3. Даны два вектора 5 = {8; 4; 1}, 6 = {2; - 2; l}, выходящие

из одной и той же точки. Найти вектор с , выходящий из этой же точки, перпендикулярный к вектору 5 , равный ему по дли­

не, компланарный с векторами 5 и 6 , образующий с вектором

6острый угол.

4.Векторы 5, 6, с имеют равные длины и образуют по­

1. Даны радиус-векторы трех последовательных вершин па­ раллелограмма ABCD: гА = {1; 1; l}, гв = {1; 3; 5}, гс = {7; 9; 11}.

Определить радиус-вектор четвертой вершины D.

2. Вычислить длины диагоналей и площадь параллело­

дение векторов АВ и CD .

4. Вычислить, какую работу производит сила F = {3; - 2; 5}, когда ее точка приложения, двигаясь прямолинейно, перемеща­ ется из положения А (2; -3; 5) в положение В (3; -2 ; -1).

ОА, ОВ, ОС, если эти векторы направлены по биссектрисам ко­ ординатных углов и длина каждого из них равна 2.

2.Найти площадь треугольника с вершинами А (-1; 2; 3),

В(2; 1; 4), С (0; -3; 4) и длину высоты, опущенной из вершины В.

3.Даны четыре точки А (-2; 3; -4), В (3; 2; 5), С (1; -1 ; 2),

чала в конец вектора S = {2; - 5: - 7}.

5. Найти единичный вектор того же направления, что и вектор a - i + 2j + 2к

1.Построить пирамиду с вершинами О (0; 0; 0), А (5; 2; 0),

В(2; 5; 0), С (1; 2; 4) и вычислить ее объем, площадь грани АВС и высоту пирамиды, опущенную на эту грань.

2. Даны векторы а = {2; 2; l} и В = {6; 3; 2}. Найти пр56 и

п р ^ а . Найти площадь параллелограмма, построенного на этих

векторах.

3. АВ = а +26, ВС = -45 - В, CD = -55 - 3В Доказать,

что ABCD - трапеция.

4.Вычислить площадь треугольника с вершинами А (2; 2; 2),

В(4; 0; 3), С (0; 1; 0) и длину высоты, опущенной из вершины С.

5.Точка А (2; 3; 4) твердого тела закреплена. В точке его

В(0; 3; 4) приложена сила F = {0; 5; 1}. Найти момент силы от­ носительно точки А.

Вариант 21

1. На материальную точку действуют силы / | = 2/ - j - к ,

/ 2 = - / + 2j + 2 к , / 3 = / + j - 2к Найти работу равнодейст­

вующей этих сил R при перемещении точки из положения

А(2; -1; 0) в положение В (4; 1; -1).

2.Точка О является центром тяжести треугольника АВС.

Доказать: ОА + ОВ + ОС - б .

3. Доказать, что точки А (5; 7; -2), В (3; 1; -1), С (9; 4; -4), D (1; 5; 0) лежат в одной плоскости. Найти проекцию вектора

АВ на направление вектора CD.

4. Найти площадь треугольника АВС, если известны про­ екции его сторон С4 = {X],у ,,г,} и СВ = {х2,У2 ,гг). Найти угол

между векторами СА и СВ.

5. При каком значении т векторы a - mi + j и

В = 3/ - Зу + 4ifc перпендикулярны?

3.Даны вершины треугольника А (1; -1; 2), В (5; -6; 2),

С(1; 3; -1). Вычислить длину его высоты, опущенной из верши­ ны В на сторону АС.

4.Вычислить объем треугольной пирамиды с вершинами

А(0; О,- 1), В (2; 3; 5), С (6; 2; 3), D (3; 7; 2) и угол между векто­

Л (1; 1; 1), .В (2; 3; 4), С (4; 3; 2) и длину высоты, опущенной из вершины А.

3. Даны три точки: А (1; 1; 1), В (2; 2; 1), С (2; 1; 2). Найти угол ф = Z ВАС

4. Дан треугольник АВС. На стороне ВС расположена точка

М так, что ВМ - X МС Найти A M , если АВ = В, АС = с

5. Даны точки А (1; 1; 1), В (4; 5; -3). Найти проекции век­

тора АВ на ось и, составляющую с координатными осями рав­ ные острые углы.

1.Даны точки Л (2; -1; 2), В (1; 2; -1), С (3; 2; 1). Найти ко­ ординаты векторного произведения [ в с - 2 Са \*СВ .

2.Могут ли отличные от нуля числа х1,х2,х3,уиу2,уг, zl,z2,zi удовлетворять уравнениям:

3. Дан треугольник АВС: А (2; -1; 3), В (1; 4; 2), С (3; 1; -1). Найти его площадь, длину сторон, длину высоты, опущенной из вершины С.

4. На плоскости дан треугольник с вершинами О (0; 0), А (2а; 0), В (а; -а). Найти угол, образованный стороной ОВ с ме­ дианой ОМ этого треугольника.

5. Радиусами-векторами вершин треугольника АВС явля­

С (4; 5; -2), D (1; -1; 6). Найти площадь грани BCD, проекцию вектора AD на вектор АВ , угол между ребрами CD и AD, объ­ ем пирамиды.