Гидравлика и гидропривод

Эти уравнения представляют собой общие условия равнове­ сия жидкости в дифференциальной форме, выведенные в 1755 г. Леонардом Эйлером.

Для приведения уравнений Эйлера к виду, удобному для ин­ тегрирования, умножим каждое уравнение системы (2.2) соот­ ветственно на djc, dу, dz и сложим их почленно:

(др/дх) dx+ (dp/dy)dy+ (dp/dz)dz=p(Xdx+ Ydy+Zdz).

Так как левая часть данного выражения представляет собой полный дифференциал давления dp, его можно записать в сле­ дующем виде:

Полученное уравнение выражает функциональную зависи­ мость давления от рода жидкости, ускорения и координат точ­ ки в пространстве и позволяет определить значение давления в любой точке жидкости, находящейся в равновесии. Оно спра­ ведливо как для капельных жидкостей, так и для газов, причем для газов дополнительным условием равновесия является урав­

Уравнение (2.4) представляет собой уравнение поверхности рав­ ного давления, частным случаем которого является уравнение свободной поверхности капельной жидкости.

Рассмотрим несколько конкретных случаев равновесия жид­ кости и установим вид поверхности равного давления (в том числе и свободной поверхности) в каждом из этих случаев.

зервуаре, вращающемся вокруг вертикальной оси с постоянной угловой ско­

рения силы тяжести g и ускорения центробежной силы инерции со2г, следо­

вательно, проекции результирующей единичных массовых сил будут следую­

чае поверхности равного давления представляют собой семейство парабо­

В двух последних примерах рассмотрены случаи так назы­ ваемого относительного покоя жидкости, т. е. случаи, когда она находится в резервуарах, движущихся тем или иным образом с постоянным ускорением, но при этом частицы жидкости не перемещаются относительно друг друга и относительно стенок резервуара.

2.3. Основное уравнение гидростатики и его применение

2.3.1. Основное уравнение гидростатики

Рассмотрим жидкость, заключенную в неподвижном сосуде (|рис. 2.3) и находящуюся в поле действия силы тяжести. Оси координат расположим таким образом, чтобы ось Oz была на­ правлена вертикально вверх, т. е. параллельно линии действия силы тяжести.

Внутри рассматриваемого объема жидкости мысленно выде­ лим точку Л, находящуюся на расстоянии z от горизонтальной

Рис. 2.3. Схема к выводу основного уравнения гидростатики

' г '

плоскости хОд или на глубине h от свободной поверхности жид­ кости. Проекциями единичных массовых оил на координатные оси в данном случае будут Х=0, Y= О, Z = —g. Подставляя дан­ ные значения в уравнение равновесия жидкости (2.3), получим dр = —pgdz. Проинтегрируем это выражение в пределах от р0 до р и от z0 до z при условии p=const:

Уравнение (2.5) можно вывести и другим путем. Рассмотрим жидкость, находящуюся в сосуде (см. рис. 2.3)

при перечисленных выше условиях, и выделим вокруг произ­ вольной точки А , расположенной в этой жидкости на глубине А от свободной поверхности, элементарную горизонтальную пло­ щадку dF. Спроектировав ее на свободную поверхность, полу­ чим элементарный объем жидкости dV=itdF. Спроектируем все действующие на этот объем силы на ось Ог и, так как объем находится в равновесии, приравняем сумму проекций этих сил к нулю: dР—dPo—dG = 0, или pdF—p0dF—pghdF=0, откуда основное уравнение гидростатики

P=Po+pgh.

Основное уравнение гидростатики выражает зависи­ мость давления в данной точке покоящейся жидкости от рода жидкости, расстояния этой точки от свободной поверхности и давления на последней. В этом уравнении: р.— абсолютное дав­ ление в дайной точке жидкости, т. е. давление, при измерении которого за начало отсчета принимают абсолютный нуль дав­ ления (последний может иметь место в замкнутом объеме, из

которого удалены все молекулы, или при полном прекращении движения молекул, т. е. при значении абсолютной температуры О К); Ро— абсолютное давление окружающей среды (внешнее давление); рgh= p—Ро— избыточное давление в данной точке, т. е. разность между полным абсолютным давлением и абсолют­ ным давлением окружающей среды.

Анализируя уравнение (2.5), можно сформулировать два важных следствия из него.

1. В покоящейся однородной жидкости любая горизонталь­ ная плоскость является плоскостью равного давления. Это по­ ложение широко используется при решении различного рода практических задач и при выполнении расчетов для покоящей­ ся жидкости.

2, Внешнее давление, оказываемое на жидкость, заключен­ ную в замкнутом сосуде, передается ею во все точки без изме­ нения.— Это— принцип Паскаля, высказанный им еще в XVII в. На нем основано действие целого ряда гидравлических уст­ ройств (гидравлических прессов, домкратов, подъемников, эле­ ментов объемного гидропривода и др.).

2.3.2. Манометрическое давление и вакуум

В тех случаях, когда внешнее давление ро равно атмосферному ра, уравнение (2.5) принимает вид:

определить пределы изменения манометрического давления: при

Вакуум — это недостаток давления в данной точке до ат­ мосферного. Пределы изменения вакуума могут быть установ­ лены из выражения (2.8): при р->-0 рв->-ра, при р = р а рв=0, т, е. значения вакуума могут изменяться от 0 до ра!

Проиллюстрируем графически все сказанное выше об абсо­ лютном, манометрическом и вакуумметрическом давлениях.

Представим себе плоскость, во всех точках которой абсолютное давление р = 0: след этой плоскости — горизонтальная линия 00 (рис. 2.4); след плоскости, абсолютное давление во всех точках которой равно атмосферному (р=ра), — линия АА. Таким об­ разом, эти плоскости являются базой для отсчета абсолютного давления (линия 00) и манометрического давления или вакуу­ ма (линия АА). Тогда расстояние от точки С до линии 00 представляет собой абсолютное давление рс в этой точке, а рас­ стояние от точки С до линии АА — манометрическое давление рмс в этой точке. Аналогично, расстояние от точки D до ли­ нии 00 — абсолютное давление pD в этой точке, а расстояние от точки D до линии АА — вакуум р„г> в этой точке.

Приведенная схема (см. рис. 2.4) дает также наглядное представление о пределах изменения манометрического давле­ ния и вакуума, которые были установлены выше из выраже­ ний (2.7) и (2.8).

Для измерения манометрического давления, вакуума и абсо­ лютного давления применяются соответственно манометры, ва­ куумметры и барометры (манометры абсолютного давления).

2.3.3. Эпюры давлений

Эпюра давления представляет собой графическое изображение распределения давления вдоль какого-либо контура или поверх­ ности.

Проанализируем изменение давления вдоль контуров верти­ кальной и наклонной плоских стенок резервуара (рис. 2.5,а), заполненного до высоты Н жидкостью, имеющей плотность р. Мысленно выделим в жидкости около стенок точки А и А' (на свободной поверхности) и В и В' (у дна ревервуара) и подсчи­ таем в них абсолютные давления, которые в соответствии с уравнением (2.5) в точках А и А' равны р0, в точках В в В' — (po+pgH). Отложив в принятом масштабе нормально к поверх-

2.4.Равновесие газа. Естественная тяга

2.4.). Равновесие газа

При малой высоте столба газа его плотность можно считать одинаковой по высоте столба. Тогда давление, создаваемое этим столбом, определяют по основному уравнению гидростатики (2.5). При большой высоте столба воздуха (порядка сотен и ты­ сяч метров) плотность его в различных точках уже не одинако­ вая, поэтому уравнение (2.5) в этом случае не применяется.

Рассмотрим, по аналогии с жидкостью (см. 2.3.1), воздух, находящийся в поле действия силы тяжести. Выделим на вы­

Для того чтобы проинтегрировать это уравнение, необходи­ мо знать закон изменения температуры воздуха по высоте стол­ ба воздуха. Однако выразить изменение температуры простой функцией высоты или давления не представляется возможным, поэтому решение уравнения (2.10) может быть только прибли­ женным.

Для отдельных слоев атмосферы с достаточной точностью можно принять, что изменение температуры в зависимости от высоты (а для шахт— от глубины) происходит по линейному закону:

где Т и То— абсолютная температура воздуха соответственно на высоте (глубине) z и на плоскости хОу (на поверхности земли), К; а — температурный градиент, характеризующий изменение температуры воздуха при увеличении высоты (—а) или глуби­ ны (+ а) на 1 м, К/м.

Значения коэффициента а на разных участках по высоте в атмосфере или по глубине в шахте различные. Кроме того, они зависят также от метеорологических условий, времени года н других факторов. При определении температуры в пределах

Подставим выражение (2.11) в уравнение (2.10) и проинте­ грируем его в пределах от ро до р, что соответствует измене­ нию z от 0 до Н:

g = 9,81 м/с2, решим его относительно Н. В результате получим так называемую барометрическую формулу, которая выражает зависимость высоты от давления и температуры воздуха и ши­ роко используется в авиации для определения высоты самолета над поверхностью земли по показаниям барометра и термо­ метра,

В шахтной практике больший интерес представляет опреде­ ление давления в шахте по ее известной глубине. Решая урав­ нение (2.12) относительно р, получим

(2.13)

где л — показатель степени, определяемый по формуле

2 9 ,3 ( Г - Г » ) '

2.4.2. Естественная тяга

Представим вентиляционную сеть шахты в виде простейшей

находится воздух. Соприкасаясь со стенками выработок, воз­ дух нагревается. Так как В результате этого его температура в воздухоподающем и вентиляционном стволах будет неодинако­ вой, следовательно, различной будет и его плотность (р1>рг). В соответствии с принципом сообщающихся сосудов более лег­ кая жидкость поднимается в одном колене (в рассматриваемом случае воздух в вентиляционном стволе), а более тяжелая опус­ кается в другом колене (воздух в воздухоподающем стволе). Свежий воздух с поверхности, попадая в горные выработки, бу­ дет снова нагреваться, и таким образом, возникает непрерывный процесс движения воздуха из атмосферы через воздухоподаю­ щий ствол, сеть подземных выработок н вентиляционный ствол снова в атмосферу. Этот процесс называется естественной

Аналогичное явление возникает, например, в топках котлов, оборудованных высокой вытяжной трубой.

Разность давлений, обусловленная различием плотности воз­ духа в подающем и вентиляционном стволах шахты (депрессия естественной тяги), может быть вычислена по формуле

Ре,—Pi Pz, (2.14)

где р1 и р2 — давление в нижней точке соответственно воздухо­ подающего и вентиляционного стволов, определяемое по форму­ ле (2.13).

Кроме рассмотренной выше гидростатической теории естест­ венной тяги существуют другие теории и методы вычисления де­ прессии естественной тяги, которые подробно изучаются в курсе «Рудничная аэрология».

Определим значения показателей степеней:

п ,= Я / [29,3 (Г, — Г0)1 = 600/ [29,3 (282 — 278)] «5,119453925;

л2=ЯД29,3(Г2 — Г0)] = 600Д29.3 (298—278) ]»1,023890785,

Подставляя все данные в формулу, получим

2.5. Сила давления жидкости на плоскую стенку. Центр давления

ную фигуру площадью F и определим действующую на нее со стороны жидкости силу давления Р. Для наглядности совместим рассматриваемую стенку с плоскостью чертежа, т. е. повернем ее на 90° вокруг оси у.

Так как давление жидкости в различных по высоте точках площади F неодинаково, выделим на этой площади элементар­ ную площадку dF, находящуюся на расстоянии Л от свободной поверхности жидкости или на расстоянии y = hfsina от оси jc. Для такой бесконечно малой площадки избыточное давление во