Оптимальное проектирование конструкций

Решая сформулированную ранее задачу с дополнительным условием, получим точку с координатами (0; 4,2). Таким образом, получим реше-

В заключение отметим, что если мы заранее отдаем предпочтение какому-либо критерию, то это можно учесть путем введения дополнительных коэффициентов в уравнения (6.1):

Определим, например, чему равен коэффициент k2 для совпадения решений по методу идеальной точки и уже неравных отклонений. Для этого соотношение (6.5) преобразуем к виду

(3 +14k2 )x1 + (6 +14k2 )x2 = 84 .

Подставляя полученные по методу идеальной точки значения х1 = 1 и х2 = 5, найдем k2:

k2 = 51 = 0,607, 84

т.е. в методе идеальной точки для данной задачи второй критерий играет меньшую роль, чем первый. В случаях, когда все частные критерии еще до решения можно расставить по степени важности, рекомендуется использовать для получения результата метод последовательных уступок.

161

6.3.3. Метод последовательных уступок

Метод последовательных уступок (метод гибкого приоритета) позволяет свести решение многокритериальной задачи к решению последовательности однокритериальных задач.

Предположим, что все критерии максимизируются. Тогда алгоритм метода последовательных уступок можно представить в виде такой последовательности действий:

1)расположить критерии по их значимости (наиболее важный считается первым);

2)решить однокритериальную задачу с первым критерием, т.е. най-

ти f1max;

3) сделать уступку по первому критерию, иными словами, умень-

шить величину f1max до значения f1 = f1max – δ 1, где δ 1 > 0 – величина допустимого отклонения по первому критерию;

Процесс решения задачи закончится, когда решение будет получено по всем критериям. При этом получаем экстремальное значение наименее важного критерия при условии гарантированных значений предшествующих критериев. Полученное на последнем этапе решение считается оптимальным.

З а м е ч а н и е : если какой-либо из критериев fi исследуется на минимум, то ограничение имеет вид f1 = fi min + δ i , δ i > 0.

Пример 6.3. Предприятие изготавливает два вида продукции А и В, располагая при этом производственными мощностями четырех видов в следующем количестве: первого вида – не менее 12, а остальных – не более 10, 6, 7. Нормы затрат мощностей каждого вида на одну единицу продукции А составляют 3; 1; 1; 0, а на единицу продукции В – 4; 1; 0; 1. Прибыль от единицы сбыта продукции А равна 3 у.е., а продукции В – 5 у.е. Чистый доход от производства продукции А равен 3 у.е., а продукции В – 1 у.е. Затраты на производство продукции А составляют 2 у.е., а продукции В –

1 у.е.

Найти решение задачи, считая наиболее предпочтительным критерием прибыль. При этом возможно отклонение этого критерии от максимального значения на 20 %. Следующим по степени значимости критерием является чистый доход с отклонением от максимального на 40 %. Менее значимым принят критерий затрат.

162

Р е ш е н и е . Пусть х1 – количество продукции А, а х2 – продукции В. Производство продукции должно принести максимальную прибыль и максимальный доход при минимуме затрат.

Составим математическую модель задачи:

штриховой линией, область допустимых значений сузилась, максимальное

значение f2max = 22 – в точке D (6; 4).

Делаем уступку по второму критерию на 40 %, получаем δ 2 =

= 22 0,4 = 8,8. Тогда (f2max – δ 1) = 22 – 8,8 = 13,2. Дополнительное ограни-

чение составит

3x1 + x2 ≥ 13,2 .

На рисунке граничное значение этого ограничения представлено штриховой линией (большие штрихи), область допустимых значений сузи-

лась, максимальное значение f3max = 10,6 – в точке М (2,567; 5,5).

Таким образом, получили оптимальное решение трехкритериальной задачи х* = (2,567; 5,5). Соответствующие значения частных критериев составляют:

163

6.3.4. Построение ассоциированных задач

Как уже отмечалось, постановка и решение задач многокритериальной оптимизации позволяют получить важную информацию относительно свойств проектируемой конструкции и более полно изучить ее предельные свойства. Однако отыскание оптимальных решений и построение множества Парето сопряжены с проведением расширенного анализа и выполнением значительного объема вычислений. Поэтому в современных исследованиях по многокритериальной оптимизации много внимания уделяется разработке методов, основанных на введении вспомогательных ассоциированных задач со скалярными функционалами, представляющими собой некоторые «свертки» векторных функционалов. При построении такой ассоциированной задачи и формулировке скалярного функционала, называемого функцией предпочтительности или критерием качества ассоциированной задачи, обычно требуют, чтобы ее решение принадлежало множеству Парето исходной многокритериальной проблемы

Итак, если конструкция характеризуется r критериями качества Ii (u), i = 1, 2, ..., r, зависящими от переменной проектирования u U , где U – множество допустимых проектов, тогда векторным функционалом будет

I (u) = {I1(u), ... Ir (u)}.

Рассмотрим задачу

I (u) = {I1(u), ... Ir (u)} → minu U .

Обозначим через U * множество оптимальных в смысле Парето решений u* , а через P(I (u)) = P(I1(u), ... Ir (u)) – функцию предпочтительности. Ассоциированной для многокритериальной проблемы называется задача

P(I (u* )) = minu U P(I (u)).

Приведем основные способы формирования критериев качества ассоциированных задач.

• Один из самых распространенных способов построения – способ линейной свертки (определяется как сумма компонент векторного функционала)

r

P(I (u)) = ∑ Ci Ii (u)

i

с положительными весовыми коэффициентами, нормированными для определенности следующим образом:

r

0 ≤ Сi ≤ 1, ∑ Ci =1.

i

164

• Другой способ основан на введении метрики в r-мерном пространстве критериев

где р > 0 – некоторый целочисленный параметр; Ii0 – значение критерия

при решении однокритериальной задачи.

Наиболее часто в теории оптимального проектирования при построении функции предпочтительности используют метрики, соответствующие случаям р = 1, р = 2, р = ∞ :

Минимаксная формулировка: если Ii0 (u) – значение оптимизируемо-

го функционала для задач однокритериальной оптимизации, то минимаксная форма ассоциированной задачи имеет вид

min P(I (u)) = min max (Ii (u) − Ii0 ) / Ii0 , Ii0 > 0.

u U i = 1,...r

В силу безразмерности данный критерий обладает известной универсальностью и может быть использован для задач оптимального проектирования с разнотипными функционалами.

165

Список литературы

1.Арман Л.П. Приложения теории оптимального управления сис-

темами. – М.: Мир, 1977. – 142 с.

2.Аттетков А.В. Методы оптимизации: Учеб. пособие / А.В. Ат-

тетков, С.В. Галкин, В.С. Зарубин; Под ред. В.С. Зарубина. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001. – 440 с.

3.Баничук Н.В. Оптимизация форм упругих тел. – М.: Наука, 1980.

–256 с.

4.Баничук Н.В. Оптимизация элементов конструкций из компози-

ционных материалов / Н.В. Баничук, В.В. Кобелев, Р.Б. Рикардс. – М.: Ма-

шиностроение, 1988. – 224 с.

5.Баничук Н.В. Динамика конструкций, анализ и оптимизация /

Н.В. Баничук, С.Ю. Иванова, А.В. Шаранюк. – М.: Наука, 1989. – 262 с.

6.Бертсекас Д. Условная оптимизация и методы множителей Лагранжа. – М.: Радио и связь, 1987. – 400 с.

7.Методы оптимизации в инженерных задачах / А.И. Белоусов, С.В. Галкин, А.Д. Герман и др.; Под ред. С.В. Галкина. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1991. – 160 с.

8.Ванько В.И. Вариационное исчисление и оптимальное управле-

ние: Учеб. для вузов. 2-е изд. / В.И. Ванько, О.В. Ермошина, Г.Н. Кувыр-

кин; Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001. – 488 с. (сер. Математика в техническом университете; Вып. ХV).

9.Бидерман В.Л. Прикладная теория механических колебаний: Учеб. пособие для втузов. – М.: Высш. шк., 1972. – 416 с.

10.Вощинин А.П. Оптимизация в условиях неопределенности / А.П. Вощинин, Г.Р. Сотиров. Изд-во МЭИ (СССР); Техника (НРБ), 1989. –

Учеб. пособие для вузов / Под общ. ред. Н.П. Абовского. – М.: Стройиздат, 1978. – 189 с.

14.Кузнецов А.В. Руководство к решению задач по математическому программированию: Учеб. пособие / А.В. Кузнецов, Н.И. Холод, Л.С. Костевич; Под ред. А.В. Кузнецова. – Мн.: Высш. шк., 2001. – 448 с.

15.Понтрягин Л.С. Математическая теория оптимальных процессов

/Л.С. Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе. – М.: Наука, 1983. –

392 с.

166

16.Реклейтис Г. Оптимизация в технике: В 2 кн. / Г. Реклейтис,

А. Рейвиндран, К. Рэгсдел. – М.: Мир, 1986. – 349 с.

17.Рейтман М.И. Методы оптимального проектирования деформи-

руемых тел / М.И. Рейтман, Г.С. Шапиро. – М.: Наука, 1976. – 258 с.

18.Тимошенко С.П. Пластинки и оболочки / С.П. Тимошенко, С. Вой-

новский – Кригер. – М.: Физматгиз, 1963. – 635 с.

19.Троицкий В.А. Оптимизация формы упругих тел / В.А. Троицкий,

Л.В. Петухов. – М.: Наука, 1982. – 432 с.

20.Филлипов А.П. Колебания деформируемых систем. – М.: Машиностроение, 1970. – 736 с.

21.Хог Э. Анализ чувствительности при проектировании конструк-

ций / Э. Хог, К. Чой, В. Комков. – М.: Мир, 1988. – 428 с.

22.Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. –

М.: Мир, 1975. – 534 с.

23.Шикин Е.В. Математические методы и модели в управлении /

Е.В. Шикин, А.Г. Чхарташвили. – М.: Дело, 2000. – 440 с.

167