Анализ линейных электрических цепей с негармоническими периодическими напряжениями и токами (90
..pdf
|
1 |
T |
|
|
Iср.мод |
| i(t) | dt. |
(9) |
||
Т |
||||
|
|
0 |
|
Постоянная составляющая тока представляет собой среднее значение функции за период, то есть
I(0) |
|
1 |
T i(t)dt, |
(10) |
|
||||
|
|
Ò 0 |
|
|
и равно нулю, когда площади положительных и отрицательных значений функции одинаковы, например, для кривой прямоугольной формы (рисунок 2 б).
Задача 1. Определить действующее значение несинусоидального напряжения
U, если u(t) 0,81sin t 0,9sin3 t 0,32sin5 t B.
Решение: согласно формуле (8) действующее значение напряжения равно:
U (8,1/ 
2)2 (0,9 / 
2)2 (0,32 / 
2)2 5,77 B.
4 Коэффициенты, характеризующие форму несинусоидальных кривых
Существует несколько коэффициентов, по значениям которых можно судить о форме несинусоидальных кривых. Важнейшими из них являются коэффициенты амплитуды, формы, несинусоидальности и пульсаций.
Коэффициент амплитуды Ка равен отношению максимального значения электрической величины (например, напряжения) к ее действующему значению:
Ka Um /U. |
(11) |
Для синусоидальных величин Ka 
2. Заметим, что чем острее кривая, тем больше значение Ка.
Коэффициент формы Кф равен отношению действующего значения электрической величины (например, напряжения) к ее среднему по модулю
11
значению:
Kф U /Uср.мод. |
(12) |
Для синусоидальных величин Kф /(2 |
2) 1,11. |
Коэффициент несинусоидальности Кнс выражается в процентах и равен отношению среднеквадратического значения всех гармоник, кроме основной, к квадрату действующего значения основной гармоники напряжения:
|
|
|
|
|
|
Kнс |
|
|
2 2 |
|
(13) |
|
U(k ) /U(1) |
100%. |
|||
|
k |
2 |
|
|
|
Для синусоидальных величин Kнс 0.
По ГОСТу 1309–67, нормирующему качество электроэнергии, предельно допустимое значение коэффициента несинусоидальности для напряжения сети не должно превышать плюс 5 процентов.
Коэффициент пульсаций р определяется отношением амплитуды первой (основной) гармоники к постоянной составляющей
p Um(1) /U(0). |
(14) |
Этим коэффициентом пользуются для оценки содержания переменной составляющей в кривых напряжений и токов выпрямителей.
Задача 2. Для кривых, приведенных на рисунке 2, определить средние по модулю и действующие значения напряжений, а также коэффициент амплитуды. Амплитудное значение напряжения Um=10 В.
Ответы приведены в таблице 1. Таблица 1
Форма напряжения |
Пилообразная |
Прямоугольная |
12
Uñð.ìîä , Â |
U ñð.ìîä |
U m |
5. |
Uñð.ìîä U m 10. |
|
2 |
|||||
|
|
|
|
||
U , В |
U U m / |
3 5,8. |
U U m 10. |
||
|
|
|
|
|
|
Ka |
3 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Задача 3. Три вольтметра различных систем подключены к источнику несинусоидального периодического напряжения. Вольтметр электромагнитной системы показал 4,2 В, выпрямительный вольтметр – 4 В, а электронный вольтметр
– максимальное значение – 6,1 В. Определить коэффициенты амплитуды и формы несинусоидального напряжения.
Решение: показание вольтметра электромагнитной системы независимо от формы кривой равно действующему измеряемому напряжению U, следовательно, U=4,2 В. Отклонение подвижной части выпрямительного прибора пропорционально среднему по модулю значению измеряемого напряжения Uср.мод. Градуировка шкалы выпрямительного прибора производится для действующего значения синусоидального напряжения. Поэтому для определения среднего по модулю значения измеряемого напряжения необходимо разделить показание выпрямительного прибора на коэффициент формы синусоиды Kф U /Uср.мод,
равный 1,11. Следовательно, для измеряемого напряжения Uср.мод 4,0 /1,1 3,6 В.
Показания электронного прибора с амплитудным детектором пропорциональны максимальным значениям измеряемого напряжения. Шкала прибора градуируется для действующего значения синусоидального напряжения. Поэтому для определения амплитудного значения измеряемого напряжения показание электронного прибора необходимо умножить на коэффициент амплитуды синусоиды Ka Um /U, равный 
2 . Следовательно, для измеряемого напряжения
Um 
2 6,1 8,6 B. Коэффициент формы для исследуемого несинусоидального напряжения источника питания Kô U /Uñð.ìîä 1,17, а коэффициент амплитуды равен
Ka Um /U 2,05.
13
5 Анализ линейных электрических цепей несинусоидального
тока
Возможность разложения периодических несинусоидальных величин в ряд Фурье, позволяет свести расчет электрических цепей с линейными элементами при воздействии несинусоидальных ЭДС к расчету цепей с постоянными и синусоидальными ЭДС. По принципу суперпозиции (наложения) мгновенные значения искомых токов и напряжений будут равны сумме мгновенных значений токов и напряжений, которые установились в этой цепи, если бы в ней действовали независимо друг от друга постоянная и гармонические (синусоидальные) составляющие ЭДС.
Пусть на вход цепи (рисунок 5) включен источник несинусоидальной ЭДС
e(t) E(0) E(1)m sin t E(2)msin 2 t. |
(15) |
Требуется найти ток и напряжение на конденсаторе.
Рисунок 5
Заменим источник е(t) тремя источниками ЭДС, соединенными последовательно: источником постоянной ЭДС E(0) и источниками синусоидальных ЭДС e(1) и e(2) (рисунок 6) заданных первой и второй гармоник.
14
Рисунок 6
Основываясь на принципе суперпозиции, расчет цепи с несинусоидальной ЭДС можно свести к расчету частичных схем с постоянной и синусоидальными ЭДС (рисунок 7 а,б,в).
В схеме (рисунок 7 а) напряжение и ток от постоянной составляющей ЭДС Е(0) определяют так же, как и при расчете цепей постоянного тока. Токи и напряжения в схемах рисунков 7 б,в определяют отдельно, от действия каждой гармоники ЭДС как при расчете цепей синусоидального тока.
а) |
б) |
в) |
Рисунок 7
Постоянная составляющая тока I(0)=0 из-за наличия в цепи конденсатора
( 0 ), постоянная составляющая напряжения на конденсаторе равна U(0) E(0) .
Расчет гармонических составляющих токов и напряжений выполняется с помощью комплексных чисел. При этом следует иметь в виду, что сопротивления
15
индуктивных и емкостных элементов зависят от порядкового номера гармоники, то есть
|
|
|
X L(k ) |
Lk , |
|
X C(k ) |
1/(Ck ) . |
|
|
|
|
|
(16) |
||||||||||||||||||
Комплексные сопротивления рассматриваемых схем запишутся в виде: |
|||||||||||||||||||||||||||||||
– для первой гармоники Z (1) |
R jL j1/(C ) Z(1)e j (1) , |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
– для второй гармоники |
|
|
Z (2) R j2L j1/(2C ) Z(2)e j (2) . |
||||||||||||||||||||||||||||
Комплексные амплитуды тока первой и второй гармоник определяются |
|||||||||||||||||||||||||||||||
выражениями |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I(1)m E(1)m / Z (1) |
I(1)me j (1) ; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
I |
|
E |
|
|
|
/Z |
(2) |
I |
|
e j 2 . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
(2)m |
|
(2)m |
|
|
|
|
|
(2)m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Тогда искомый ток запишется в виде ряда Фурье, то есть |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
i t I(1)m sin( t (1) ) I(2)m sin(2 t (2) ). |
|
|
|
|
(17) |
||||||||||||||||||||||||||
Комплексные амплитуды напряжений первой и второй гармоник на |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
конденсаторе определятся как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
I(1)m |
|
|
|
j |
|
|
|
j |
|
|
j( (1) |
) |
|
|
|||||||
U(1)m |
j |
|
|
I(1)m |
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
(1) e |
|
2 |
U(1)me |
|
|
2 |
|
, |
|
||||||||
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
I |
(2)m |
|
|
|
j |
|
|
|
j |
|
|
|
j( (2) |
) |
|
|||||
U(2)m |
j |
|
|
|
I(2)m |
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
(2) e |
|
2 |
U(2)me |
|
|
2 |
. |
||||||||
|
|
|
|
2C |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
2C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Искомое напряжение на конденсаторе равно
16
u(t) U(0) |
U(1)m sin( t (1) |
|
) U(2)m sin(2 t (2) |
|
). |
(18) |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
Из выражения (16) следует, что форма кривой тока отличается от формы кривой ЭДС (15), так как в нем соотношение между амплитудами не такое как для ЭДС. Кроме того, начальные фазы гармоник тока отличаются от начальных фаз гармоник ЭДС. Напряжение на резистивном элементе пропорционально току (uR = Ri), поэтому форма кривой напряжения uR аналогична форме кривой тока на этом элементе. Напряжения на индуктивном и емкостном элементах отличаются по форме от несинусоидального тока этих элементов. Подробнее это утверждение будет проанализировано в пункте 6.
Задача 4. Катушка с активным сопротивлением R = 10 Ом и индуктивностью L = 33 мГн подключена к источнику питания, ЭДС которого изменяется в соответствии с выражением е(t)=(10+20sinωt+12sin3ωt) В.
Записать выражение для мгновенного тока, если частота основной гармоники f= 50 Гц.
Решение: на рисунке 8 а изображена схема замещения рассматриваемой цепи, в которой осуществлена эквивалентная замена источника несинусоидальной ЭДС тремя источниками ЭДС, соединенными последовательно.
а) |
б) |
в) |
г) |
Рисунок 8
Расчет схемы (рисунок 8 а) по принципу суперпозиции сводится к определению токов трех частичных схем, представленных на рисунках (8 б – г). В частичной схеме рисунка (8 б), являющейся схемой замещения для постоянной
17
составляющей (ω=0), сопротивление определяется только резистивным элементом R, сопротивление индуктивного элемента Lω = 0.
Комплексные сопротивления в частичных схемах рисунков 8 в и 8 г –
Z (1) R jL 10 j33 10 3 314 |
10 j10,36 14,4e j 460 |
Îì , |
|||||||
Z (3) |
|
R j3L 10 j33,1 32,67e j72,10 Ом. |
|
||||||
|
|
|
Постоянная составляющая и амплитудные значения гармоник тока в |
||||||
частичных схемах равны: |
|
|
|||||||
I(0) |
E(0) |
/ R 10 /10 1,0 A, |
|
|
|||||
I |
(1)m |
E |
|
/ Z |
(1) |
20 /(14,4e j460 ) 1,39e j460 A, |
|
||
|
(1)m |
|
|
|
|
||||
I(3)m E(3)m / Z (3) 12 /(32,67e j |
72,10 ) 0,37e j72,10 |
A. |
|||||||
Мгновенное значение тока i(t) [1 1,39sin( t 460 ) 0,37sin(3 t 72,10 )] A.
Задача 5. Напряжение на входе схемы, содержащей последовательно включенные резистивный и емкостный элементы, задано рядом Фурье
u(t) [218 141sin( t 0.75) 31sin(3 t 0.21)] B. Записать выражение для мгновенного значения тока. Определить действующие значения напряжения и тока, если сопротивление резистивного элемента R=10 Ом, емкость С=96,5 мкФ, частота основной гармоники f = 50 Гц. При расчете частичной схемы замещения цепи по постоянной составляющей необходимо учесть, что сопротивление емкостного элемента при ω=0 стремится к бесконечности, и поэтому в токе отсутствует постоянная составляющая.
Ответ: i(t) [4,08sin( t 0,53) 2,08sin(3 t 1,04)] A. |
U 240,8 B, |
I 3,25 A. |
|
Задача 6. Определить показания приборов (рисунки 9 и 10): |
|
||
а) |
магнитоэлектрической системы; |
|
|
б) |
электромагнитной системы. |
|
|
В схемах рисунков 9 и 10 R=3 Ом, реактивные сопротивления первой гармоники ХL1= 3 Ом, XL2 = 5 Ом, ХC1 = 9 Ом, ХС2 = 45 Ом, а напряжение источника
18
u(t) (9 12sin3 t) Â. |
|
|
|
|
|
|
|
Ответы приведены в таблице 2. |
|
|
|
|
|
||
|
Таблица 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Наименование прибора |
Схема рисунка |
|
|
|
|
|
|
9 а |
9 |
б |
|
10 а |
10 б |
|
|
|
|
|||||
|
Магнитоэлектрический |
0 |
3 |
А |
|
3 А |
1,5 А |
|
амперметр |
|
|
|
|
|
|
|
Магнитоэлектрический |
9 В |
9 |
В |
|
0 |
0 |
|
вольтметр |
|
|
|
|
|
|
|
Электромагнитный |
0,4 А |
3,3 А |
|
4,12 А |
1,5 А |
|
|
амперметр |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Электромагнитный |
10,8 В |
9 |
В |
|
60√2 В |
12/√2 В |
|
вольтметр |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
|
|
|
б) |
|
|
|
Рисунок 9 |
а) |
б) |
Рисунок 10
6 Сравнение формы кривых токов и напряжений для идеализированных элементов схем замещения
Формы кривых токов в цепях, содержащих индуктивные катушки и
19
конденсаторы, отличаются от формы кривой ЭДС. Проанализируем подробнее это утверждение.
Пусть ток при последовательном соединении резистивного, индуктивного и емкостного элементов (рисунок 11) имеет, кроме основной, высшие гармонические составляющие.
Рисунок 11
Сопротивление индуктивного элемента для k-й гармоники ХL(k)=Lkω. Поэтому отношение амплитуд высших гармоник напряжения на индуктивном элементе к амплитуде основной гармоники этого напряжения больше отношения соответствующих амплитуд гармоник тока к амплитуде его основной гармоники. Это различие тем больше, чем выше номер гармоники, то есть
U L(k )m |
|
X L(k )I (k )m |
|
kL I(k )m |
k |
I(k )m |
. |
(19) |
|
U L(1)m |
X L(1)I (1)m |
L I(1)m |
I(1)m |
||||||
|
|
|
|
|
Из формулы (19) следует, что кривая напряжения на индуктивном элементе больше отличается от синусоиды, чем кривая тока, то есть "удельный вес" высших гармоник в кривой тока больше.
Сопротивление емкостного элемента для k-й гармоники –
X C(k ) 1/(kC ) .
Поэтому отношение амплитуды k-й гармоники напряжения на емкостном элементе к амплитуде основной гармоники этого напряжения в k раз меньше отношения амплитуд соответствующих гармоник тока
20