- •1.1. Характерные особенности современных НИ
- •1.2. Типовая структура АСНИ
- •1.3. Задачи, решаемые АСНИ
- •1.3.1. Задачи автоматизации экспериментальных исследований
- •1.3.2. Автоматизация этапов НИ, носящих творческий характер
- •1.5. Экономический эффект от автоматизации НИ
- •1.6.1. Экспериментальные исследования
- •1.6.2. Цели автоматизации экспериментальных исследований
- •1.6.3. Назначение АСНИ-Э
- •1.6.5. Структуры АСНИ-Э
- •1.6.6. Функциональная структура АСНИ-Э
- •1.6.7. Основные направления работ по созданию АСНИ-Э
- •Контрольные вопросы
- •2. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ИССЛЕДУЕМОГО ОБЪЕКТА
- •2.3. Второй способ оценки спектральной плотности
- •2.4. Получение вторым способом сглаженной оценки спектральной плотности
- •2.5. Оценка взаимных корреляционных функций двух эргодических случайных процессов
- •Контрольные вопросы
- •3. ПРИМЕНЕНИЯ СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛИЗА ИССЛЕДУЕМОГО ОБЪЕКТА
- •3.1. Оценка частотной характеристики исследуемого объекта, представляющего собой линейную динамическую систему
- •1 GAfk)
- •Контрольные вопросы
- •ГЛАВА 4. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ
- •4.1. Генеральная и выборочная совокупность случайной величины X
- •4.2. Задачи, решаемые при статистической обработке результатов измерений случайной величины X
- •4.3. Оценивание по выборке статистических характеристик случайной величины X
- •4.4. Общие свойства точечных оценок
- •4.5. Методы получения точечных оценок параметров закона распределения случайной величины X
- •4.5.1. Метод моментов
- •4.5.2. Метод максимума правдоподобия
- •4.6. Законы распределения, наиболее широко используемые при статистической обработке результатов измерений
- •4.6.1. Нормальное распределение
- •4.6.2. Распределение %2
- •4.6.3. Распределение Стьюдента
- •4.6.4. Распределение Фишера
- •4.7. Доверительный интервал и доверительная вероятность
- •4.8. Корреляционный анализ
- •Контрольные вопросы
- •ГЛАВА 5. ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ИССЛЕДУЕМОГО ОБЪЕКТА С ПОМОЩЬЮ МЕТОДА НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
- •5.1. Статистические математические модели исследуемого объекта
- •5.2. Метод наименьших квадратов
- •5.2.1. Постановка задачи
- •5.2.2. Решение задачи определения математической модели исследуемого объекта
- •5.2.4. Ошибки при выборе вида математической модели исследуемого объекта
- •5.2.5. Проверка адекватности математической модели исследуемого объекта
- •Контрольные вопросы
- •ГЛАВА 6. ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА
- •6.1. Теория эксперимента
- •6.2. Основные понятия планирования эксперимента
- •6.3. Общие требования к плану эксперимента. О критериях планирования эксперимента
- •6.4. Планы для моделей, описываемых полиномами первого порядка
- •6.4.1. Вид модели
- •6.4.2. Полные факторные планы
- •6.4.3. Дробные факторные планы
- •6.5.1. Вид модели
- •6.5.2. Применение полных факторных планов для моделей типа (6.40)
- •6.5.3. Применение дробных факторных планов для модели типа (6.40) и порядок смешивания оценок коэффициентов
- •6.5.4. Вычислительные формулы и свойства планов 2" р
- •6.6. Планы для квадратичных моделей
- •6.6.1. Вводные замечания
- •6.6.2. Ортогональные центральные композиционные планы
- •Контрольные вопросы
- •ЗАКЛЮЧЕНИЕ
- •Файзрахманов Рустам Абубакирович, Липатов Иван Николаевич
- •АВТОМАТИЗАЦИЯ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ
Мы имеем N = 4 эксперимента и £ + 1 = 3 оцениваемых параметра а0,а] ,а2. Тогда число степеней свободы ср = 1. В силу (5.60) получаем
ст = Д 0 4 = 0 ,2 .
В данном случае си = и а, = д/с~а = 0,1.
Для а = 0,1;а/2 = 0,05;ср = 1 из таблицы распределения Стьюдента на ходим 7’.а/2 = ('0>05 = 6,3 и \а, - а , |<0,63.
Таким образом, с доверительной вероятностью Р = (1 - а) = 0,9 получаем [см. (5.65)]:
55,1 - 0,63 < а0 <55,1 + 0,63;
5,15 - 0,63 <а, < 5,15 + 0,63;
5,15- 0,63 <а2<5,15 + 0,63.
5.2.4. Ошибки при выборе вида математической модели исследуемого объекта
Результаты, относящиеся к методу наименьших квадратов и из ложенные в разделах 5.2.2 и 5.2.3, были получены в предположении, что модель вида (5.11) является адекватной (т.е. модель соответствует действительности). Метод, позволяющий проверить, можно ли неко торую модель рассматривать как адекватную, будет рассмотрен ниже в разд. 5.2.5. Здесь же мы проанализируем лишь последствия, возни кающие при неправильном выборе вида модели.
Рассмотрим случай, когда модель имеет следующий вид:
У = "o/oW + ЩМх) +... + a j k(х) + (х) +... + b,g,(x). |
(5.76) |
Здесь а, и 6, - истинные значения параметров модели, а /(х )
и &,(*) - известные функции независимых переменных хрх2,...,х(1.
Выражение (5.76) можно записать в форме
y = aTf(x) +b Tg(x), |
(5.77) |
где а и /(х ) определены выше [см. (5.8) и (5.10)], а b и #(х) зада
ются следующим образом:
b = ( b J 2,..J lf |
(5.78) |
При этом для вектора Y объекта имеем:
где
G =
истинных значений выхода исследуемого
Y = Fa + Gb , |
|
(5.80) |
|
&(*') |
g20 ') |
£/(*’) ' |
|
g,(*2) |
g2(*2) |
8,(x2) |
(5.81) |
|
|
|
|
g2(*'V) g,(xN)_
Если теперь вектор параметров а заменить на вектор оценок а , рас считанный согласно (5.36) в предположении адекватности модели
(5.11), то выражение М[а] = а и, соответственно, М[у] = у |
уже не |
|
будут справедливы. Для М[а] в этом случае получим |
|
|
М[а] = M[CFrY] = CFrM[Y) = CFrY = CFr(Fa + Gb) = |
(5.82) |
|
= (FTF)-' F rFa + CF’Gb = a + CFrGb =a + Ab. |
||
|
||
Матрицу |
|
|
A = CFTG, |
(5.83) |
будем называть матрицей смещения. Эта матрица характеризует сме щение в оценках коэффициентов.
Если бы, например, функции f(x ) были заданы согласно (5.12),
а истинная модель имела вид (5.77), причем часть b ‘g(x) содержала
бы нелинейные функции х , то эту часть можно было бы исключить из рассмотрения, если в (5.82)
М[а1] = а1 для /' = 1,2,...,и.
В этом случае ошибка в выборе вида модели не сказывается на мате матических ожиданиях оценок коэффициентов.
В общем случае можно поставить вопрос о том, когда условие М[а1] = а, справедливо, а когда нет.
Чтобы ответить на этот вопрос, введем прежде всего следующие
обозначения: |
|
H = FrG = {ti,h\...,h'), |
(5.84) |
/-й вектор-столбец матрицы Н = F 1G будем обозначать через h'. По ложим далее
В силу того, что |
|
А =CF'G =СН , |
(5.86) |
можно записать |
|
c=C(h%+h2b2+... + h%). |
(5.87) |
Отсюда следует, что величина М[а] не зависит от 6(, если СИ' = 0.
Поскольку С - невырожденная матрица, то можно сформулиро вать нижеследующее утверждение.
Утверждение 5.3. Оценка ai является несмещенной в случае не правильного выбора модели, если i -й вектор-столбец матрицы Н - F lG равен нулю.
Пример 5.3. Продолжим рассмотрение примеров 5.1 и 5.2, приняв, что линейное описание
у = а0+ а,*, + а2х2
недостаточно и истинная модель исследуемого объекта представляет ся полиномом второй степени,
у= а0 + + а2х2+ 6|Х,х, + b2x2x2 + b2xtx2.
Вэтом случае для (5.79) получаем
g(x) = (x,x1,x2x2,x,x2)/ |
||
а матрица G принимает вид |
|
|
"1 |
1 |
Г |
1 |
1 |
- 1 |
G = |
|
|
1 |
1 |
1 |
u 1 |
1 |
- 1 |
В силу (5.84) имеем
" |
|
|
|
г |
■1 |
1 |
1 |
' |
4 |
0' |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
- 1 |
'4 |
|||||
Я = FrG = |
1 |
1 |
- 1 |
- 1 |
= 0 |
0 |
0 |
||||
1 |
1 |
1 |
|||||||||
|
1 |
- 1 - 1 |
1 |
0 |
0 |
0 -1 |
|||||
|
_ 1 |
1 |
- 1 |
||||||||
а из (5.86) получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
О |
|
|
|
А = СН = —LH = —Я = 0 0 0 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|