202910

x2+2xy2+3y4=6 в точке M0(1,-1).

Дифференцируя исходное уравнение по x, получаем уравнение для вычисления производной неявной функции: 2x+2y2+4xyy'+12y3y'=0. Из кото-

11

Пример. Найти вторую производную функции y=3cos2x.

Для определения второй производной сначала необходимо найти первую производную данной функции:

y'=(3cos2x)'=(3(cosx)2)'=3((cosx)2)'=3·2cosx·(-sinx)=-3sin2x.

Дифференцируя полученное выражение, находим вторую производную y''=(y')'=(-3·sin2x)'=-3·cos2x·2=-6·cos2x.

Пример. Найти дифференциалы первого, второго и третьего порядков функции y=2e3x.

dy=y'dx=(2e3x)'dx=2·3e3xdx=6e3xdx, dy=y''dx2=(2e3x)''dx2=(6e3x)'dx2=18e3xdx2, dy=y(3)dx3=(2e3x)(3)dx3=(18e3x)'dx3 =54e3xdx3.

Пример. Разложить в ряд Маклорена показательную функцию f(x)=ex. f '(x)=f (2)(x)=…=f (n)(x)=f(x)=ex

f '(0)=f (2)(0)=…=f (n)(0)=f(0)=e0=1

Подставляя значения производных в общее выражение для ряда Маклорена,

получаем:

3. Применение производной к исследованию функции

Пример. Найти интервалы возрастания и убывания функции y=f(x)=2x3-15x2-10.

1.Найдем область определения x {R}.

2.Вычислим производную y'=f '(x)=6x2-30x=6x(x-5).

3.Первая производная существует во всей области определения функ-

ции.

4.Приравнивая производную нулю y'=0, получим уравнения для нахождения стационарных точек: 6x(x-5)=0. Произведение обращается в ноль, если один из сомножителей равен нулю. Поэтому уравнение имеет два корня x=0 и x=5.

5.Множество критических точек совпадет со множеством стационар-

ных, поскольку производная существует во все области определения функ-

ции. Отметим критические точки на числовой оси (см. рис. 1).

6. Для нахождения знака производной удобно воспользоваться мето-

дом интервалов (см. рис. 1). Определим знак производной на каждом ин-

тервале,

подставляя удобные для вычисления значения аргумента из этого интервала в выражение для производной. Например, для интервала (- ,0) возьмем x=- 1:

f '(-1)= 6·(-1)·(-1-5)= 36, знак «+», поэтому производная f '(x) положительна в этом интервале. Для интервала (0;5): f '(1)= 6·1·(1-5)= -24 знак «-», произ-

водная отрицательна. На полупрямой (5,+ ): f '(6)= 6·6·(6-5)= 36 знак «+»,

14

производная положительна. Отмечаем знаки производной над числовой осью.

7. Поскольку производная функции положительна на полупрямых (-

,0) и (5,+ ) то функция возрастает на этих промежутках. Производная функции отрицательна на интервале (0,5), поэтому функция убывает на этом интервале. Изображаем полученные результаты графически стрелками.

8. При прохождении через точку x=0 производная меняет знак с «+»

на

«-», следовательно, эта точка является максимумом функции. При переходе через точку x=5 производная меняет знак с «-» на «+», поэтому x=5 - точка минимума. Для определения максимального и минимального значений функции подставим найденные значения x в ее выражение: ymax=y(0)=2·03-

15·02-10=-10; ymin=y(5)=2·53-15·52-10=250-375-10=-135.

Пример. Найти точки экстремума функции y=(x-4)7.

Вычислим производную y'=7(x-4)6. Она обращается в ноль в точке x=4, поэтому эта точка и является критической. Производная y' положи-

тельна и слева и справа от критической точки x=4, следовательно, функция не имеет точек экстремума.

Пример. Найти точки экстремума функции y=x2/3.

Функция y=x2/3 определена и непрерывна на всей числовой прямой.

Она дифференцируема при всех значениях аргумента, за исключением точ-

Уравнение y'=0 корней не имеет, поэтому единственной критической точкой является точка x=0. Производная y' отрицательна слева от точки x=0 и по-

ложительна справа от нее, поэтому точка x=0 является точкой минимума.

Для нахождения минимального значения ymin подставим x=0 в исходное вы-

15

ражение для функции: y(0)=02/3=0. Таким образом, функция имеет в точке x=0 минимум ymin=0.

Пример. Исследовать на экстремум функцию y=f(x)=2x3-9x2+6 с по-

мощью второго достаточного условия.

Вычислим производную данной функции y'= f '(x)=6x2-18x=6x(x-3). Со-

ставим уравнение для нахождения критических точек, приравнивая первую производную нулю: y'=0; 6x(x-3)=0. Отсюда находим, что данная функция имеет две критические точки: x=0 и x=3. Знак производной слева и справа от этих точек легко определяется, поэтому можно решить задачу об экстр е-

мумах с помощью первого достаточного условия. Однако применим второе достаточное условие. Для этого вычислим вторую производную y''= f

''(x)=12x-18=6(2x-3). Поскольку y''(0)= f ''(0)=-18=<0 и y''(3)= f ''(3)=18>0, то функция имеет максимум ymax=f(0)=6 в точке x=0 и минимум ymin=f(3)=-21 в

точке x=3.

Пример. Исследовать на экстремум функцию y=f(x)=(x-2)4+6 с помо-

щью третьего достаточного условия.

Вычислим производную данной функции y'= f '(x)=4(x-2)3. Составим уравнение для нахождения критических точек: y'=0; 4(x-2)3=0 и x-2=0. От-

сюда находим, что точка x=2 является критической для данной функции.

Вторая производная f (2)(x)=12(x-2)2 при x=2 равна нулю. Третья производ-

ная

f (3)(x)=24(x-2) при x=2 также обращается в ноль. Четвертая производная

f (4)(x)=24>0. Следовательно, в точке x=2 функция имеет минимум ymin=f(2)=6

в точке x=2.

Пример. Определить наибольшее и наименьшее значения функции y=f(x)=3x-x3 на отрезке [-2,3].

16

Вычислим производную данной функции y'= f '(x)=3-3x2. Составим уравнение для нахождения критических точек: y'=0; 3-3x2=0. Отсюда нахо-

дим, что точки x= 1 являются критическими для данной функции. Обе они принадлежат отрезку [-2,3]. Определим значения функции в этих точках: f(1)=2, f(-1)=-2. Затем вычислим значения функции на границах отрезка: f(- 2)=2, f(3)=-18. Из полученных четырех значений выберем наибольшее и наименьшее. Таким образом, наибольшее значение функции на отрезке [-

2,3] равно 2, а наименьшее -18.

Пример. Определить интервалы выпуклости и вогнутости графика функции y=f(x)=2x2-10x+15.

Вычислим сперва первую производную y f ( x) 4x 10 , затем вто-

рую производную y''=f ''(x)=4. Вторая производная положительна при всех допустимых значениях аргумента. Таким образом, график исследуемой функции является вогнутым на всей числовой оси (- ,+ ).

Пример. Определить интервалы выпуклости и вогнутости графика функции y=f(x)=x3-12x2+24.

Сперва находим первую производную y'= f '(x)=3x2-24x, затем вторую y''= f ''(x)=6x-24=6(x-4). При x<4 вторая производная отрицательна, а x>4 при положительна. Таким образом, график исследуемой функции является вы-

пуклым на участке (- ,4) и вогнутым на участке (4,+ ).

Пример. Найти точки перегиба графика функции y=f(x)=x3-6x2+5x.

1.Область определения – вся числовая ось (-∞,+∞).

2.Находим первую производную y'= f '(x)=3x2-12x+5,

3.Определяем вторую производную y''=f ''(x)=6x-12=6(x-2).

4.Вторая производная существует во всей области определения функ-

ции.

17

5. Приравниваем вторую производную нулю: y''=0; 6(x-2)=0. Решая полученное уравнение, находим критическую точку x=2.

6. Учитывая, что вторая производная определена на все числовой оси,

единственной критической точкой второго рода является точка x=2, в кото-

рой вторая производная обращается в ноль. Наносим ее на числовую ось

(см. рис. 2.).

7. Критическая точка x=2 разбивает числовую прямую на два участка

(- ,2) и (2,+ ). Определим знак второй производной на каждом из них с помощью метода интервалов. Например, для интервала (- ,2) возьмем x=0: f

''(0)= 6·(0-2)=-12 , знак «-», поэтому производная f ''(x) отрицательна в этом интервале. Для интервала (2,+ ): f ''(3)= 6·(3-2)= 6 знак «+», вторая произ-

водная положительна. Отметим результаты значками «+» и «-» над число-

вой осью.

8. Поскольку вторая производная функции отрицательна на полупря-

мой (- ,2) то график функции является выпуклым на этом промежутке.

Вторая производная функции положительна на интервале (2,+ ), поэтому график функции является вогнутым на этом интервале. Изобразим это на рисунке дугами.

9.При прохождении через точку x=2 вторая производная меняет знак

с«-» на «+», следовательно эта точка является точкой перегиба. Для опр е-

деления ее ординаты подставим найденные значения x в выражение для функции: y(2)= 23-6·22+5·2= 8-24+10=-6. Таким образом, точка с координа-

тами(2,-6) является точкой перегиба графика рассматриваемой функции.

18

Пример. Определить точки перегиба графика функции y=f(x)=x5/3.

ствует, поэтому она является критической точкой второго рода. Критиче-

ская точка x=0 разбивает числовую прямую на две полупрямых (- ,0) и

(0,+ ). Определим знак второй производной на каждом из этих участков.

При x<0 вторая производная отрицательна, а при x>0 положительна. Таким образом, точка (0,0) является точкой перегиба графика исследуемой функ-

ции, причем является выпуклым на участке (- ,0) график является выпук-

лым, а на участке (0,+ ) - вогнутым.

Пример. Найти точки перегиба графика функции y=f(x)=x3-15x2+4 с

помощью второго достаточного условия.

Находим первую производную y'= f '(x)=3x2-30x, а затем вторую

y''=

f ''(x)=6x-30=6(x-5). Определяем точки, в которых вторая производная об-

ращается в ноль: y''=0; 6(x-5)=0. Отсюда x=5- критическая точка второго ро-

да. Третья производная равна y (3)=f (3)(x)=6>0. Следовательно, точка (2,-246)

является точкой перегиба графика исследуемой функции.

Пример. Определить точки перегиба графика функции y=f(x)=(x-2)5 с

помощью третьего достаточного условия.

Вычисляем последовательно производные данной функции:

y (5)=f (5)(x)=120 при x=2 f (5)(x) 0

Номер отличной от нуля в точке x=2 производной n=5 . Поскольку

номер производной нечетный, то точка (2,0) является точкой перегиба ис-

следуемой функции.

Пример. Построить график функции y x3 4 . x2

1. Функция представляет собой рациональную дробь, поэтому она определена и непрерывна всюду на всей бесконечной прямой, за исключе-

нием точки x=0, в которой знаменатель обращается в ноль. Следовательно,

область определения D(y)=(- ,0) (0,+ ).

2.y( x) x3 4 , поэтому функция не является ни четной, ни нечет-

x2

ной.

3. Определим точки пересечения графика с осью абсцисс: y=0;

x=0 функция не определена.

4. x=0 является точкой разрыва. Так как lim y , то прямая x=0 (ось

x 0

ординат) является вертикальной асимптотой графика.

Исследуем вопрос о существовании наклонных асимптот.

Аналогично, при x - k=1 и b=0. Следовательно, уравнение наклонной