Классическим (регулярным) решением задачи (3.1)-(3.2) называется функция u(x,t) е С2 (/ > 0) П С2 (t > 0), удовлетворяющая всюду при t > 0 уравнению (3.1) и начальным условиям (3.2).

Теорема 3.1. Если <peC2( R ) ,i/s e C \R ) ,fe C l(t> 0), то классическое решение задачи (З.1.), (3.2) существует, единственно и выражается формулой Даламбера

+ Г- i J/«,r)d £ /r.

l a 0 x-a(l-r)

Для указанных функций <p,y/,f определена правая часть (3.3), поэтому можно формально найти функцию по формуле Даламбера.

Оказывается, найденная функция u{x,t) при каждом фиксированном t> 0 удовлетворяет уравнению (3.1), за исключением разве что конечного числа точек разрыва, а также удовлетворяет условиям (3.2). Более того, найденная функция оказывается обобщенным решением задачи.

Таким образом, применение формулы Даламбера для кусочно­ гладких функций полностью себя оправдывает.

3.1. Распространение волн в бесконечной струне. Задача Коши

Заметим, что задача Коши (3.1), (3.2) служит математической моделью различных физических явлений. В качестве одного из примеров рассмотрим задачу о малых поперечных колебаниях упругой однородной струны.

Будем считать, что колебания струны совершаются только в

направлении перпендикулярном оси струны х и искомая функция смещения точек струны u(x,t) зависит только от координаты х и времени t . Считается, что постоянная Т и плотность струны р постоянны. Тогда в указанном случае задача (3.1), (3.2) есть математическая модель задачи

<р(х) - начальное смещение струны, а <//(х) - начальная скорость.

Хотя в природе бесконечной струны не существует, тем не менее, задача Коши адекватно описывает процесс распространения волны вдоль реальной струны до того момента времени, пока волна не достигла границ. Полезно графически представлять себе профиль струны в задачах о поперечных колебаниях струны при различных начальных условиях.

Задача 3.1. Бесконечная струна с линейной плотностью, равной 3, и натянутая с силой, равной 27, в начальный момент времени находится в покое и смещена относительно положения равновесия, причем функция

начинает движение. Изобразить графически профиль струны в моменты времени / = — , / = 0,5. Схематично указать процесс дальнейшего

распространения волны, указать его скорость.

1г Решение. Т = 27, р = Ъ=> а - — = 3. Математическая модель колебаний

\Р

f( x ,t ) = y/{t) = 0 и кусочно-гладкой функции (р. Решение (3.1.1) согласно

2) / =

12

1 Удобно сначала построить вспомогательные графики —р(х) сжатием

графика <р(х) вдоль оси ординат, затем сдвигом влево (вправо) на -

построить графики функций —<р х + - (соответственно — <р X— ). 2 V

После этого сложить оба графика.

Построения проводим аналогично предыдущему пункту, с той лишь

7) / > | . Ясно, что <р{х - 3/) • (р{х + 3/) = 0, следовательно, графики

u+(x,t) и u_(x,t) не будут пересекаться.

Две волны: м+(х,/) и u_(x,t) распространяются вдоль оси ох в противоположные стороны с одинаковой скоростью. За время At

больше натянута струна, тем больше скорость распространения воли вдоль струны. В нашем примере скорость v = 3.

Задача 3.2. Бесконечная струна с линейной плотностью, равной 4, и натянутая с силой, равной 64, находится в прямолинейном положении. В момент времени / = 0 к участку [0,l] струны прикладывается импульс, в результате которого струна приобретает начальную скорость, равную 1 на

аналогии с предыдущей задачей графически изобразить профиль струны

вразличные моменты времени.

0)/ = 0 м(х,0) = 0 .

относительно оси ох. При этом на оси ох и ои удобно изображать разный масштаб. Далее из графика функции ^ЧДх) сдвигом влево на ^

Скорость распространения волн точно такая же, как и в предыдущей задаче V = 4.

X

Задача 3.3. Найти Ч^х) = ji//(^)d<^, если а = inf {х е /?| if/{x) * о}.

Решение. а = - 3. Воспользуемся формулой из предыдущей задачи и найдем функцию Ч'(х).

5)2 < х < 3 vF(x) = vi/(2)+ J(-l)-d£ = 12-