- •Теоретические сведения
- •Решение типовых задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 2. Определение частотных характеристик динамической системы
- •Теоретические сведения
- •Решение типовых задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Решение типовых задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Теоретические сведения
- •Решение типовых задач
- •Решение типовых задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Теоретические сведения
- •Решение типовых задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Определить y(t), если у(0) = 0; у{0) = 0.
- •ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 7. Фазовый портрет (фазовые траектории) динамической системы
- •Теоретические сведения
- •Решение типовых задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Решение типовых задач
- •Задачи для самостоятельного решения
Подставим (1.17) в (1.11). Получим
ф(А)4*+ ф(Л)4 = а.
Так какср(А) = 0, то
(1.18)
Если к - двукратный корень уравнения (1.5), т.е. ф(&) = ф(£) = 0, то
решение уравнения надо искать в виде
yB(t) = A1t2e*' |
|
(1.19) |
|
Если |
|
|
|
КО + ру(0 + Чу{О = Оcos It, |
(1.20) |
||
то yB(t) ищется в виде |
|
|
|
yB(i) = Al cos It + В]sin It. |
(1.21) |
||
Чтобы определить АХ,ВХ надо подставить (1.21) в (1.20), |
привести |
||
подобные члены и найти А1, Вх. |
|
|
|
Решение типовых задач |
|
||
Задача 1.1. Поведение динамической системы описывается |
|||
уравнением |
|
|
|
Я 0 - 5 Я 0 + 6у(0 = 4е4/; у(0) = 0; Я 0) = 0 |
(1.22) |
||
или |
|
|
|
y(t)-ay(t) + by(t) = ceh, |
|
||
где с = 4; к = 4; а = - 5; Ь= 6. ОпределитьЯ0* |
|
||
Для (1.22) запишем характеристическое уравнение |
|
||
|
г2 - 5 г + 6 = 0. |
|
|
г\,г~ |
5 ± V25 - 24 |
5±1 |
|
2 |
2 ’ |
|
|
г, =2; г2 =3.
В рассматриваемом случае
ф(£) = к2 + ak + b, y,(t) = Clela, С , = - £ - Ф(*)
или
С, = ---------------- |
= 2. |
'1 6 -5 -4 + 6
Определим собственное движение. Имеем
ус(0 = Л1е', +Л2е*
или
Ус(0 = М г‘ + Аг<?'
Определим y(f). Получим
y(t) = yc(t)+ y.(0
или
y (j) = Л]£2/ + |
Л 2е3/ + 2 е4' |
(1.23) |
|||
Из (1.23) имеем |
|
|
|
|
|
у(0) = 0 |
= |
+ А2+ 2; |
1 |
(1.24) |
|
у(0) = 0 |
= 2А} + ЗЛ2+ |
8.J |
|||
|
|||||
Используя правило Крамера, получим
1 |
1 |
- 2 |
д = |
3 |
= 1; Д ,= |
2 |
- 8 |
1
3
II |ч> |
* |
)> II |
|
i |
1 |
- 2 |
2 |
8 |
|
А, = Д - = 2; Аг = -^- = -4. |
(1.25) |
|
|
1 А |
2 А |
|
Соотношение (1.23) |
с учетом (1.25) примет вид |
|
|
|
у(0 = 2е2,- 4 б 3,+ 2е+4'. |
|
|
Задача 1.2. Поведение динамической системы описывается |
|||
уравнением |
|
|
|
Я 0 - 5 |
Я 0 + 6у(0 = 4е2'; у(0) = у(0) = 0. |
(1.26) |
|
Определить y(t).
В рассматриваемом случае г, = 2; г2 = 3; к = 2. Следовательно
Л (0 = С ^ '
или
У.(‘) = с у |
(1.27) |
У'(1) = С1(е2' +2te2'У, |
(1.28) |
|
y.(f) = Cl(2eu +2е2' + 4te2'). |
(1.29) |
|
Подставим (1.27)—(1.29) в (1.26). Получим |
|
|
С, (4 + 4/ - 5 -10/ + 60 = 4, |
|
|
откуда |
|
|
с, = -4 . |
= |
|
Определим собственное движение. Имеем |
|
|
yc(t) = Axev |
|
|
Определим y(t). Получим |
|
|
Я 0 = ус( 0 + л ( 0 |
|
|
или |
|
|
Я 0 = Ate2' +А2е>1-4te2' |
(1.30) |
|
Из (1.30) имеем |
|
|
Я 0 = 2Ахе2' + 3Агем - 4е2' - 8te2' |
(1.31) |
|
Из (1.30), (1.31) получим |
|
|
Я 0) = о = а1+ а2, |
(1.32) |
|
у(0) = 0 = 2А1+ЗА2-4 . |
(1.33) |
|
Из (1.32) имеем |
|
|
А| = ~Аг. |
(1.34) |
|
Подставим (1.34) в (1.33). Получим |
|
|
Аг= 4. |
(1.35) |
|
Тогда |
|
|
А ,= -4. |
(1.36) |
|
Соотношение (1.30) с учетом (1.35), (1.36) примет вид |
|
|
y(t) = -4e21 +4е3' -4te2' |
(1.37) |
|
Таким образом, поведение динамической системы описывается соот ношением (1.37).
Задача 1.3. Поведение динамической системы описывается
уравнением |
|
ЗКО” 5у(/) + 6у(/) = 4sin 2t\ у(0) = у(0) = 0. |
(1.38) |
Решение. Характеристическое уравнение имеет вид |
|
|
||||||
|
|
г2+5г + 6 = 0. |
|
|
|
|
||
Имеем /*j = 2; |
г2 = 3. Запишем собственное движение системы: |
|
||||||
|
|
yc(t) = C]e2,+C2e31 |
|
|
|
(1.39) |
||
Вьшужденное движение системы ищем в виде |
|
|
|
|||||
|
ув (!) = A, cos 21+ В, sin 21. |
|
|
(1.40) |
||||
Определим А, и В,. Из (1.40) имеем |
|
|
|
|
|
|||
|
ya(t) = -2 A, sin 21+ 2В, cos 2?; |
|
|
(1.41) |
||||
|
yt(t) = -4Л, cos21 - 4 В, sin 2t. |
|
|
(1.42) |
||||
Подставим (1.40)—(1.42) в (1.38). Получим |
|
|
|
|
||||
-4Al cos2t-4Bt sin 2^+ 1(Ц sin 2^ -10^ cos2/ + |
|
|||||||
|
+ 6Д cos2t + 6Bt sin 2t = 4sin 2t |
|
|
|
||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
(2 4 |
-102?,) cos 2 /+ (104 + 22?,) sin 2/ = 4 sin 2t. |
(1.43) |
||||||
Из (1.43) имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2Д -105, =0;1 |
|
|
|
|
||
|
|
104+2Я, =4.J |
|
|
|
|
||
Используя правило Крамера, получим |
|
|
|
|
||||
2 |
-10 |
0 |
-10 |
|
2 |
0 |
|
|
Д = |
= 104; Д, = |
|
= 40; Д, = |
10 |
= 8. |
|
||
10 |
2 |
4 |
|
2 |
|
4 |
|
|
|
= AL = _40__J_. ^ |
А2 |
8 |
1 |
|
|
||
|
Д |
104 13 >"1 |
Д |
104 |
13 |
|
|
|
Таким образом, >’„(() определяется соотношением |
|
|
|
|||||
|
|
5 |
„ |
1 . . |
|
|
|
|
|
у, (/) = — cos |
2t |
+ — sin |
2t. |
|
|
|
|
Определим y(t) |
’ |
13 |
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(t) = yc(t) + y,(t) |
|
|
|
|
||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(t) = C.e2' + C,e3' + — cos 2t + — sin 2t. |
|
(1.44) |
|||||
|
1 |
2 |
13 |
13 |
|
|
|
|