Математическая статистика в технологии машиностроения

Пользуясь итоговыми данными табл. 34, вычисление всех величин, необходимых для регрессионного анализа, произво­ дится по следующим формулам:

а

а

in

рости резайия на разбивку отверстий воспользуемся приемами математической статистики. Результаты опытов, а также вычисления среднеарифметических Xi и дисперсий ^ по каждой серии опытов для соответствующих значений V приве­

дены в табл. 35.

При общепринятых методах исследования график зависимости А от у будет иметь вид, показанный на рис. 31 (пунктирная линия). На основании графика рис. 31 можно сделать неправильный вывод о прогрессивном увеличении разбивки с ростом скорости в диапазоне от 10 до 44 м/мин и о существенном влиянии на раз­ бивку скорости резания в исследованном диапазоне.

&МК

тх

0,4

0,2

кальные линии)

В результате анализа физической сущности явления разбивки отверстий можно считать, что основной его причиной является радиальная составляющая силы резания Ру, под влиянием которой происходит упругое и пластическое деформирование материала стенок отверстия.

Вследствие колебания величины силы Ру из-за неравномерности припуска на обработку и неравномерной твердости материала в отдельных заготовках про­ исходит колебание значений величины разбивки. Изменение скорости резания V в пределах от 10 до 44 м/мин не может существенно влиять на величину силы Ру, поэтому и величина разбивки не должна существенно изменяться при изменении скорости резания в указанных пределах.

Проверим эти предположения статистическими методами.

Таблица 35

Результаты опытов по исследованию влияния скорости резания на величину разбивки отверстия при развертывании серого чугуна

Эти вероятности не малы, они больше доверительного уровня Р = 0,05, поэтому мо?кно считать, что наблюденные значения t случайно отличаются от табличных И гипотеза о случайном расхождении выборочных средних или их однородности верна. Другими словами — сравниваемые выборки принадлежат одной и той же генеральной совокупности.

Таким Образом, проверка гипотез однородности sj и X/ показала, что рас.

вательно, н^Ше предположение, что скорость резания в пределах от 10 до 44 м/мин существенна не влияет на величину разбивки отверстий при развертывании серого чугука, подтверждается.

Приближенно можно считать, что при работе со скоростями резания У от 10

z2 по таблице приложения 10 равно 1,57. Следовательно,

ст= 1,57 2,2 = 3,4.

Истинное значение разбивки Д будет лежать в пределах X ± Зет, т. е.

46 мк) произведена на токарном станке. Для разрешения поставленной задачи 90 колец были подвергнуты центробежно-шариковой обработке при неизменном числе ударов на 1 мм2 поверхности, неизменной продольной подаче на 1 оборот детали, но с различными натягами i, которым придавались следующие значения: i = 0,3; 0,45; 0,60 мм.

Так как закон распределения средних высот неровностей в партии колец, обработанных центробежно-шариковым способом, неизвестен, то опыты с каждым значением повторялись тридцать раз. Поэтому 30 опытов или 30 колец, обработан­ ных с одним значением натяга i, можно рассматривать как большую выборку из генеральной совокупности с неизвестным законом распределения. Для сравне-

Способ центробежно-шариковой обработки предложен И. И. Ененко.

ния и оценки средних значений выборок в данном случае можно Ьоспользоваться критерием, рекомендованным в части первой гл. IV, п. 5, для случая выборок из ненормальной совокупности.

Для оценки степени влияния величины натяга i на чистоту обработки будем исходить из нулевой гипотезы, т. е. предположим, что величина натяга в пределах от 0,3 до 0,6 мм не влияет на чистоту обработки. Проверим эту гипотезу сначала для i = 0,3 и i = 0,45, а затем для i = 0,45 и i = 0,6 по формуле (119):

В обоих случаях полученные значения t > 3, следовательно, можно утвер­ ждать, что наблюденные значения Rz в опытах с различными величинами i суще­ ственно отличаются друг от друга, что объясняется влиянием величины натяга i. Физический смысл этого явления заключается в том, что с увеличением натяга увеличивается сила удара шариков, а поэтому возрастает и величина пласти­ ческой деформации гребешков, полученных на предшествующей обработке, и снижается шероховатость поверхности.

2.ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ ПО СПОСОБУ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

Исследования могут преследовать различные цели. Одной из них может быть установление функциональных или корреляцион­ ных связей между переменными величинами и выражение этих связей в виде эмпирических формул. При этом отыскание функ­ циональных связей, например между двумя переменными вели­ чинами, носит условный характер.

В природе нет связей только между двумя величинами. Обычно каждая величина зависит от ряда других величин, которые часто заранее не известны. Поэтому задача отыскания функциональной связи между двумя переменными величинами возможна только в случае, если влияние других аргументов на изучаемую величину либо пренебрежимо мало, либо они сохраняют (хотя бы прибли­ зительно) постоянные значения во всех наблюдениях. Последнее предположение означает, что остальные аргументы входят в функ­ циональную зависимость в качестве постоянных параметров. Если при таких предположениях функциональная связь между пере­ менными величинами обнаруживается, то возникает задача выбора формы связи и вида эмпирической формулы. Если функциональ-

118

ной связи не обнаружено, а установлено наличие корреляционной связи между переменными величинами, то и здесь возникает за­ дача выбора формы связи и вида эмпирического уравнения кор­ реляционной связи.

Для установления формы связи (прямолинейной или криво­ линейной) прибегают к графическому методу. По эксперименталь­ ным данным в системе декартовых или логарифмических коорди­ нат строят эмпирическую кривую. По ее виду подбирают наиболее близкую теоретическую кривую, уравнение которой известно. Это уравнение и принимается в качестве эмпирической формулы, определяющей функциональную или корреляционную связь между изучаемыми величинами. Выбрав, таким образом, наиболее подходящий вид формулы, определяют ее параметры. Для этого пользуются способом наименьших квадратов, сущность которого заключается в следующем.

Пусть имеются некоторые переменные х, у и z, связанные

Чтобы определить неизвестные значения коэффициентов, необ­ ходимо было бы найти опытным путем значения их величины при трех различных комбинациях переменных, в результате получи­ лись бы три уравнения:

a*i + pt/i + yzt = Л^;

имеющих три неизвестных ос, (3, у, значения которых можно опре­ делить, решив систему трех уравнений. Если переменным х , у, г придать некоторые четвертые значения: х4, г/4, z4 и определить опытным путем значение W4, то окажется, что равенство (183) при значениях коэффициентов, вычисленных по уравнениям (184), удовлетворено не будет:

Такой результат объясняется следующим. Если бы коэффи­ циенты были определены из уравнений (184) Па основании мате­ матически точного обмера переменных х, уу г и N у равенство (183) было бы удовлетворено и при других значениях переменных ху у у z. Однако всякие измерения являются лишь относительно точ­ ными, так как экспериментатор и прибор, которым он пользуется, дают ряд неизбежных ошибок. Кроме того, значения измеряемых величин могут колебаться в каждом опыте под влиянием случай­ ных причин. Ошибки измерений и колеблемость измеряемых ве­ личии приводят к результатам, выраженным неравенством (185).

119

Очевидно, значения неизвестных а, р, у надо находить в резуль­ тате не трех (математически достаточных) опытов, а значительно большего количества их, чтобы получить наиболее надежные зна­ чения этих коэффициентов.

В этом случае получим систему п уравнений:

Полученная система уравнений носит название «избыточной» вследствие того, что число уравнений больше, чем число входя­ щих в них неизвестных. Сами же уравнения называются «услов­ ными», так как они не вполне совместимы, т. е. значения неиз­ вестных, определенные, например, из первых трех уравнений, не будут равны значениям этих же неизвестных, определенных из других трех уравнений этой системы.

Таким образом, возникает вопрос, каковы должны быть зна­ чения коэффициентов а, р, у, чтобы избыточная система уравне­ ний удовлетворялась наилучшим образом, т. е. ошибки Et = N —

— Nlt где N — расчетные, a Nt — опытные данные или

=a*i — ру х — yzi — N 1, '

Е2 = ах2 — ру2 — уг2 — N 2;

Еп = <ххп — руп — угп — Nn ,

должны быть наименьшими.

Для решения поставленной задачи пользуются принципом, предложенным Лежандром и математически обоснованным в даль­ нейшем Лапласом и Гауссом. Согласно этому принципу из всех возможных величин а, р, у наиболее удовлетворительными будут

Возведение в квадрат, например, первого уравнения системы (187) дает

Е\ — а х \ + 2ах$у1+ fty\ -f- 2аyx^i + 2ру ^ г г—

— 2axxN1 — 2PyiNi -f- у2^ — 2yZiN: + N\.

Для El, Е\, Е2п получим такие же выражения с той лишь разницей, что у величин х, у, z и N будут индексы от 2 до п.

120