Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Владимирский государственный университет им. Столетовых

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

202910

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

780.79 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

			2				3		3				2				3	3					2				2
															[4			1		]								.
				[(1 3)2				(1 0)2 ]									2		2					[8 1] 4
				[(1 3)2				(1 0)2 ]									2		2					[8 1] 4
		3										3						3									3
Пример. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением
вокруг оси абсцисс кривой y										x3	на отрезке [1,2].
вокруг оси абсцисс кривой y											на отрезке [1,2].
									3
																								x3
Найдем производную данной функции y (																									) x2 . Тогда
Найдем производную данной функции y (																								3	) x2 . Тогда
2	x3							2									2												2		3
																															3

S 2		1 x4 dx							1 x4 dx4									1 x4 d (1 x4 )												(1	x4 )2 \|12
S 2	3	1 x4 dx				6			1 x4 dx4							6		1 x4 d (1 x4 )									6		3	(1	x4 )2 \|12
1	3					6		1								6	1										6		3
		3										3						3
		(1 x4 )				\|12			[(1 24 )					(1 14 )								]		(17			2
		(1 x4 )			2	\|12			[(1 24 )			2		(1 14 )							2	]		(17		17	2			2) .
		9							9															9

Пример. Определить объем тела, полученного путем вращения вокруг оси абсцисс кривой y=cosx на отрезке [0, 2 ] .


2	2	1 cos 2x				sin 2x	) \|0		2
V cos2	xdx		dx		( x			2	.
V cos2	xdx	2	dx	2	( x	2		2	.
0	0	2		2		2			4

Упражнения

1. Найти интегралы методом непосредственного интегрирования:

	64						2				2											2	)dx
1.1.	5		xdx			1.5.		(			2				3			x				2
											2
											2
	1						1					x								3		x2

			dx					3							dx
	4		dx			1.6.									dx
1.2.
													1		x	2
		cos		2	x											2
							1
										3
	6									3
	6
	2			2ex 3x3 )dx			2		(2x 1)								2
1.3.	(4x					1.7.			(2x 1)										dx
1.3.	(4x					1.7.								x2					dx
	1						1							x2
							e		6x					2	2 8x					3
	2			3cos x)dx		1.8.															dx
1.4.		(2x
1.4.		(2x													x
	0						1								x
	0

2. Найти интегралы методом подведение функции под знак дифференциала:

2.1.	x3		x4 1dx	2.4.		xdx
	1				1
	0				0 1 x4
	2				1
2.2.	(3x2		1)( x3 x)2 dx	2.5.	ee2 x 2 x dx
	1				0
	1	xdx			3	e2 x dx
2.3.	0			2.6.	2
		1 x2
		1 x2				3 2e2 x

3. Найти интегралы методом замены переменной:

	3					2
3.1.			9 3xdx		3.4.	x2 (x3						1)4 dx
	0					1
3.2.	2		dx			2
3.2.					3.5.		cos		2		x sin xdx
	1 5x 3								2


								2
	2	e	2 x				2 cos x
3.3.	1			dx	3.6.							dx
3.3.		x2		dx	3.6.			sin 3		x		dx
		x2					4	sin 3		x
							4

4. Найти интегралы методом интегрирования по частям:

	1				2
4.1.	arccos xdx			4.3.	x2 cos xdx
	0				0
	2			4.4.	e	ln x		dx
4.2.	e	x	cos xdx	4.4.				dx
		x			1	x	2
							2
	0
	0

5.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

5.1y = -x+2 и y = x2

5.2y = x2 и y = 2x2-3x+2

6.Найти длину дуги кривой y ln sin x от x=π/3 до x=π/2.

7.Вычислить площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси

абсцисс кривой y sin 2x на отрезке [0, 2 ] .

8. Определить объем тела, полученного путем вращения вокруг оси абсцисс кривой

8.1.y xex2 на отрезке [0,1].

8.2.y xe2 x на отрезке [0,1].

9. Найти объем тела, заключенного между поверхностями, образованными при вращении линий графиков функций y=x и y x вокруг оси абсцисс.

6. Дифференциальные уравнения

			x2
Пример. Получить общее решение уравнения	y	3 y .

Представим производную в виде отношения соответствующих диф-

ференциалов и подставим в данное уравнение:

dy 3 x2 . dx y

Затем умножим обе части уравнения на ydx. В результате приходим к диф-

ференциальному уравнению с разделенными переменными ydy = 3x2dx.

Интегрируя обе части этого уравнения, получим

ydy 3x2dx , или	y2	x3 C .
	2

Полученное соотношение представляет собой общее решение исходного дифференциального уравнения в неявном виде. Выразив из него y, получим общее решение в явном виде:

y 2x3 C .

Пример. Проинтегрировать уравнение x(y2-4)dx+ydy=0.

Перенесем x(y2-4)dx в правую часть уравнения и разделим обе его ча-

сти на (y2-4) 0:

ydy xdx. y2 4

Проинтегрировав обе части полученного уравнения, находим ln|y2-4| = - x2 + ln|C|.

В последнем соотношении произвольная постоянная интегрирования была записана в виде натурального логарифма от модуля некоторой постоянной

С. Такой прием целесообразно использовать для упрощения записи реше-

ния тогда, когда при интегрировании дифференциального уравнения в окончательном выражении появляются логарифмы. Для упрощения полу-

ченного выражения воспользуемся логарифмическим тождеством, согласно которому

A=lneA

при любом действительном А. Полагая A=-x2, получим

x2 ln e x2 и

ln | y2 4 | ln e x2 ln | C | ln | Ce x2 |.

Потенцируя, получим общее решение дифференциального уравнения в виде y2-4= Ce x2 .

Пусть теперь y2-4=0, т.е. y= 2. Непосредственной подстановкой не-

трудно проверить, что y= 2 – решение исходного уравнения. Но оно не бу-

дет особым решением, поскольку его можно получить из общего решения при С=0.

Пример. Найти частное решение уравнения (1+x2)dy+ydx=0 при начальном условии y(1)=1.

Перенесем ydx в правую часть и разделим обе части полученного уравнения на (1+x2)dx. В результате получим уравнение к вида

dy	dx
		.
y	1 x2

Интегрируя его, получим общее решение

dy	dx	, или ln\|y\|=-arctgx+C.

y	1 x2

Используя начальное условие, найдем произвольную постоянную С. Для этого подставим x=1 и y=1 в выражение для общего решения. В результате получим

ln1=-arctg1+C, или C= arctg1= /4.

Подставим найденное значение постоянной С в общее решение lny=-arctgx+ /4 или lny=lne-arctgx+ /4.

Потенцируя, получаем искомое частное решение в явном виде

y=e /4-arctgx.

Пример. Найти общее решение уравнения

(x2+2xy)dx+xydy=0.

В рассматриваемом случае P(x,y)=x2+2xy, Q(x,y)=xy. Обе функции яв-

ляются однородными второй степени. Введем подстановку y=tx, тогда dy=xdt+tdx. Подставим выражения для y и dy в исходное уравнение

(x2+2x2t)dx+tx2(xdt+tdx)=0, или (x2+2x2t+t2x2)dx+tx3dt=0.

Перенося (x2+2x2t+t2x2)dx в правую часть и разделяя переменные, получим

tdt

0 , и

tdt

C .

(t 1)2

Вычислим отдельно второй интеграл:

tdt

t 1 1dt

(t 1)dt

ln | t 1|

(t 1)2

t 1

(t 1)2

t 1

Следовательно, решение имеет следующий вид:

ln | x | ln | t 1 |

C .

t 1

Возвратимся к старой неизвестной функции y, подставляя в полученное уравнение t=y/x

ln \| x \| ln \|	y	1\|			1	C .
	x			y	1

				x
и, окончательно,
ln \| x y \|			x		C .

			x y

				2 y

	Пример. Проинтегрировать уравнение y			x x .

Воспользуемся методом Бернулли, для чего подставим y=uv в исход-

ное уравнение

		2			2
	x uv x , или			x v] vu		x
u v uv			u[v

Функцию v найдем из условия v 2x v 0 . Последнее уравнение реша-

ется методом разделения переменных. Перенося 2x v в правую часть и учи-

тывая, что v dvdx , получаем

v ;

;

; ln|v|=2ln|x|+ln|C|; ln|v|=ln|Сx2| и v = Cx2.

Для удобства вычислений выберем решение, соответствующее С=1: v = x2.

Подставим полученное выражения для функции v в уравнение vu x для

определения функции u:				x2u x .		Последнее уравнение решается методом
разделения переменных
x2	du	x	;	du	dx	; du	dx	; u = ln\|x\|+C.
					x		x
	dx

Подставив выражения для u и v в y=uv, получим искомое общее решение y = x2(ln|x|+C).

Пример. Решить дифференциальное уравнение y'' = 20x3.

Для повышения наглядности решения введем вспомогательную функ-

цию v(x)=y'. Тогда v'(x)=y'' и исходное уравнение принимает следующий вид:

v' = 20x3.

Это уравнение является уравнением первого порядка с разделяющи-

мися переменными. Решая его способом, описанным в п. 9.2, получим

dv	20x3 ;	dv 20x3dx	и v 5x4 C .

dx			1

Подставим в последнее выражение y' вместо v

y 5x4 C1 .

Это уравнение тоже представляет собой уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Решая его, получим:

dy	5x4 C	;	dy (5x4 C )dx и	y x5 C x C .
	5x4 C	;	dy (5x4 C )dx и	y x5 C x C .
dx	1		1	1	2
dx

Найденная функция является общим решением исходного дифферен-

циального уравнения.

Пример. Решить дифференциальное уравнение y 2 y 3y 0 .

Составим соответствующее характеристическое уравнение

k 2 2k 3 0 .

Его дискриминант положителен D 22 4 3 16 0 , следовательно,

характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня

k p				2
			D	2		16	, k =-1 и k =3.
			D				, k =-1 и k =3.
1,2	2				2	1		2
	2				2
Общее решение рассматриваемого уравнения имеет вид
		y C e x C e3x .
		1				2
Пример. Решить дифференциальное уравнение								y 8 y 16 y 0 .

Составим соответствующее характеристическое уравнение

k 2 8k 16 0 .

Его дискриминант равен нулю D 82 4 16 0 . Таким образом, урав-

нение имеет два равных действительных корня k1,2 2p 4 .

Общее решение уравнения в этом случае имеет вид

y (C1 C2 x)e 4 x .

Пример. Решить дифференциальное уравнение y 4 y 13y 0 .

Выпишем соответствующее характеристическое уравнение

				k 2 4k 13 0 .
Дискриминант			полученного			уравнения		отрицателен
D 42 4 13 36 0 .		Поэтому			корни	характеристического		уравнения
комплексные сопряженные
k p				4 6i
			D	4 6i	2 3i	, k =2+3i и k =2-3i.
			D		2 3i	, k =2+3i и k =2-3i.
1,2	2	2				1	2
	2	2
и общее решение уравнения записывается в виде
	y (C cos(3x) C sin( 3x))e2 x .
		1			2

Упражнения

1. Решить дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющими-

ся переменными:

1.1.	y	x2		1.4.	(x2 1)dy ( y 5)dx 0
1.1.	y	y3		1.4.	(x2 1)dy ( y 5)dx 0
		y3
	xy e y
1.2.	xy e y			1.5.	x 1 y2 dx y 1 x2 dy 0
	y	1	y3 cos x		y ln 3 y y		0
1.3.		1		1.6.		x 1
1.3.		4		1.6.		x 1
		4

2. Решить однородные дифференциальные уравнения первого порядка:

2.1.	xy y2 (2x2 xy) y		xy y xe	y
		2.4.		x
2.2.	x2 y xy 5y2 0		xy y xe	y
		2.5.		x

2.3. xyy y2 2x2	2.6.	dy	y2	x2
		dx	2xy

3. Решить линейные дифференциальные уравнения первого порядка:

3.1.	y	y	x2 y4	3.3.	y 2xy xe x2
		x

3.2.	xy y x2 cos x			3.4.	y cos x y 1 sin x

4. Решить простейшие дифференциальные уравнения второго порядка:

4.1.	y 4				4.3.	y 3e2 x
4.2.	y	2		0	4.4.	y 2sin x cos2 x sin 3 x

			x

5. Решить линейные однородные дифференциальные уравнения второго по-

рядка с постоянными коэффициентами:

5.1.	y y 2 y 0	5.3.	y 5y 6 y 0
5.2.	y 4 y 4 y 0	5.4.	y 25y 0

6. Решить дифференциальные уравнения и найти их частные решения, удо-

влетворяющие заданным начальным условиям:

6.1.	y sin x 0 ;			y( ) 2
				3
6.2.	y	ln y ; y(2)=1
6.2.	y	ln y ; y(2)=1
	y
6.3.	yy		e y 0 ;	y(1)=0
	yy
	x
	x

6.4.xy 5x y ; y(1)=1

6.5.y xe x ; y(0)=1, y'(0)=0

6.6.	y 3y 2 y 0 ;	y(0)=7, y'(0)=11
			) 0
6.7.	y 2 y 10 y 0 ;	y(	) 0	,	y (	) e 6
			6			6

7. Числовые и функциональные ряды

Пример. Исследовать на сходимость ряд .

n 1 n

Воспользуемся критерием Коши. Выберем p=n. Тогда, поскольку сумма

состоит из n слагаемых, а наименьшее из них равно 21n ,

n p 1

k n 1 k

k n 1 k 2n

Таким образом, для

не существует такого номера N, что при n N для

n p

любого натурального p выполняется неравенство

. Следова-

k n 1 k

тельно, рассматриваемый ряд расходится.

4n 3

Пример. Исследовать на сходимость ряд

2n 1

n 1

4n 3

Вычислим предел общего члена: lim

lim

2 . Так как предел

2n 1

общего члена не равен нулю, то рассматриваемый ряд является расходя-

щимся.

Пример. Исследовать сходимость ряда

(с помощью пер-

n 1

вого признака сравнения).

Каждый

член

данного ряда меньше соответствующего член ряда

Последний ряд является сходящимся, поскольку со-

n 1

7n 6 7n

ставлен из членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Следовательно, сходится и рассматриваемый ряд.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.11.2022493.57 Кб22024.doc
#
15.11.2022425.95 Кб0202442.pdf
#
15.11.2022306.88 Кб1202897.pdf
#
15.11.2022270.08 Кб1202899.pdf
#
15.11.2022271.42 Кб4202901.pdf
#
15.11.2022780.79 Кб1202910.pdf
#
15.11.2022418.06 Кб1202916.pdf
#
15.11.2022542.91 Кб4202926.pdf
#
15.11.2022305.67 Кб1203245.pdf
#
26.02.202386.08 Кб3203320.pdf
#
15.11.2022945.58 Кб4203445.pdf