Численный расчет стержневых систем

Силы, действующие в концевых сечениях элементов, найдем по формуле P = kv:

Рис. 4.4

Так как внеузловая нагрузка отсутствует, то в пределах каждого участка перерезывающие силы Q постоянны, а изгибающие моменты М изменяются по линейному закону. Эпюры Q и M представлены на рис. 4.4.

61

4.3. Расчет плоской рамы

Рассмотрим плоскую раму (рис. 4.5, а). Горизонтальный стержень нагружен равномерной нагрузкой q, а в середине вертикального действует сосредоточенная сила ql. Оба стержня имеют одина-

ковые площадь F и момент инерции J поперечного сечения относительно оси, перпендикулярной плоскости рамы. Схема нумерации и положительные направления узловых сил и перемещений показаны на рис. 4.5, б.

а б

Рис. 4.5

До сих пор при построении матрицы жесткости рамы учитывались осевые деформации стержней. Однако, как известно, влиянием осевых деформаций на перемещения в рамах можно пренебречь, если размеры поперечных сечений стержней достаточно малы по сравнению с их длинами. Полагая удлинения стержней равными нулю, можно упростить расчет, так как это позволяет снизить число неизвестных.

В самом деле, если считать стержни нерастяжимыми, то горизонтальное перемещение узла 2 следует приравнять к горизонтальному перемещению узла 3, а вертикальное – к вертикальному перемещению узла 1.

62

Так как узлы 1 и 3 неподвижны, то это равносильно требованию равенства нулю также и линейных перемещений узла 2. Таким образом, при использовании указанного упрощения неизвестным остается единственное перемещение v6 – угол поворота узла 2.

Следовательно, матрица неизвестных перемещений состоит из одного элемента: vα =[v6 ].

Поскольку внешний сосредоточенный момент в узле 2 отсутствует, то Pα =[P6 ] =[0] и равенство kααvα = Pα − P0α принимает вид

k66v6 = −P06.

Вычислим далее матрицы жесткости элементов 1 и 2 в местных

Матрицы P0 содержат уравновешивающие внеузловую нагрузку силы в направлении перемещений v: P0 ={P0a P0b}.

Подматрица P0a включает в себя силы, действующие вдоль

оси стержня. Так как внеузловые нагрузки вдоль осей x отсутствуют, то эти подматрицы для обоих стержней будут нулевыми.

Подматрицы P0b для рассматриваемых нагрузок определяются выражениями (2.4) и (2.5), где, учитывая направление нагрузок, следует сменить знаки на обратные и положить S = ql. В итоге имеем:

63

здесь γ = Fl2 / J.

Наконец, согласно (2.3) находим:

v6 = ql3 / (192EJ ).

Находим матрицы перемещений элементов 1 и 2:

– в общей системе координат:

v(a2) = λ(a2)v(2) ={00}; v(b2) = λ(b2)v(2) ={ql3 / (192EJ ) 000}.

Узловые силы в местных координатах могут быть найдены по формуле (2.1), из которой следуют соотношения

Напомним, что расположение элементов в матрицах Pb определяется соотношением Pb ={Pi y Mi z Pj y M j z }.

Далее вычисляем распределение изгибающих моментов и перерезывающих сил по длине каждого стержня и строим соответствующие эпюры (рис. 4.6).

(1) (2)

Матрицы Pa и Pa оказались нулевыми, т.е. в полученном

решении осевые силы в стержнях равны нулю вследствие принятого нами предположения о равенстве нулю вертикального и горизонтального смещений узла 2. Такое предположение равносильно наложению связей на узел 2 (рис. 4.7, а). Реакции наложенных опорных связей P4 и P5 (рис. 4.7, б) разгружают стержни, обеспечивая

равенство нулю их осевой деформации. Эти реакции можно найти из условий равновесия узла 2 (рис. 4.7, в):

66

P4 = P2(x2) − P2(1y) = 0 − 9645 ql = −0, 469ql;

P5 =P2(1x) + P2(y2) = 0 + 9651 ql = 0,531ql.

Рис. 4.6

Рис. 4.7

Поскольку в действительности силы P4 и P5 отсутствуют,

в узле 2 следует приложить равные им и противоположно направленные силы, которые вызовут появление осевых сил в стержнях рамы. Горизонтальная сила будет равна 0,469ql и вызовет сжатие

стержня 2, вертикальная сила составит 0,531ql и вызовет сжатие стержня 1.

67

Данные примеры рассмотрены с иллюстративной целью. Преимущества матричного метода перемещений выявляются при расчете сложных многократно статистически неопределимых систем. Эти преимущества обусловлены однообразием вычислений, которые могут быть эффективно выполнены с помощью вычислительной техники.

68

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы: пер.

сангл. – М.: Мир, 1984. – 428 с.

2.Зенкевич О., Чанг И. Метод конечных элементов в теории сооружений и механике сплошных сред: пер. с англ. – М.: Недра, 1974. – 295 с.

3.Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике: пер.

сангл. – М.: Мир, 1975. – 541 с.

4.Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксима-

ция: пер. с англ. – М.: Мир, 1986. – 318 с.

5.Образцов И.Ф., Савельев Л.М., Хазанов Х.С. Метод конечных элементов в задачах строительной механики летательных аппаратов: учеб. пособие. – М.: Высшая школа, 1985. – 392 с.

6.Писаренко Г.С. Сопротивление материалов. – Киев: Выща школа, 1986. – 775 c.

7.Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. – М.: Наука, 1986. – 612 с.

8.Дарков А.В., Шапошников Н.Н. Строительная механика. – М.: Высшая школа, 1989. – 607 с.

9.Мячников В.И. Расчет машиностроительных конструкций методом конечных элементов. – М.: Машиностроение, 1989. – 520 с.

69

Учебное издание

СУХОДОЕВА Алла Алексеевна

ЧИСЛЕННЫЙ РАСЧЕТ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ

Учебное пособие

Редактор и корректор Е.В. Копытина

Подписано в печать 23.08.13. Формат 60×90/16. Усл. печ. л. 4,5. Тираж 100 экз. Заказ № 179/2013.

Издательство Пермского национального исследовательского

политехнического университета.

Адрес: 614990, г. Пермь, Комсомольский пр., 29, к. 113.

Тел. (342) 219-80-33.

70