МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ

Численное интегрирование является процессом вычисления опреде­ ленного интеграла по отдельным дискретным значениям подынтегральной функции. В основе численного интегрирования лежит принцип интерпо­ лирования,

Задача интерполирования состоит в определении функции, аналити­ ческая форма которой либо неизвестна, либо очень сложна, по известным дискретным значениям функции для ряда моментов времени. Сущность численного интегрирования заключается в том, что во-первых, подынте­ гральная функция x(t) на коротком временном интервале заменяется дру­ гой функцией, например полиномом P(t), во-вторых, осуществляется ин­ тегрирование данного полинома, а не подынтегральной функции. Следует учесть, что если функцию x(t) трудно или практически невозможно проин­ тегрировать, то полином P(t) обычно легко поддается интегрированию.

При выборе метода численного интегрирования необходимо руково­ дствоваться точностью работы дискретного интегратора по сравнению с идеальным, а также сложностью реализации дискретного интегратора. Точность работы характеризуется отличием амплитудных и фазовых час­ тотных характеристик дискретного интегратора от аналогичных характе­ ристик идеального интегратора, а сложность реализации определяется по виду передаточное функции дискретного интегратора.

Существуют следующие основные способы численного интегрирова­ ния: по правилу прямоугольников; по правилу трапеций; по правилу Симпсона 1/3; по правилу Симпсона 3/4 и по правилу Веддла. Для сравни­ тельной оценки указанных способов численного интегрирования необхо­ димо получить дискретные передаточные функции интеграторов и постро­ ить их частотные характеристики.

Интегрирование по правилу прямоугольников

Непрерывная подынтегральная функция, заданная своими значениями в дискретные моменты времени, может быть заменена ступенчатой функ­ цией, интеграл от которой, вычисляется как сумма площадей прямоуголь­ ников (рис. П. 1). Пусть XJC- значение x(t) при t = ATQ; К = 0; 1; 2... и ук-\ -

площадь, ограниченная кривой в интервале t = 0 (К - 1)7Q- Тогда пло-

щадь, ограниченная кривой х(t) в интервале f = 0 ... КТ0, приближенно оп­ ределяется как сумма ук_х и площади прямоугольника, равной XK TQ, т.е.

Зависимость (1) есть уравнение интегратора, интегрирующего по пра­ вилу прямоугольников. Перепишем данное уравнение в ином виде, полагая

t = KTQ:

У*{*) = Ук> У *(*-То) = Ук-\,х (t) = xK, / ( 0 = / (^ - 7 ’о) + 7'о**(0- (2)

Найдем z-преобразование уравнения (2):

y(z) = r(z)z“ 1+7'0X(z).

Из уравнения (2) определим передаточную функцию интегратора:

(3)

1 - Z 1

Для получения частотных характеристик интегратора перейдем в об­ ласть оператора Лапласа

D { p ) ------ ^ РТ0 (4 )

1 -е

Заменивр нау© получим:

Приведем выражение (5) к виду, более удобному для построения ам­ плитудной и фазовой частотных характеристик интегратора, для чего ум-

УсоТр

2

Частотные характеристики дискретного интегратора представлены на рис. П.2. Здесь же для сравнения представлены частотные характеристики идеального интегратора Лр(о>), сро(о).

Из сравнения частотных характеристик дискретного и идеального ин­

Заменив p наj со и проделав те же операции, что и в предыдущем слуЛДУо

чае (умножить числитель и знаменатель на 2уе 2 ), получим

Выражения для частотных характеристик дискретного интегратора запишутся в виде

А2((й) = Ц-а%п— ; 2 ©о

ф2(© ) = - | .

На рис. П.4 представлены частотные характеристики дискретного и идеального интеграторов. Из их сравнения видно, что фазовые характери­ стики интегратора, интегрирующего по правилу трапеций, и идеального совпадают. Амплитудные характеристики близки в диапазоне частот

Далее приведем без вывода дискретные передаточные функции инте­ граторов, интегрирующих по правилам Симпсона 1/3, Симпсона 3/4, Веддла [2]:

Следует отметить, что в связи со сложностью реализации данные спо­ собы численного интегрирования не находят применения в системах ста­ билизации ракет.

2.4.Особенности стабилизации углового движения жесткого летательного аппарата с бортовой цифровой

2.5.Анализ точности дискретного канала рысканья

3.4.Основные характеристики вычислительного устройства

5.5.Определение дискретной передаточной функции системы угловой стабилизации упругого летательного аппарата, псевдочастота (фиктивная частота) упругих

5.7.Вывод зависимостей для выбора частоты квантования, исходя из стабилизации упругих колебаний корпуса

5.8.Методика выбора частоты квантования при стабилизации нескольких тонов упругих колебаний

5.9.Анализ динамики дискретной системы угловой стаби­ лизации, выбор передаточной функции дискретного корректирующего устройства, исходя из стабилизации углового движения жесткого летательного аппарата и

6.1.Уравнения движения летательного аппарата при учете

8.2.Учет влияния квантования по уровню в преобразо­

8.3.Учет влияния квантования по уровню в преобразо­ вателе код-аналог (при малом числе разрядов

ЖАНЖЕРОВ Ефим Григорьевич

СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ЛЕТАТЕЛЬНЫМИ АППАРАТАМ И И ИХ СИЛОВЫМИ УСТАНОВКАМ И

Учебное пособие

Лит. редактор Н.Г. Важенина Техн. редактор и корректор Г.Я. Шилоносова

Лицензия ЛР № 020370

Подписано в печать 2.05.05. Формат 60x90/16. Набор компьютерный. Уел. печ. л. 7,75.

Уч.-изд. л. 6,8. Тираж 150. Заказ № 82-806/2005.

Редакционно-издательский отдел Пермского государственного технического университета

Адрес: 614600. Пермь, Комсомольский пр., 29а Отпечатано в Отделе электронных издательских систем ОЦНИТ

Пермского государственного технического университета Адрес: 614600, Пермь, Комсомольский пр., 29а, к. 113 тел. (3422) 198-033