Конечные элементы и аппроксимация
..pdfРис. 8.2. Продолжение, в— пятый шаг адаптивного процесса уточнения. Ошибки в процентах к полной энергетической норме: ||£||<3.0 (точная), ||£||=2.9 (полу ченная с помощью оценок) и ||£ *||= 4 .8 (полученная с помощью корректирующих оценок верхней грани погрешности). Число неизвестных =365.
лась совместность, гарантированная тем фактом, что вдоль каждой
границы между соседними элементами степени многочленов совпа
дали [5].
На рис. 8.2 вычерчено максимальное главное напряжение на
внешней поверхности плотины и на внутренней поверхности по лости на трех этапах процесса. Предсказанная энергетическая норма погрешности ||£|| приводится вместе со второй оценкой,
являющейся верхней гранью погрешности. Была найдена также
оценка максимальной погрешности в напряжении, построенная для каждого из решений.
Сравнение трех решений показывает быструю сходимость ко нечно-элементного решения для напряжения к «точному» решению, соответствующему штриховой кривой. Это «точное» решение было
получено при использовании конечно-элементной сетки с очень
малым шагом. Очевидна также одновременная сходимость к нулю энергетической нормы погрешности и оценки погрешности.
Упражнения
8.1. Доказать, |
что ||£||2 = — J |
cpRQdQ (см. § 8.3). |
|
|
|
|
Q |
|
|
8.2. Повторить |
исследование, |
проведенное п примере |
8.1, но для диффе |
|
ренциального |
уравнения — d2cp/cfjc2 + ф = —Q. Выяснить |
точность формулы |
||
(8.20) оценки |
погрешности. |
|
|
|
8.3. Рассмотреть линейный элемент с четырьмя узлами, применяемый для
решения двумерного уравнения Лапласа д2ф/<^2 + д2ф/ду2==0 в Q при ф = ф на
Гф и дф/dn = |
q на Гд. |
часть |
невязки |
равна нулю, б) |
Попытаться |
а) Показать, что регулярная |
|||||
найти второй |
член в выражении |
(8.21), |
исходя из |
формулы (8.16) |
и используя |
на границе между элементами квадратичную иерархическую базисную функ
цию, построенную на |
рисунке а. При |
этом должно получиться то |
же самое |
||
выражение, |
но вместо |
24 будет стоять |
28.8. в) Повторить |
вычисления |
п. б), ис |
пользуя на этот раз в формуле (8.16) цилиндрическую |
квадратичную функ |
||||
цию А^м+ 1 » |
построенную на рисунке б. Теперь должен |
получиться |
коэффи |
||
циент 24. |
|
|
|
|
|
8.5.Заключение
Вэтой книге сделана попытка познакомить читателя с основ ными понятиями численной аппроксимации, используемыми при практическом решении задач, описываемых дифференциальными
уравнениями. Многие детали и разработки вообще не упомянуты, и сведения о них следует искать в больших по объему моногра
фиях и текущей литературе. Надеемся, однако, что с помощью полученного аппарата читатель сможет яснее представить себе достижения и цели современных исследований и в то же время
со знанием дела применять уже зарекомендовавшие себя методы.
Конечные цели — построение наиболее эффективной численной дискретизации для новых физических задач, с которыми сталки вается читатель, и возможное создание процедур, автоматически производящих «уточнение» до заранее заданной точности, всегда будут представлять трудности, бросающие вызов Соображению.
Мы надеемся, однако, что содержащийся в этой книге материал
дает достаточную основу для разумного подхода к их преодо лению.
Литература
[1] |
Zienkiewicz О. С., Kelly |
D. W., |
Bettess |
Р. Marriage h la mode — The |
||
best of |
both worlds (finite elements and |
boundary |
integrals).— In: Energy |
met |
||
hods in |
finite element analysis. Ed. by R. Glowinski, E. Y. Rodin, О. C. Zien |
|||||
kiewicz.— New York: Wiley-Interscience, |
1979. |
|
|
|||
[2] |
Mote |
C. D. Global-local |
finite |
element.— Int. J, Nurh. Mech. |
Eng.. |
|
1971, v, |
3, p, |
565-574. |
|
|
|
|
[3] |
См. |
литературу |
в статье Zienkiewicz О. |
С., Kelly D. |
W„ |
Gago J., |
||||||
Babuska |
I. |
Hierarchical |
finite element |
approaches, |
error |
estimates |
and |
adaptive |
||||
refinement.— In: The |
mathematics of |
finite |
elements |
and applications. Ed. by |
||||||||
J. Whiteman.— New |
York: Academic |
Press, |
1981. |
|
|
estimates |
for |
the finite |
||||
[4] |
Babuska I., |
Rheinboldt W. C. A posteriori error |
||||||||||
element |
method.— Int. J. Num. Meth. Eng., |
1978, v. 12, p. 1597— 1615, а также |
||||||||||
Babuska |
I., |
Rheinboldt |
W. C. Adaptive |
approaches |
and |
reliability estimations |
||||||
in finite element analysis.— Comp. |
Meth. |
Appl. |
Mech. |
Eng., 1979, |
v. 17-18, |
|||||||
p.519—540.
[5]Подробное обсуждение этой задачи, детали алгоритмов и оценку по
грешности читатель может найти в статье Kelly D. W., Gago J., Zienkiewicz О, С., Babuska I. A posteriori error analysis and adaptive processes in the finite ele ment method.— Int. J, Num. Meth. Eng. (в печати).
Рекомендуемая |
литература |
|
|
|
Gago J. Р. |
de S. R., Kelly |
D. W., |
Zienkiewicz О. C. A posteriori |
error |
analysis and adaptive processes in the finite element method.— Depart, of |
Civil |
|||
Eng., Univ. College Swansea rep, |
C/R/364/80, 1980. |
|
||
Gago J. P. de S. R. A posteriori error |
analysis and adaptivity for the finite |
|||
element method,— Phf D. thesis, |
Univ, of |
Wales, 1982. |
|
|
Дополнительная литературах)
Математическая теория метода конечных элементов
/Деклу Ж. Метод конечных элементов.— М.: Мир, 1976. |
||
Корнеев В. Г. Схемы |
метода |
конечных элементов высоких порядков точ |
ности.— Л.: Изд-во ЛГУ, |
1977. |
( |
Марчук Г. И., Агошков В. И. Введение в проекционно-сеточные методы.— |
||
М.; Наука, 1981. |
|
решение эллиптических краевых задач.— М.: |
Обэн Ж. П. Приближенное |
||
Мир, 1977.
Оганесян Л. А., Руховец Л .'А . Вариационно-разностные методы решения
эллиптических уравнений.— Ереван: Изд-во АН АрмССР, 1979. |
задач.— М.: |
||||||
Сьярле Ф. Метод конечных |
элементов для |
эллиптических |
|||||
Мир, 1980. |
|
|
|
|
|
|
|
Решение вадач механики сплошных сред |
|
|
|||||
Бенерджи |
П., |
Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных |
|||||
науках.— М.: |
Мир, 1984. |
|
элементов. Основы.— М.: Мир, |
1984. |
|||
'Галлагер |
|
Р. Метод конечных |
|||||
Зенкевич О. Метод конечных |
элементов в технике.— М.: Мир, 1975. |
||||||
Зенкевич О., |
Чанг И. Метод конечных элементов в теории |
сооружений и |
|||||
в механике сплошных сред.— М.: Недра, 1974. |
элементов в механике жид |
||||||
Коннор |
Дж., |
Бреббиа |
К. Метод конечных |
||||
кости.— Л.: |
Судостроение, |
1979. |
|
|
|
||
Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред.— М.: Мир, 1976.
Уманский С. Э. Оптимизация приближенных методов решения краевых задач механики.— Киев: Наукова думка, 1983.
Техника программирования метода конечных элементов
1Норри Д., де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов.— М.: Мир, 1981.
Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов.— М.: Мир, 1979.
Конкретные технические приложения
Е ржа нов Ж. С., Каримбаев Т. Д. |
Метод конечных элементов в задачах |
|||||
механики горных пород.— Алма-Ата: Наука, 1975. |
|
|
||||
Квитка А. Л., |
Ворошко П. П., |
Бобрицкая С. Д. |
Напряженно-деформи |
|||
рованное состояние тел вращения.— Киев: Наукова |
думка, 1977. |
|||||
Методы расчета стержневых систем, пластин и оболочек с использованием |
||||||
ЭЦВМ/Под ред. А. Ф. Смирнова. В 2-х |
частях.— М.: Стройиздат, 1976. |
|||||
Морозов Е. М., Никишков Г. П. |
Метод конечных |
элементов в механике |
||||
разрушения.—М.: Наука, |
1980.)* |
|
|
|
|
|
*) Поскольку |
списки |
литературы, |
|
приведенные |
в |
конце глав, содержат |
в основном работы на английском языке, мы сочли |
целесообразным добавить |
|||||
при переводе список книг на русском |
языке.— Прим. ред. |
|||||
Немчинов Ю. И. Расчет пространственных |
конструкций |
(метод конечных |
|||||||
элементов).— Киев: Будивельник, |
1980. |
|
|
|
в расчетах |
||||
Постнов В. А., |
Хархурин |
И. Я. |
Метод конечных элементов |
||||||
судовых конструкций.— Л.: Судостроение, |
1974. |
судовых конструкций.— Л.: |
|||||||
Постнов В. А. |
Численные |
методы расчета |
|||||||
Судостроение, 1977. |
|
гидротехнических |
сооружений на ЭЦВМ. |
Метод ко |
|||||
Розин Л. А. Расчет |
|||||||||
нечных элементов.— Л.: |
Энергия, |
1971. |
элементов в теории упругости.— |
||||||
{Розин Л. А. Основы |
метода |
конечных |
|||||||
Л.: Изд-во ЛПИ, 1972. |
|
|
|
|
|
|
элементов.— Л .: |
||
Розин Л. А. Стержневые системы как системы конечных |
|||||||||
Изд-во ЛГУ, 1976. |
|
|
|
элементов в применении к упругим систе |
|||||
Розин Л. А. Метод конечных |
|||||||||
мам.— М.: Стройиздат, 1977. |
|
|
элементов в динамике сооружений.— М.: |
||||||
Синицын А. Н. Метод конечных |
|||||||||
Стройиздат, 1978.
Слесарев И. С., Сироткин А. М. Вариационно-разностные схемы в теории переноса нейтронов.— М.: Атомиздат, 1978.
Шабров Н. Н. Метод конечных элементов в расчетах деталей тепловых двигателей.— Л.: Машиностроение, 1983.
Адаптивное уточнение 178, 292, 296 |
------ высшего порядка 154—184, 217 |
|||||||||||||||||||||||
Адаптивные |
процедуры 292—301 |
|
------ глобальные |
94—96, |
105, |
123, |
||||||||||||||||||
Адаптивный |
алгоритм |
299, |
300 |
|
|
128, 171, 190, 208, 291 |
|
163—170, |
||||||||||||||||
Аналитическая |
функция |
72, |
73 |
|
|
------ иерархические |
154, |
|
||||||||||||||||
Ансамблирование |
188, |
217 |
106, |
108— |
176—178, |
181, |
|
192, |
213, |
|
216, |
217, |
||||||||||||
— в одномерном |
случае |
295—299 |
|
|
|
195, |
196 |
|
|
|
|
|||||||||||||
115, |
162, |
163, |
249, |
259 |
|
|
|
------ квадратичные |
|
|
|
|
|
|||||||||||
— для прямоугольных элементов 134, |
------ кусочно-линейные 95, 100, 104— |
|||||||||||||||||||||||
138—140 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
146, |
|
154, 215, 236, |
257, |
258 |
|
||||||||
------ треугольных |
элементов |
123— |
------ кусочно-определенные |
93, |
142, |
|||||||||||||||||||
126, |
132, |
134— 138, |
|
157—178 |
154, 215 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Аппроксимации |
порядок |
154 |
|
|
|
------ кусочно-постоянные 94, |
|
100, |
||||||||||||||||
Аппроксимация базисными функциями |
104—146, |
154 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
9, 111, |
|
154, 155, 290, 291, 293 |
------ локальные |
290, 291 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
---------- |
кусочно-линейными 96—100, |
------ непрерывные (гладкие) 40, 91, |
||||||||||||||||||||||
104— 146 |
|
|
|
|
|
|
|
|
94— |
164, |
|
165, 236, 239,241, |
246, |
247, |
||||||||||
----------100, |
кусочно-постоянными |
|
253, |
|
254, 260, 290 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
114, |
115 |
|
дифференциальных |
------ от координат и времени 267, 282, |
||||||||||||||||||||
---------- |
решений |
|
288 |
|
|
|
|
|
147 |
|
|
|
|
|
||||||||||
уравнений |
51, |
|
156, |
|
233—251, |
------ разрывные 41, |
|
84, |
254 |
|
|
|||||||||||||
253—255 |
|
|
|
|
|
|
уравнений |
------ симметричные |
|
56, |
|
|
||||||||||||
--------------87—90 |
нелинейных |
|
------ четные 56—57, |
61 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
нестационарных |
|
задач |
------ элемента 95, 108, 123, 126, 131, |
|||||||||||||||||||||
-------------- |
|
|
132, |
158—164, |
|
167, |
168, |
|
172, |
173, |
||||||||||||||
256—288 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
186, |
|
188, 190, |
|
191, |
195, |
196, |
205 |
||||||
-------------- |
системы уравнений 75—87 |
Баланс токов |
211 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
— высшего порядка 154—184 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
глобальная |
96, |
172 |
|
|
|
Вариационные |
принципы естественные |
||||||||||||||||
— по Галеркину 163, 210, 216, 250, |
||||||||||||||||||||||||
258, 264. См. также Галеркина |
222—241 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
метод |
|
|
|
14—17, |
28, |
32, |
38, |
------ модифицированные 238—241 |
|
|||||||||||||||
— производных |
|
------ общие 241—243, 245 |
|
144 |
|
|||||||||||||||||||
52, |
156 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вектор |
граничной |
|
нагрузки |
|
||||||||
— функции методом взвешенных невя |
Векторная |
запись |
дифференциального |
|||||||||||||||||||||
зок |
44—51, |
97— 107 |
|
|
|
|
|
уравнения 253, |
|
257, |
259—288 |
|
||||||||||||
---------- |
интерполяции 41 |
|
|
|
|
------ системы |
алгебраических |
урав |
||||||||||||||||
---------- |
конечных |
элементов 93—107 |
нений |
см. |
Линейных |
уравнений |
||||||||||||||||||
----------46 |
поточечной |
коллокации |
45— |
система |
|
|
|
|
|
|
102, |
103, |
||||||||||||
|
Фурье 43, |
47—48 |
|
|
|
Весовые функции 45—90, 97, |
||||||||||||||||||
------ рядом |
|
|
|
ПО, |
120, |
129, |
|
143, |
147, |
|
157, |
269, |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
272, |
283 |
|
59, |
63, |
64, |
|
72, |
74, |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
------ граничные |
|
||||||||||
Базисные функции 40, 76, 93, |
147, |
164, |
ПО, |
120, |
153 |
|
284 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
165, 167, 174, 185, 186, |
248, |
253, |
------симметричные |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
254, 256, 266—268, 290, 291 |
|
Взвешенных невязок метод 44—91, 97, |
||||||||||||||||||||||
------ билинейные |
126— 128, |
132—135, |
101, |
104—122, |
|
129—150, |
|
156, |
||||||||||||||||
138— 140, |
174, |
188, |
193, |
209, |
299 |
157, |
209, |
218, |
239, |
243, |
|
253, |
254, |
|||||||||||