Статистические методы анализа и обработки наблюдений

212 § 8. Д И С П Е РС И О Н Н Ы Й АНАЛИЗ

Строить квадраты второго порядка довольно трудно; при­ ведем примеры (таблица 8.8) для случаев £=3,4,5 (обозна­ чения уровней факторов Л и в для краткости опущены).

Анализ для квадрата второго порядка ведется так же, как и при обычном латинском квадрате, только нужно еще

по которой, в случае ее значимого отличия от SQ, м о ж н о оценить действие фактора D:

Фишер и Иэйтс показали, что при k уровнях и число изучаемых факторов может быть доведено до k. Исклю­ чение составляет лишь £ = 6, для которого, кроме обычного латинского квадрата, нельзя построить никакого квадрата более высокого порядка.

Существует много других способов планирования дроб­ ного факторного эксперимента: неполные сбалансированные блоки, смешивание и т. д. О них можно прочесть в спе­ циальной литературе по дисперсионному анализу.

214 §9 ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ СЛУЧАЙНЫМИ ВЕЛИЧИНАМИ

Гораздо сложнее обстоит дело с понятием зависимости случайных величин: если при изменении х изменилось у , мы не можем сразу сказать, является ли это изменение результатом зависимости от х или оно обязано лишь влия­ нию случайных факторов. Правда, и между случайными величинами может существовать строгая функциональная зависимость, устанавливаемая логическим путем. Напри­ мер, число мужчин | и число женщин г\ на 1000 человек населения являются случайными величинами, однако всегда |4-т]=1000. Подобного рода зависимость между слу­ чайными величинами обычно известна из теоретических соображений заранее, до всяких наблюдений. На практике она проявляется в том случае, когда для вычисления двух случайных величин используются одни и те же наблюдения (случай косвенных измерений), например, при нахождении числа мужчин и женщин на 1000 человек населения или при вычислении площади квадрата по измеренной стороне. Если же для вычисления каждой из случайных величин используются свои наблюдения, то на эти случайные вели­ чины действуют разные случайные факторы, и функцио­ нальная зависимость между ними уже невозможна. Попро­ буйте, например, отдельно измерять сторону а и площадь 5 квадрата и вы сами убедитесь, что на практике не всегда

S= a2 *).

Как правило, между случайными величинами может существовать лишь связь особого рода, при которой с из­ менением одной величины меняется распределение другой — такая связь называется стохастической. Изменение слу­ чайной величины т|, соответствующее изменению величины £, разбивается при этом на две компоненты: стохастическую (связанную с зависимостью т| от £) и случайную (связанную

При этом соотношение между стохастической и случайной

*) От строгой функциональной следует отличать ложную функцио­ нальную зависимость, нередко возникающую на практике из-за того, что влияние случайных факторов оказывается слабее точности прово­ димых наблюдений.

компонентами определяет силу связи (понятие, лишенное смысла для функциональной зависимости). Наконец, от­ сутствие второй компоненты дает функциональную зави­ симость.

Выявление стохастической связи и оценка ее силы пред­ ставляют важную и трудную задачу математической ста­ тистики. Достаточно сказать, что эта задача в общем виде не решена. Существуют показатели, оценивающие те или иные стороны стохастической связи. Из них важнейшим является коэффициент корреляции, рассматриваемый ниже.

В пункте 2.3. указывалось, что дисперсия суммы двух независимых величин равна сумме дисперсий этих величин. Поэтому если для двух случайных величин £ и ц окажет­ ся, что

D (H -il)^ D £ + Dri,

то это служит верным признаком наличия зависимости между | и г]. Таким образом, сравнивая дисперсию D(£+r|) с D£-fDr|, мы получаем первый критерий стохастической связи между £ и г\. Непосредственно из свойств дисперсии и математического ожидания (п. 2.3) вытекает, что

D (i + T)) = M li + ri-M (? , + i))P =

= М [(| - Mi)* + 2 (i - Mg) (П - Мч) + (г, - Mil)2] =

= М ( | — М|) 2 +':2М [(I— М|) (Г| —Мт))] + м(ц —Мп)2.

Но

M ( | - M |) 2 = D|, M (TI- M TI)2 = D4,

поэтому

D (5 + n ) - ( D | + Dri) = 2М [(S-M £) (л —/Аг|)].

К сожалению, обратное утверждение несправедливо и из равенства М[(£—М|)(г|—Мг|)]=0 независимость | и г) не вытекает. Это значит, что на дисперсии суммы сказывается не всякая стохастическая связь между слагаемыми. Может быть и так, что D(£+TI)=H=D£+DTI, но в этом неравенств? «повинна» лишь часть имеющейся связи между £ и rj.

своей величиной характеризует не только наличие, но и силу стохастической связи между | и т), точнее, той части этой связи, которую мы выше назвали корреляцией. Чем больше абсолютная величина р, тем сильней корреляция между £ и тр Максимальная корреляция соответствует зна­

а это значит, что либо Н0 H-rjo, либо | 0—г|0 есть постоянный нуль.

Итак, мы получили первый (и важнейший в силу своей простоты) показатель зависимости между случайными ве­ личинами | и т]. Из коэффициента корреляции можно из­ влечь и еще одну информацию: если р > 0, то величины £ и г| с точностью до случайных погрешностей одновременно возрастают или убывают, если же р < 0, то с возрастанием одной величины другая убывает.

Тем не менее, коэффициент корреляции как показатель зависимости обладает серьезными недостатками. Мы уже упоминали, что из равенства р= 0 не следует независимость величин | и т]. Оказывается, и крайние значения р= + 1 не очень полезны, так как соответствуют не всякой функ­ циональной зависимости, а только строгой линейной связи

218 §9. ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ СЛУЧАЙНЫМИ ВЕЛИЧИНАМИ

Таким образом, зависимость между | и т] может быть строго функциональной (например, квадратичной), без следа случайности, а коэффициент корреляции все еще будет меньше 1 (по абсолютной величине), и корреляция будет неполной.

Исходя из сказанного, можно считать, что коэффициент корреляции есть показатель того, насколько связь между случайными величинами близка к строгой линейной зави­ симости. Он одинаково отмечает и слишком большую долю случайности, и слишком большую криволинейность этой связи.

Существуют, однако, такие случайные величины, для которых коэффициент корреляции является достаточно полным показателем зависимости. Сюда относятся в первую очередь величины, между которыми заранее, из общих соображений, можно предсказать линейную зависимость. Например, измеряя в электрической цепи одновременно напряжение и силу тока, мы должны, по закону Ома, ожи­ дать между ними линейной зависимости (пропорциональ­ ности). Поэтому сильное отличие коэффициента корреляции р от 1 будет свидетельствовать о недостатках измери­ тельных приборов или о наличии переменного сопротивле­ ния в цепи.

Сильно повышается ценность коэффициента корреляции и для величин, собственные случайные колебания которых подчиняются нормальному закону. Для таких величин, как это можно показать строго математически, отсутствие корреляции, т. е. равенство р= 0, означает одновременно и отсутствие всякой зависимости.

Последнее свойство для нас особенно важно, так как мы при обработке наблюдений преимущественно сталкива­ емся с нормальными распределениями. Возникает вопрос, как оценить коэффициент корреляции по данным наблю­ дений.

Допустим, что проведено т испытаний и при каждом отмечались значения двух случайных величин. В результа­ те получатся т пар выборочных значений (хъ уг), (х2, у2),...

..., (хт , ут). Для наглядности эти пары значений можно рассматривать как координаты точек на плоскости. Обра­ зовавшаяся совокупность точек сразу же даст нам пред­ ставление о силе корреляции. На рис. 26 приведены примеры

220 §9. ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ СЛУЧАЙНЫМИ ВЕЛИЧИНАМИ

При достаточно большом объеме выборки т выборочный коэффициент корреляции г приближенно равен генераль­ ному коэффициенту р. Однако оценить возникающую при этом погрешность очень трудно. Это и не обязательно, так как точное значение р в расчетах почти не используется и нужно нам лишь как показатель силы связи. На практике выборочный коэффициент корреляции используют в ос­ новном для проверки общей гипотезы о наличии корреляции между наблюдаемыми величинами, не вдаваясь в подробные оценки силы этой корреляции.

В связи со случайностью выборки выборочный коэф­ фициент корреляции г может быть отличен от нуля, даже если между наблюдаемыми величинами нет корреляции. Следовательно, для проверки гипотезы об отсутствии кор­ реляции необходимо проверять, значимо ли отличается г от нуля. А для этого нужно знать распределение г как слу­ чайной величины. Это распределение, как и следовало ожидать, зависит от генерального коэффициента корреля­ ции р, который нам неизвестен. Но если мы в качестве ну­ левой гипотезы возьмем равенство р= 0 (отсутствие корре­ ляции), то нам потребуется лишь г-распределение, соответ­ ствующее р=0. Такое распределение оказывается уже зависящим только от объема выборки т. Легко видеть, что оно симметрично относительно нуля и сосредоточено на отрезке [—1, 1]. В таблице XII Приложения приведены квантили гг_р/2 этого распределения для некоторых уров­ ней значимости р и объемов т.

Зная r-распределение, можно заранее предсказать до­ верительные границы для выборочного коэффициента кор­ реляции г в предположении, что генеральная корреляция отсутствует. А именно, с вероятностью 1—р должна быть справедлива оценка

' 1 - р/2 ^=5 ' ^ ' 1 - /7/2 •

Поэтому если окажется, что найденный по выборке коэф­ фициент корреляции удовлетворяет неравенству

М > Гг-р/2,

то его нужно признать значимым, т. е. нужно считать, что нулевая гипотеза неверна. А это значит, что р=^=0 и между наблюдаемыми величинами есть корреляция. Корреляция