Анализ линейных электрических цепей с негармоническими периодическими напряжениями и токами (90
..pdf
Следовательно, напряжение смещения для гармоник кратных трем определяется по формуле
U00 E(3)2 |
E(6)2 |
E(9)2 |
... . |
(44) |
Расчет токов прямой и обратной последовательностей выполняется как расчет трехфазной цепи при статической нагрузке.
Определим ток гармоник кратных трем на примере третьей гармоники
I |
A(3) |
(E |
A(3) |
U |
|
)Y |
H |
(E |
(3) |
E |
(3) |
)Y |
H |
0 . |
(45) |
|
|
|
0 0(3) |
|
|
|
|
|
|
Вывод: в линейных проводах токи гармоник кратных трем не протекают. Рассмотрим соединение звезда-звезда с нулевым проводом при симметричной
нагрузке (рисунок 22). Расчет схемы можно выполнить в среде MathCAD [5].
Рисунок 22
На основании выше изложенного, делаем выводы:
1)в линейном напряжении отсутствуют гармоники кратные трем;
2)для гармоник прямой и обратной последовательностей напряжение смещения равно нулю;
3)для гармоник кратных трем (для третьей гармоники) напряжение смещения определяется по формуле
31
U |
|
E |
Y |
H |
|
E |
|
Y |
H |
E |
|
|
Y |
H |
3Y |
|
E |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
(3) |
|
(3) |
|
(3) |
|
|
|
H |
(3) |
. |
|
|
|
|
(46) |
||||||||||||||||||||||
|
0(3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3Y Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
3Y Y |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Напряжение фазы нагрузки равно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3Y |
E |
|
|
|
|
E |
3Y |
H |
Y E |
3Y |
H |
E |
|
Y E |
|
||||||||||
Uà(3) (UA3 U0(3) ) E(3) U0(3) |
|
E(3) |
|
|
|
H |
(3) |
|
|
|
|
|
(3) |
|
|
|
|
0 (3) |
|
(3) |
|
0 (3) |
. (47) |
|||||||||||||||
|
3YH Y0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3YH Y0 |
|
|
3YH Y0 |
|||||||||||||||||||||||||
Значение тока равно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
A(3) |
|
Ua(3) |
|
U |
a(3) |
Y H |
|
|
Y 0 Y H E(3) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
Z H |
|
3Y H Y 0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
(разделим числитель и знаменатель на Y0YН) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E(3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
E(3) |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
(48) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
3Y H |
|
|
|
|
|
Y 0 |
|
|
3Z 0 Z H |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
Y 0 Y H |
|
Y 0 Y H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Полученному уравнению, для определения тока 3-ей гармоники фазы А, соответствует одноконтурная схема замещения, содержащая источник Е(3) , сопротивления 3Z0 и ZН. Ток в нейтральном проводе равен I0(3) 3I(3) . То есть, при наличии нейтрального провода в линейных проводах протекают токи гармоник кратных трем.
Действующее значение тока в нулевом проводе определяется по формуле
I |
0 |
3 I 2 |
I 2 |
I 2 ) .... |
(49) |
|
(3) |
(6) |
(9 |
|
Расчет схемы при соединении треугольник – треугольник (рисунок 23).
32
Рисунок 23
Известно, что Э.Д.С. фазы А равна
eA E(0) E(4)m sin 4 t E(5)m sin 5 t E(6)m sin 6 t E(9)m sin 9 t .
Отдельно заданы действующие значения Э.Д.С.: E(0) , E(4) , E(5) , E(6) , E(9) , сопротивления обмоток генератора для первой гармоники: Z Ã (1) 9 j 3 ,
сопротивления потребителя для первой гармоники Z1(1) . Определить:
1)показания приборов (действующие значения), то есть I1 , I2 , I3 , …U ;
2)определить мгновенные значения фазного тока iAÂ и линейного тока iA.
Так как необходимо определить мгновенные значения токов, то расчет целесообразно вести в комплексной форме записи.
Выделяем гармоники по действию: E(4) – прямая последовательность;
E(5) – обратная последовательность;
E(6) , E(9) – нулевая последовательность.
Рассчитываем сопротивления генератора для каждой гармоники:
Z Z
à (0) Rà (0) |
9; |
Z Ã (4) |
9 |
j 3 4; |
Z Ã (5) 9 j 3 5; |
à (6) 9 j 3 |
6; |
Z Ã (9) |
9 |
j 3 9. |
|
Определяем сопротивления нагрузки.
33
Сопротивления для постоянных составляющих равны Z1(0) R1(0) (при активноиндуктивном характере нагрузки) и Z1(0) (если емкостный характер
нагрузки), для остальных гармоник рассчитываем Z1(1) …; Z1(5) |
…; Z1(6) |
…; |
Z1(9) … с учетом номера гармоники. |
|
|
Определяем токи и напряжения для каждой гармоники отдельно. Расчет постоянной составляющей.
Выполняется так же как для электрической цепи постоянного тока. Соответственно токи и напряжения равны:
I AB(0) |
E(0) |
; |
U AB(0) 0 ; |
I A(0) 0 ; |
UV (0) 0 . |
(50) |
|
||||||
|
RÃ (0) |
|
|
|
|
|
Расчет токов и напряжений гармоник кратных трем (гармоник, составляющих нулевую последовательность) выполняется по формулам:
– для шестой гармоники
I AB(6) |
|
E(6) |
I AB(6) e j 6 ; I |
aâ(6) |
0 ; |
I À(6) |
0 ; UV (6) |
0 . |
(51) |
|
Z Ã (6) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Мгновенное значение соответствующего тока записывается как
iAB(6) 
2I AB(6) sin(6 t (6) ) ;
– для девятой гармоники
I AB(9) |
|
E(9) |
I AB(9) e j 9 ; |
Iaâ(9) |
0 ; |
I À(9) |
0 ; UV (9) |
0 . |
(52) |
|
Z Ã (9) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Мгновенное значение тока –
iAB(9) 
2IAB(9) sin(9 t (9) ).
Расчет токов гармоник, образующих прямую последовательность (1, 4, 7-я гармоники) показан на примере четвертой гармоники.
Действующее значение равно
I AB(4) |
|
E(4) |
I AB e j 4 |
Iaâ(4) . |
(53) |
|
Z Ã (4) Z 1(4) |
||||||
|
|
|
|
|
Линейное значение тока записывается в виде
34
iAB(4) |
2I AB(4) sin(4 t (4) ) . |
(54) |
Комплексное значение линейного тока (отстает по фазе от фазного на угол 30 ) определится по формуле
I A(4) |
|
3I AB(4) e |
j30 |
I A(4) e |
j( 4 30 ) |
, |
(55) |
|
|
|
|
|
|
В этом случае мгновенное значение тока для четвертой гармоники имеет вид
iA(4) |
2I A(4) sin(4 t (4) 30) . |
(56) |
К определению показания вольтметра.
Напряжения гармоник прямой последовательности (с учетом их соответствующих номеров) определятся по формуле, например, для четвертой гармоники
U(4) Z1(4) Iàâ(4) .
Расчет гармоник, образующих обратную последовательность. Значения соответствующих токов определятся по ниже следующим
формулам.
Для фазных токов: действующее значение равно
I AB(5) |
|
E(5) |
I AB(5) e j 5 |
Iàâ(5) , |
|
Z Ã (5) Z1(5) |
|||||
|
|
|
|
мгновенное значение тока запишется как
iAB(5) 
2IAB(5) sin(5 t (5) ) .
Для линейных токов:
действующее значение –
IA(5) 
3IAB(5) e j30 IA(5) ej( 5 30 ) ;
(57)
(58)
(59)
(60)
35
выражение для линейного значения –
iA,5 |
2IA,5 sin(5 t 5 30 ). |
(61) |
К определению показания вольтметра. Напряжения гармоник обратной последовательности определятся по формуле (с учетом их соответствующих номеров)
U(5) |
Z1(5) |
Iàâ(5) . |
(62) |
Показания приборов определяются по формулам (действующие значения соответствующих величин):
– показание вольтметра
|
U |
U(24) U(25) |
; |
(63) |
||
– показание первого амперметра |
|
|
|
|
|
|
I1 |
IAB2 (0) IAB2 (4) |
IAB2 (5) |
IAB2 (6) IAB2 (9) ; |
(64) |
||
– показание второго амперметра |
|
|
|
|
|
|
I2 |
I A2(4) I A2(5) |
|
3 |
I AB2 (4) |
I AB2 (5) ; |
(65) |
– показание третьего амперметра |
|
|
|
|
|
|
|
I3 Iàâ2 (4) |
Iàâ2 (5) . |
|
(66) |
||
Мгновенное значение фазного тока запишется в виде ряда Фурье
iAB IAB(0) iAB(4) iAB(5) iAB(6) iAB(9) .
Мгновенное значение линейного тока гармоник определится как
iA iA(4) iA(5). |
(67) |
Расчет схемы при соединении звезда – звезда (рисунок 24) с нулевым
36
проводом и без нулевого провода (Rv=∞).
Рисунок 24
Известно, что eA E(0) E(4)msin4 t E(5)msin5 t E(6)msin6 t E(9)msin9 t .
Отдельно заданы действующие значения: ЭДС E(0) , E(4) , E(5) , E(6) , E(9) ,
сопротивления потребителей для первой гармоники Z1(1), Сопротивление генератора принимается равным нулю.
Определить показания приборов электродинамической системы (найти действующие значения токов и напряжения).
При расчете учесть, что сопротивления идеальных измерительных приборов равны соответственно: RV = , RI =0.
Подготовка данных: так как требуется рассчитать только показания приборов, измеряющих действующие значения, а цепь в целом статически симметрична, то расчет можно проводить не в комплексной форме, а по модулям сопротивлений, токов и напряжений.
Расчет постоянной составляющей, индекс указывает номер прибора:
I3(0) |
I10) |
|
E(0) |
. |
(68) |
|
|
||||
|
|
|
R2 3R0 |
|
|
Учитывая, что во второй |
звезде |
нет нулевого провода, то |
ток нулевой |
||
37
последовательности не протекает, следовательно
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I4(0) |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Для определения показаний второго и третьего амперметров учтем, что |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I 2(0) 3I 3(0) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
К определению показаний вольтметров |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
U1(0) E(0) ; |
|
U 2(0) |
0 ; |
U3(0) R2 I3(0) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
Если сопротивление Z2 |
|
имеет емкостный характер, то |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
U3(0) U1(0) E(0) , |
|
(так как конденсатор зарядится). |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
В общем случае |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U4(0) |
0, |
U5(0) |
U3(0) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Если сопротивление нагрузки Z3 |
имеет емкостный характер, |
то |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
U4(0) |
|
|
|
|
U3(0) |
|
R3 |
|
1 |
U3(0) , U5(0) |
1 |
U3(0) . |
|
|
|
|
(69) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
R |
R |
2 |
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Расчет гармоник, образующих нулевые последовательности. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
Для определения показаний амперметров рассчитываем токи: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
I3(6) |
I1(6) , так как I4(6) |
|
0 , I4(9) |
0 (нулевого провода нет), |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
I3(6) |
|
E(6) |
; |
|
|
|
|
|
I3(9) |
|
|
|
E(9) |
|
; I2(6) |
3I3(6) ; |
I2(9) 3I3(9) . |
(70) |
|||||||||||||
|
|
Z2(6) |
3Z0(6) |
|
|
|
|
|
|
Z2(9) |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3Z0(9) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Следует учесть, |
что расчет выполняется для модулей сопротивлений, поэтому |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
(R1 |
R2 )2 |
(X1 X 2 )2 . |
|
|
|
|
|
|
|
(71) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
Для определения показаний вольтметров, значения напряжений вычисляем по |
||||||||||||||||||||||||||||||||
формулам: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U1(6) |
E(6) ; |
U1(9) E(9) ; |
U 2(6) |
0 ; |
U 2(9) 0 ; |
U3(6) |
|
Z2(6) I3(6) |
|
; |
U3(9) |
|
|
Z2(9) I3(9) |
|
; |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U 4(6) 0 ; |
U 4(9) 0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
38
U5(6) U3(6) ; U5(9) U3(9) (напряжения смещения).
Расчет гармоник, образующих прямую и обратную последовательность. Так как трехфазная цепь симметрична (симметричная система ЭДС и равные сопротивления в нагрузках), то формулы для расчета токов имеют вид:
I3(4) |
I4(4) |
|
|
|
E |
(4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Z2(4) |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2I3(4) , |
||||
|
|
|
|
|
E(5) |
|
|
, |
I1(4) I3(4) I4(4) |
||||
I3(5) |
I4(5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Z |
2(5) |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2I3(5) , |
(72) |
|
|
I1(5) |
I3(5) I4(5) |
|||||||||||
|
I2(4) |
0 , |
|
|
I2(5) |
0 . |
|
||||||
Формулы для расчета напряжений:
U1(4) E(4) , |
U1(5) E(5) , |
U2(4) |
3U1(4) |
3E(4) , U 2(5) |
3U1(5) 3E(5) , |
U3(4) |
U1(4) E(4) , |
U3(5) |
U1(5) |
E(5) , U 4(4) U1(4) |
E(4) , |
U4(5) U1(5) E(5) , U5(4) 0 (нет смещения нейтрали), U5(5) 0.
На основании вышеприведенных расчетов, показания соответствующих приборов определяются по формулам:
|
|
|
|
I1 |
I12(0) I12(4) I12(5) I12(6) |
I12(9) , |
|
(73) |
|
I2 |
I22(0) I22(6) I22(9) |
– учитываем только гармоники кратные 3-м и постоянную |
|||||||
составляющую, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I3 |
|
I32(0) |
I32(4) |
I32(5) I32(6) I32(9) , |
I4 |
|
I42(4) |
I42(5) , |
|
U1 |
|
E(20) |
E(24) |
E(25) E(26) E(29) , |
U 2 |
|
U 22(4) |
U 22(5) , |
39
U3 
U32(0) U32(4) U
U 4 
U 42(0) U
U5 
U52(0) U
32(5) |
U32(6) |
U |
42(4) |
U 42(5) |
, |
52(6) |
U52(9) . |
|
32(9) , |
(74) |
10 Биения и модулированные колебания
Биениями называют колебания, вызванные суммой двух синусоидальных колебаний одинаковой амплитуды, но разных частот. Причем частоты не являются кратными – они близки друг к другу.
u(t) Asin 1t Asin 2t A(sin 1t sin 2t) A2cos 1 2 |
t sin |
1 2 |
t , |
(75) |
||||
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
где 2 k 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
Обозначим |
1 2 |
|
1 2 |
, следовательно, можно записать |
|
|||
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
u(t) 2Acos t sin t. График результирующего колебания изображен на рисунке 25.
Рисунок 25
Амплитуда колебания изменяется по закону 2Acos t , огибающая колебаний нанесена пунктиром.
Кривые такого вида не могут быть представлены в виде ряда Фурье,
40