тс - это математическое ожидание срока службы.

Гамма-процентный срок службы Тс% характеризуется ка­ лендарной продолжительностью от начала эксплуатации объек­ та, в течение которой он не достигнет предельного состояния с заданной вероятностью у, выраженной в процентах.

Назначенный срок службы Тсли - это календарная про­ должительность эксплуатации объекта, при достижении которой применение по назначению должно быть прекращено.

Назначенный ресурс (срок службы) - это характеристики, устанавливаемые на основании субъективных или организаци­

онных принципов и поэтому являющиеся косвенными показате­ лями надежности.

Основным показателем ремонтопригодности является ве­ роятность восстановления. Момент восстановления работо­ способности объекта после отказа является случайным событи­ ем. Поэтому интервал времени от момента отказа до момента восстановления является случайной величиной и для характери­ стики ремонтопригодности может быть использована функция распределения этой случайной величины ©. Вероятностью вос­ становления Ря называется вероятность того, что время восста­ новления работоспособного состояния объекта не превысит за­ данного:

Функция Рв(0 представляет собой интегральную функцию распределения случайной величины 0. Вероятность невосста-

По аналогии со средней наработкой до отказа момент пер­ вого порядка m\{Q} (математическое ожидание) времени вос­ становления работоспособного состояния объекта называется

средним временем восстановления:

(4.51)

о

Важным показателем ремонтопригодности объекта явля­ ется интенсивность восстановления р(/), которая, следуя общей

методологии, аналогична показателю безотказности —интенсив­ ности отказов.

Показатели сохраняемости - средний срок сохраняемо­ сти и гамма-процентный срок сохраняемости - определяются аналогично соответствующим показателям безотказности и дол­ говечности. Средний срок сохраняемости - это математическое ожидание срока сохраняемости, а гамма-процентный срок со­ храняемости это срок сохраняемости, достигаемый объектом с заданной вероятностью у, выраженной в процентах.

4.5. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ

ПОКАЗАТЕЛЯМИ НАДЕЖНОСТИ

Между основными показателями надежности существуют аналитические зависимости. Приведем некоторые из них.

1.Зависимость между вероятностью безотказной работы

исредней наработкой до отказа. По выражению (4.29)

Так как/ 0 = Q\t) и Q(f) = 1 -P{t), то, выполнив интегри­

рование по частям, получим

Учитывая свойства функции P(t), получаем равенство ну­ лю первого слагаемого в правой части полученного равенства.

Тогда

2. Связь между ВБР и интенсивностью отказов. Согласно свойствам функций P(t) и Q(t) получим:

P(t + At) на интервале времени от 0 до t+At в соответствии с тео­ ремой умножения вероятностей рассчитывается по формуле

где т - момент времени, предшествующий t.

Различие между интенсивностью отказов \(t) и плотно­ стью распределения отказов fit) заключается в том, что эле­ мент условной вероятности Xit)dt характеризует вероятность отказа объекта на элементарном участке (/; t + dt), если из­ вестно, что к моменту времени / он не отказал. Элемент веро-

ятностиХО** характеризует вероятность отказа в течение эле­ ментарной наработки на участке (t; t + dt), но при этом неиз­ вестно, исправен ли объект к моменту времени t. Кроме того, из (4.59) следует, что fit) = X(t)P(t), то есть при малых t значе­ ние P{t) близко к единице и, следовательно, fit) « X(t). При

сивностью отказов и средней наработкой до отказа.

Среднюю наработку до отказа можно вычислить через ин­

тенсивность отказов. Подставив в выражение (4.55) значение (4.60), получим

(4.61)

4. Зависимость между плотностью вероятности времени безотказной работы и параметром потока отказов.

Пусть в момент t = 0 на испытании находится N0объектов. По мере выхода из строя отказавшие объекты заменяются но­ выми (выборка с возмещением), если объекты невосстанавливаемые. Тогда на основании расчета среднего числа отказавших объектов в зависимости от плотности распределения отказов^/)* параметра потока отказов со(/) и длительности рассматриваемого интервала времени можно получить уравнение Вольтерра, свя­ зывающее со(/) иfit):

(4.62)

О

где т - момент времени, предшествующий /, а интеграл в правой части есть число отказавших объектов из числа замененных в процессе испытаний за время от 0 до /.