Статистические методы анализа и обработки наблюдений

осью абсцисс, а справа и слева ограниченной пределами интегрирования. Поэтому, чтобы вычислить интегралы (3.3) от функций f^x) и /2(л;), нужно вычислить площади фи­ гур, заключенных между гистограммой (соответственно полигоном) и осью абсцисс.

В случае гистограммы мы имеем совокупность прямо­ угольников с основаниями 1 и высотами рк, значит, и пло­ щади их равны рк. А тогда

Л+ 1 / 2

^fi (х) dx = Ро + Pi + . • + рп = 1.

-1/2

Вслучае полигона мы имеем совокупность трапеций с осно­ ваниями рк и рк+1 и высотами 1. Площадь каждой такой

трапеции равна p-k-~^-£ k+1 Кроме того, здесь участвуют еще

два прямоугольника с основаниями у и высотами р„ и р„.

Окончательно получим, что П+1/2

и, кроме того, они неотрицательны. Значит, их можно счи­ тать плотностями некоторых непрерывных случайных вели­ чин т)! и г|2. Нетрудно проверить, что функции распределе­ ния случайных величин и г|2 мало отличаются от функции распределения величины £ и отличие это тем слабее, чем меньше сами вероятности рк. Поэтому в практических рас­ четах величину | можно приближенно заменять непрерыв­ ными величинами и т]2. При этом необходимо учитывать, что каждое значение k величины £ заменится целым интер-

валом k 2 , &+ 2 .Например, неравенство равносильно тому, что величина % (или г|2) попадет в один

Плотности Д(х) и /2(х) обладают одним важным свойст­ вом: если х принимает целочисленное значение &=0, 1, 2

п, то

fi (k) = f2 (k) = pk.

Именно этот факт мы имели в виду, когда говорили, что ряд распределения конечнозначной величины £ играет роль плот­ ности — ведь у £ нет других значений, кроме целочисленных.

Величины и г\2, с точки зрения своей структуры, яв­ ляются простейшими непрерывными случайными величи­ нами, связанными с конечнозначной величиной Однако аналитические выражения для их плотностей /Дх) и /2(х) довольно громоздки, неудобны в работе. Для того чтобы их

заменить какой-нибудь третьей непрерывной случайной величиной г| с более «удобной» плотностью /(х). Такую за­ мену можно делать, если плотность f(x) мало отличается от

/(х) можно будет тогда пользоваться при оценке вероятно­ стей неравенств:

*2 + 1/ 2

* 1 - 1 / 2

Описанный способ перехода от конечнозначной случай­ ной величины к непрерывной применим к любым конечнозначйым и дискретным величинам, при этом будут лишь необходимы некоторые поправки, учитывающие, что раз­

ность между соседними значениями случайной величины может отличаться от единицы.

Особенно эффектный результат получается, если изло­ женные выше соображения применить к случайной вели­ чине, имеющей биномиальное распределение. Напомним, что биномиальным называлось распределение числа появле­ ний события А, имеющего вероятность р, в п независимых испытаниях. Это число может быть только целым 6=0, 1, 2, ..., л; вероятность каждого значения уже была вычислена в п. 1.5:

Р ь= к\(.-»)! PV~* (V= 1—р).

При больших tiwk вычисление факториалов вызывает серь­ езные затруднения. Соответственно усложняются и все дру­ гие задачи, связанные с биномиальным распределением, так что переход к непрерывной случайной величине был бы здесь весьма желательным.

Опуская довольно сложные и громоздкие выкладки, сформулируем получающийся здесь окончательный резуль­ тат: биномиальное распределение можно приближенно заме­ нять нормальным распределением с математическим ожи­ данием а=пр и дисперсией o2=npq\ погрешность при этом будет т?м меньше,чем больше дисперсия npq. В практических вычислениях погрешностью перехода можно пренебрегать уже при npq^9. При заданном р это позволяет находить ми­ нимально допустимое число испытаний п, позволяющее бино­ миальное распределение заменять нормальным без всяких поправок. Например, для р=0,1 имеем

л -0 ,1(1 — 0 ,1 )> 9 , л > 1 0 0 .

(2 помощью нормального распределения нетрудно иссле­ довать различные неравенства для числа осуществлений события А в п независимых испытаниях. Из общего равен­ ства (3.4) вытекает формула

Как и для всякого нормального распределения, здесь мож­ но использовать функцию Лапласа, что приведет нас К

следующей, обычно и употребляемой на практике формуле:

для расчетов можно пользоваться нормальным распреде­

= Ф (1,00) —Ф (— 1,57) = 0,3413 + 0,4418 = 0,7831

Неравенство n p q ^ 9 показывает, что когда р или q близ­ ки к нулю, число п должно быть очень велико. Поэтому би­ номиальное распределение редко удается заменять нормаль­ ным при очень малых или очень больших (близких к единице) значениях р. Тем не менее, и в этом случае не обяза­ тельно вести расчеты по точным формулам. Можно пока­ зать, что для p^L0,1 и достаточно большого п биномиальное распределение мало отличается от распределения Пуассона

(см. п. 2.2) с параметром а—пр. В связи с этим распределе­ ние Пуассона называют иногда «законом редких событий». Если р ^ 0,9, то нужно перейти к рассмотрению противо­

положного события А.

Напомним, что отношение числа появлений события А к числу всех испытаний называется частотой события А. Если число появлений события А как случайную величи­

ну обозначить через £, то частота to также есть случайная ве-

£

личина, связанная с £ соотношением со = -^п- В п. 1.5 была сформулирована теорема Бернулли, которая в принятых

3.3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ НОРМАЛЬНОГО Р А СПР ЕДЕ ЛЕНИ Я 75

нами сейчас обозначениях может быть записана так:

lim Р {| со —р | > е) = 0 ,

где е — любое фиксированное положительное число. Используя связь между биномиальным и нормальным

распределениями, мы можем теперь доказать эту теорему (здесь п-мэо, поэтому ни о каких погрешностях перехода можно не думать). Действительно,

(в этом можно убедиться хотя бы из рис. 14). Поэтому

lim Р{|£ —пр | ^ пе) = 1, п-►00

откуда и вытекает утверждение теоремы Бернулли.

§4. НАБЛЮДЕНИЯ

4.1.Наблюдение как этап исследования. В процессе из­ ложения предыдущих параграфов мы накопили уже доста­ точный теоретический материал для непосредственного перехода к основному содержанию настоящей книги. Мы по­ пытаемся применить методы теории вероятностей к практи­ ческому изучению различных явлений природы и к обра­ ботке получаемых при этом результатов.

Прежде всего уточним, какой смысл нужно придавать понятию испытания. В практических исследованиях ис­ пытанием называют чаще всего эксперимент, опыт, т. е. такое изучение явлений, при котором изучаемые факторы вызываются искусственно — создаются специальные при­ боры, установки и т. п. Однако искусственная установка — не единственный способ изучения природных процессов и явлений. Поэтому нам удобнее сохранить за понятием ис­ пытания как можно более широкий смысл, считая испыта­ нием любое осуществление комплекса основных факторов,

явления. Всякие побочные, посторонние факторы желатель­ но по возможности устранять. Однако, как уже неоднократ­ но упоминалось, устранить все такие факторы невозможно. Те из них, которые хотя и нельзя устранить, но зато можно с достаточной полнотой учесть, мы также будем относить к основным факторам. Основные факторы должны быть оди­ наковыми для всех испытаний, посвященных исследова­ нию какого-либо одного свойства или признака (такую со­ вокупность испытаний мыбудем называтьсе/шеи испытаний). Испытания с неизменным комплексом основных факторов называются однородными; однородность испытаний яв-

ляется одним из важнейших условий правильного приме­ нения статистических методов обработки наблюдений. Что­ бы обеспечить однородность испытаний, нужно каждую их серию проводить в как можно более стабильных условиях: на одних и тех же приборах и установках, одними и теми же исследователями и, наконец, в предельно короткий срок, так как многие факторы заметно меняются во времени. Если стабильность испытаний обеспечить не удается, то их из­ менение желательно учитывать и как особый фактор вклю­ чать в число основных факторов.

Все прочие неустранимые факторы, не поддающиеся или трудно поддающиеся учету, относят обычно к случайным факторам. Вообще говоря, вопрос о том, какие факторы нужно во что бы то ни стало учитывать, а какие можно считать случайными, приходится решать каждый раз применительно к конкретным условиям. Например, исполь­ зуя для измерений температуры в различных испытаниях один и тот же термометр, его погрешность учитывают как основной фактор. Если же пользуются в разных испытаниях разными термометрами, то соответствующие погрешности присоединяют к остальным случайным факторам.

Еще раз подчеркнем, однако, что деление факторов на основные и случайные весьма условно и может быть со­ вершенно произвольным — лишь бы основные факторы не менялись от испытания к испытанию в пределах одной се­ рии. Например, испытывая на прочность стальные бруски, мы можем их поперечники считать случайными (т. е. не учитывать), хотя такой учет может быть совсем не трудным.

Выделение тех или иных факторов в качестве основных влияет на вероятности возникающих случайных событий, на распределения соответствующих случайных величин. Изменится комплекс основных факторов — изменятся и эти распределения. Но не все распределения одинаково удобны для изучения. И если мы хотим в результате испы­ таний получить удобное, хорошо изученное распределение, то мы уже не можем выделять основные факторы совершенно произвольно. Именно получение случайных величин с «хо­ рошими» распределениями и является главным критерием при выделении основных факторов.

При каждом испытании возникает бесчисленное мно­ жество событий, изучая частоту которых можно составить

78 §4- НАБ ЛЮДЕНИЯ

представление об их вероятностях и в дальнейшем применять к их изучению вероятностные методы. Если изучается одно какое-нибудь случайное событие, то в результате отдель­ ного испытания удается выяснить только, осуществилось это событие или нет. Однако практическое проведение лю­ бого испытания является достаточно трудоемким делом. Поэтому одно и то же испытание используется для одновре­ менного изучения нескольких случайных событий. Обычно это выглядит следующим образом: перед проведением испы­ таний выделяют целый класс случайных событий, а после каждого испытания регистрируют, какие случайные собы­ тия из этого класса осуществились. Такая регистрация и на­ зывается наблюдением.

В качестве наблюдаемого класса случайных событий вы­ бивают чаще всего совокупность свойств какого-нибудь явления или совокупность числовых значений какой-ни­ будь случайной величины. Например, при каждом астро­ номическом наблюдении за небесным светилом одновре­ менно отмечают его координаты, яркость, цвет, время наб­ людений и многое другое.

При наблюдениях приходится следить не только за результатами испытания, но и за правильностью его прове­ дения. Поэтому признаки, отмечаемые при наблюдении, делятся на изучаемые и контрольные. Контрольные приз­ наки служат для проверки однородности испытаний. На­ пример, изучая сопротивление электролита при фиксиро­ ванной температуре, мы при каждом наблюдении должны отмечать, что температура действительно не изменилась. Эти же контрольные признаки помогают учитывать изме­ нение условий испытания, если таковое произойдет.

По своему характеру результаты, регистрируемые при наблюдении, делятся на качественные и количественные.

К качественным результатам относятся появление какоголибо события (например, зажигание контрольной лампочки, выпадение осадка в растворе и т. п.), а также цвет, вкус, форма изучаемого объекта, короче, все результаты, не имею­ щие числового характера. Последнее обстоятельство, кста­ ти, и не позволяет непосредственно применить к обработке качественных результатов математические методы. В связи с этим в экспериментальных исследованиях (особенно в пос­ леднее время) все более заметно стремление переходить от

качественных результатов к количественным, подбирая еди­ ницы измерения для таких качеств, как цвет, вкус, яркость и т. п. Развитие теории информации позволило получать количественные оценки даже в таких «далеких» от матема­ тики науках, как лингвистика или медицина.

Количественные результаты наиболее удобны для мате­ матической обработки. Источниками таких результатов служат в основном наблюдения двух видов: подсчет и измерение. С наблюдениями первого вида мы сталкиваемся, подсчитывая число вспышек на фотографии ядерного про­ цесса, число дефектов на готовой детали, число зерен на шлифе; к подсчетам относятся почти все демографические наблюдения, экономические данные и т. п.

Измерения возникают тогда, когда наблюдаемое свой­ ство сравнивается в количественном отношении с некото­ рым эталоном (единицей измерения). Для измерений служат всевозможные измерительные приборы: весы, мензурки, метрические линейки, электроизмерительные приборы и т. д. Результаты, полученные непосредственным измерением, в дальнейшем нередко приходится пересчитывать по различ­ ным формулам; после подсчета получаются так называе­ мые результаты косвенных измерений. К измерениям (глав­ ным образом, косвенным) относится большинство методов анализа вещества, а также многочисленные исследования производственных процессов.

Каждое наблюдение производится для изучения некото­ рой причинно-следственной связи, изучаемый фактор при этом всегда включается в число основных факторов испыта­ ния. Кроме того, как уже говорилось выше, на результат наблюдения оказывают влияние и многочисленные примес­ ные факторы. Если такие факторы включены в число ос­ новных, то их действие учитывается и, следовательно, не искажает результат наблюдения. Результат, который поя­ вился бы при воздействии одних только основных факторов испытания, называется истинным результатом (а при из­ мерении — истинным значением измеряемой величины). Отыскание истинного результата и есть идеальная цель каждого исследования.

По-видимому, нет необходимости вновь убеждать чи­ тателя в том, что выделение основных факторов (т. е. фак­ торов, которые можно учесть) в чистом виде невозможно,

80 §4. НАБ ЛЮД ЕН ИЯ

На каждый результат оказывают воздействие всевозможные неучитываемые нами (сознательно и бессознательно) слу­ чайные факторы. Следовательно, реальный результат наб­ людения всегда является случайной величиной. И если ре­ зультат реального подсчета может иногда совпадать с истинным результатом, то при измерениях получить ис­ тинное значение измеряемой величины, как правило, не­ возможно. Связано это с тем, что результатам подсчета соответствует конечнозначная или дискретная величина, у которой каждое значение имеет ненулевую вероятность; результатам же измерения соответствует непрерывная слу­ чайная величина, у которой каждое отдельное значение (в том числе и истинное) имеет вероятность нуль.

Итак, каждый реальный результат отклоняется от ис­ тинного. Это отклонение называется ошибкой наблюдения. Ошибка наблюдения также есть случайная величина — фактически она является результатом действия только случайных (неучитываемых) факторов.

Получается довольно неотрадная картина: мы знаем, что каждое наблюдение содержит ошибку, но не знаем ее величины. Иными словами, мы должны делать «верное» заключение по «неверным» данным. Многие буржуазные философы даже видят в этом «противоречию) доказатель­ ство непознаваемости мира, в противовес одному из основ­ ных положений диалектического материализма; они счи­ тают, что выводы, получаемые на основе обработки наблю­ дений, не являются объективными, и зависят от личных качеств экспериментатора.

Разумеется, никакого противоречия с диалектическим материализмом здесь нет. Из того, что каждое наблюдение содержит некоторую случайную ошибку, следует лишь, что выводы, сделанные на основе наблюдений, не являются абсолютно достоверными. Однако эти выводы будут вполне объективными — существуют методы, позволяющие оце­ нивать вероятности этих выводов*). Разработкой указан­ ных методов и занимается математическая статистика.

*) Кстати сказать, положение о том, что вероятность есть некото­ рая объективная характеристика события, не зависящая от того, кто про­ водит испытание, также разделяется не всеми современными буржуаз­ ными учеными.