Математическая статистика в технологии машиностроения

Исследование статистических связей между многими вели­ чинами составляет предмет теории множественной корреляции. В практике механической обработки деталей на станках чаще всего встречаются случаи линейной корреляционной связи между тремя величинами или тремя факторами. Поэтому ограничимся рассмот­ рением простейшего случая линейной корреляционной связи между тремя величинами х, у и z, причем будем считать г величи­ ной, зависящей от х и у. Линейная связь между г, х и у выражается уравнением

Мерой силы линейной связи между г и х, у в совокупности слу­ жит коэффициентом множественной корреляции или сводный коэффициент корреляции, который вычисляется по формуле

Для исследования наличия связей между х и z, у и z, а также оценки влияния х и у в отдельности на z пользуются частными коэффициентами, которые обозна­

Корень в знаменателе этих формул всегда берется со знаком плюс. Смысл частных коэффициентов заключается в том, что они служат мерой линейной связи между л: и 2 при постоянном значении у , а также между у и z при постоянном зна­ чении х. Значения коэффициентов заключены между —1 и + 1 . Когда они равны О, частная связь между х и z, у и z не может быть линейной; если равны ± 1, то связь

линейная. Чем ближе значения частных коэффициентов к ± 1, тем теснее связь, тем ближе она к линейной связи.

Сравнивая значения гхг (у) и гуг (*), можно установить, какой из факторов х или у оказывает более сильное влияние на г. Чем больше величина частного коэффициента корреляции, тем теснее связь данного фактора с г и тем сильнее его влияние на г. Для определения коэффициентов корреляции rxy%ryz> гХг необ­ ходимо составить корреляционные таблицы для х и у, у и г, х и z и произвести необходимые вычисления по аналогии с изложенным для двухмерных связей.

Пример 36. Кольца подшипников подвергаются предварительному и окон­ чательному шлифованию на двух бесцентровошлифовальных стайках. Статисти­ ческими исследованиями установлено, что овальность после предварительного шлифования х, припуск под окончательное шлифование у и овальность после окончательного шлифования z характеризуются показателями:

Кроме того, установлены следующие величины коэффициентов корреляции между х, у и z:

тХу = 0,5; rZX. — 0,6; ггу — 0,4.

Необходимо определить коэффициент множественной корреляции Rzyx, уравнение регрессии z по х и у и частные коэффициенты корреляции.

По формулам (158)—(160) определим значения коэффициентов Ь, с, а:

а = 0,02—0,36- 0,05—0,022.0,025 = 0,0015.

Уравнение корреляционной связи z с х и у будет иметь вид

~Zxy = 0,0015+0,36* + 0,022*/.

Вычислим частные коэффициенты корреляции:

V ( l — 0,5)2(1— 0,42)

Этот коэффициент достаточно велик и свидетельствует о наличии линейной связи между z и х, у. Частные коэффициенты корреляции показывают, что влия­ ние х на z сильнее влияния у , так как связь между х и z теснее, чем связь между у и z. То же вытекает из анализа уравнения регрессии z по х и у. С увеличением у

в два раза_при х = const Z увеличится на 5,75%; с увеличением х в 2 раза при

у = const Z увеличится на 94%. Следовательно, влияние овальности колец после предварительного шлифования сильнее, чем влияние припуска под чистовое шлифование на величину овальности колец после окончательной их обработки.

6. КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ И РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ

Корреляционный анализ. Использование теории корреляции для установления наличия, формы и силы связи между двумя или несколькими случайными величинами носит название корреля­ ционного анализа. Корреляционный анализ выполняется в сле­ дующей последовательности: на основании статистических данных составляется корреляционная таблица (см. табл. 29). С помощью данных табл. 29 вычисляется коэффициент корреляции и затем кор­ реляционное отношение (см. табл. 30). По величине коэффициента корреляции и корреляционного отношения судят о форме связи (прямолинейная или криволинейная) и о силе связи. Затем на основании данных корреляционной таблицы строят эмпирическую кривую регрессии и по ее виду подбирают ближайшую теорети­ ческую кривую и математическую формулу этой кривой. Если теоретическая кривая регрессии выражается уравнением прямой (или уравнением параболы второго порядка), то определение постоянных коэффициентов этих уравнений может быть произве­ дено по формулам (140) или (156).

Для определения параметров уравнений регрессий исполь­ зуется также метод наименьших квадратов (см. часть вторая, гл. I, п. 2).

Регрессионный анализ. В практике часто встречается необхо­ димость в установлении связи между двумя величинами у и х , из которых х является переменной, но не случайной величиной, принимающей в каждой новой серии опытов вполне определенное значение. Величина же у является случайной величиной, имеющей нормальное распределение с постоянной дисперсией а2, не зави­

сящей от х, но с переменным центром распределения У, изменяю­

щимся для каждого нового значения х. Таким образом, У является функцией х, т. е. на каждое изменение неслучайной величины х

случайная_величина у реагирует своим средним значением У

Функция У = / (х) в данном случае не выражает корреляционной связи у с х, так как х не является случайной величиной, а является лишь уравнением регрессии среднего значения случайной вели­ чины у по неслучайной величине х.

Тип функции Y = f (х) может быть линейным или криволиней­ ным, а независимых переменных факторов может быть несколько. Мы рассмотрим только один случай, имеющий практическое при­

менение в технологии машиностроения, когда функция Y = f (х) линейна и зависит только от одного переменного фактора х, т. е. выражается уравнением прямой

У= а + |}х.

Втехнологии машиностроения линейный регрессионный ана­ лиз используется, например, для исследования зависимости жест­ кости узлов станка от нагрузки; для исследования зависимостей

По значениям а' и Ь определяется коэффициент а уравнения У = а + Ьх:

Если п1 = п 2 = = пт, то формулы (168) и (169) примут

вид

(171)

Ь= i=i _______

т_

£(* /-* )2

1=1

Определив коэффициенты а' и Ь, необходимо проверить гипо­ тезу линейности связи У с х. Для этой цели вычисляется оценка si дисперсии <4 распределения генеральной совокупности случай­ ных величин t/i и оценка si дисперсии сг| рассеивания эмпиричес­

Проверка гипотезы линейности связи У с х производится при

<j2

помощи критерия Т = -J-. Если si значимо превышает sf, то

ч

гипотеза о линейности должна быть отвергнута.

Критические значения Т приведены в приложении 6. При пользовании этой таблицей необходимо иметь в виду, что для рас-

i= 1

ченное значение Тн будет меньше табличного значения Т, то гипо­ теза линейности связи Y с х принимается. Если Тн > Т, то ги­ потеза бракуется.

Если гипотеза линейности связи Yt с xt подтверждается, то

вэтом случае можно вычислить и доверительные интервалы для а

и(5. Установлено, что значения коэффициентов а и b имеют нор­ мальное распределение со средними а и р и дисперсиями:

(176)

S 'Ч i=i

;=i

где s2 — дисперсия случайных величин уи определяемая по фор­ муле:

приложения 2, можно определить точность приближенных ра­ венств а ^ а и Ь г ^ Р в долях sa и sb, т. е. еа = t’sa и гь = предварительно задавшись вероятностью а. Например, задавшись

по