Конечные элементы и аппроксимация

Если такое дифференциальное уравнение опять записать в виде

с краевыми условиями

то соответствующими дискретными аппроксимирующими уравне­ ниями по методу взвешенных невязок будут

упешно использовались разрывные базисные функции, а также

непрерывные базисные функции с разрывными производными.

Поставим теперь вопрос: допустимы ли такие функции в данном

контексте, поскольку уравнение (3.13) включает производные от базисных функций?

Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим поведение трех

типов одномерных базисных функций Nтвблизи точки стыковки А

двух элементов (рис. 3.4). Первая функция разрывна в точке А,

тогда как вторая имеет разрывную производную dNjdx в той же самой точке, а у третьей разрывна вторая производная d2*Nm/dxа.

то для устранения подобных затруднений необходимо гарантиро­ вать кусочную дифференцируемость производных порядка s— 1

от используемых в аппроксимации базисных функций Nm. Мате­

заданную функцию и не используем никакого дифференциального

2) Здесь и далее авторы используют следующее нестандартное определение классов гладкости Сг: функция принадлежит классу Сг, если она и ее произ­ водные до порядка г включительно непрерывны и производные порядка / (при г = 0 сама функция) кусочно-непрерывно дифференцируемы,— Прим, ред.

в

Рис. 3.4. Поведение трех типов базисных функций и их производных вблизи точки стыковки А двух элементов.

С°-гладкость, которой обладает функция на рис. 3.4, б. Если же,

ходимо исключить бесконечные значения Wt и считать допусти­ мыми для этих функций только «обычные» разрывы. В § 2.2 были

по некоторому содержащему эту точку отрезку были равны еди­

нице (дельта-функция Дирака). Такие весовые функции требова­

лись для применения поточечной коллокации. Ясно, что тем самым

нарушалось только что введенное правило. Однако это исключе­ ние допустимо, если значение невязки в рассматриваемой точке

конечно. В описываемых здесь общих конечно-элементных про­

цессах такие виды весовых функций будут использоваться редко

иприведенные правила обычно являются достаточными.

3.4.Слабая формулировка и метод Галеркина

Впредыдущей главе было показано, что член, содержащий взвешенную невязку по области

часто может быть заменен выражением вида (см. равенство (2.45))

определенные базисные функции, поскольку в этом случае от

последних будет требоваться более низкий порядок гладкости. Однако читатель сразу заметит, что теперь рассматриваемые весо­ вые функции Wt должны обладать более высоким порядком глад­ кости. Так как операторы ё и ® обычно включают один и тот же порядок дифференцирования, тождественное определение базис­

ных и весовых функций, используемых в методе Галеркина, пред­

ставляется обоснованным. В большинстве практических приложе­ ний, упоминаемых в оставшейся части этой книги, будет исполь­

3.5. Некоторые одномерные задачи

Чтобы конкретизировать уже высказанные идеи, рассмотри^ в этом параграфе некоторые одномерные примеры, в который

кусочно-определенные базисные функции используются для решения задач, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями второго порядка. В первых двух примерах использование рассмотренных ранее кусочно-постоянных базисных функций затруд­ нительно из-за наличия в невязке производных. Поэтому здесь будут применены непрерывные кусочно-линейные функции типа пред­ ставленных на рис. 3.16. Выше уже упоминалось, что для пони­

жения порядка дифференцирования подынтегрального выражения

необходима соответствующая переформулировка задачи, и по этой

причине будет использована аппроксимация Галеркина (3.16)-

Третий пример иллюстрирует возможность применения кусочно­ постоянных элементов в рамках метода конечных элементов для

решения уравнений второго порядка при использовании смешан­

ной формулировки типа рассмотренной в примере 2.9.

Пример 3.1. В предыдущих двух главах различными методами

о— о——о— Х3

Элементы |(EDl СХ)|(е+Г)|

Рис. 3.5. Общая нумерация узлов и элементов для задачи из примера 3.1.

сопоставим каждому узлу т кусочно-линейную глобальную базис­ ную функцию Nт. Тогда можно построить аппроксимацию

М+ 1

ф « ф = 2 фmNm,

т = 1

гАе Фт— значение аппроксимации в узле т. Краевым условиям при х = 0 и х = 1 можно удовлетворить непосредственно заданием

соответствующих значений в узлах. Однако удобнее составить уравнения метода взвешенных невязок без первоначального зада­ ния граничных значений (р, а затем учесть эти условия при

вестные, то аппроксимирующие уравнения метода взвешенных

невязок (3.13) принимают вид

1

Член, учитывающий невязку на границе Rr, не включен, по­

скольку впоследствии он будет сделан тождественно равным нулю.

В приведенном виде эта формулировка требует О-гладкости базис­

ных функций. Интегрирование по частям ослабляет это требова­

ние, наложенное на базисные функции, и приводит к слабой

формулировке метода взвешенных невязок:

Теперь очевидно, что требуется только С°-гладкость ср (а следо­ вательно, и Nm) и Wt. Кусочно-линейные базисные функции удовлетворяют этому требованию, и при использовании метода Галеркина гарантирована С°-гладкость весовых функций. Полу­

чаемая при применении метода Галеркина система уравнений

будет иметь вид

K<p = f,

где

Заметим теперь, что вклад в эти коэффициенты элемента е, узлы которого имеют номера i и / '(рис. 3.5), может быть вычислен в общей форме, и полезность применения правила суммирования (3.2) становится очевидной. На таком типичном элементе е, по­

ложив %= х —X/, имеем

N j = Щ = y j h Nt = Щ = (he-%)/h*t

где he= x/—xi. Единственными отличными от нуля на элементе е

К1т= 2 к%„

е=1

для построения матрицы К достаточно оценить вклад произволь­ ного элемента. В общем виде для элемента е это можно сделать

следующим образом:

Вычислив таким образом компоненты матрицы элемента К', про­ стым суммированием по всем таким элементам получим матрицу К.

Рис. 3.6. Нумерация узлов и элементов, использованная при получении прибли­ женного решения задачи из примера 3.1.

Этот процесс, обычно называемый ансамблированием, будет

и поэтому полученные результаты можно сравнить с конечно­

разностным решением из примера 1.1. Если узлы нумеруются

о

Используя свойства базисных функций, находим, что / 2 = / 3 = 0 , и после суммирования приходим к системе уравнений

Решая эти уравнения для h = 1/3, находим ф2 = 0.2885 и ф3 = 0.6098 (точные значения в узлах равны ф2 = 0.28892 и ф3 = 0.61024). Это решение несколько точнее, чем полученное конечно-разност­ ной аппроксимацией в примере 1 . 1 , несмотря на сходство основ­ ных трехточечных уравнений.

В этом примере вычисления на всех элементах одинаковы,

так как краевые условия применяются только на этом этапе

ная информация может быть важна при анализе физических задач, где, как уже было показано, такие величины в ряде случаев

Этот процесс можно продемонстрировать повторно, рассмотрев решение этого примера с расположением узлов и системой нуме­

Тогда процесс ансамблирования производится следующим образом.

Тогда компоненты к1 учитываются в К таким образом, чтобы

Нео^од^мо отметить, что Кц образовано суммой двух компонент, так кад узел 2 принадлежит и элементу 1 , и элементу 2 .

Вклад элемента 3. Процесс ансамблирования заканчивается добавлением вклада элемента 3, причем соответствующими узлами

теперь будут 3 и 4. Таким образом,

и добавление этой подматрицы в К дает окончательный результат

Заметим опять, что, так как узел 3 принадлежит обоим элемен­

там 2 и 3, Км получается суммированием вклада этих двух элементов.

Полученная таким образом матрица К совпадает с найденной

ранее, и дальнейшее решение производится тем же способом.

мацию ф из примера 3.1, приходим к уравнениям метода^ взве­

шенных невязок (см. уравнение (3.13))

1

$ Wt [d^/dx2 — ф] d x+ [W t (dip/dx— 1 ) ] * = 1 = 0 .

о

Здесь невязка при х = 0 опущена, поскольку, как и в предыдущем примере, впоследствии она будет сделана тождественно равной

нулю. Выполняя интегрирование по частям и полагая Wt \x=i = = — Wt \Х=1 Уимеем

Отсюда следует, что краевое условие при х = 1 для данной задачи

является естественным. Если весовые функции определяются по

правилу Wt = Nt и выбираются три равных элемента, изобра­

женных на рис. 3.6, то приведенные матрицы элементов к1, к2, к3 будут совпадать с аналогичными из примера 3.1. Однако вектор f в правой части уравнения теперь будет другим. Осуществив про-