Основы экономической динамики (110

Ниже кроме поведения ВВП будет также изучаться эволюция инвестиций и потребления. Согласно модели, годовые инвестиции состоят из

а текущее значение потребления как разность ВВП и инвестиций равно соответственно

Решение однородного уравнения (6.6) при заданных начальных условиях имеет вид (6.4), где A1 , A2 , определяются из начальных условий. Характер решения зависит от типа корней характеристического уравнения (6.4), а тип последних в свою очередь обусловливается значением парамет-

31

прежнее состояние покоя и, следовательно, является устойчивой.

ВВП, потребление и инвестиции ведут себя на протяжении переходного процесса аналогично их поведению в первом случае.

Третий случай: 1− 2 1− c < r < 1.

В этом случае дискриминант характеристического уравнения отрицателен, поэтому его корни комплексные взаимно сопряженные:

Таким образом, система после затухающих гармонических колебаний возвращается в первоначальное состояние покоя, т.е. является устойчивой.

ВВП, потребление, инвестиции при η0 < 0 , u0 < 0 вначале продолжают убывать, затем растут и достигают установившихся значений, после чего этот автоколебательный процесс продолжается с экспоненциально затухающей амплитудой вплоть до окончательного достижения этими показателями за бесконечный промежуток времени своих стационарных значений.

Четвертый случай: r = 1.

С содержательной точки зрения этот случай означает, что весь прирост ВВП за год целиком идет на инвестиции.

33

При r = 1 корни характеристического уравнения мнимые взаимно сопряженные:

гармонических колебаниях, т.е. система неустойчива, поскольку не возвращается в первоначальное устойчивое состояние, а потому является синергетической.

На плоскости фазовых переменных траектория системы, заданная уравнениями (6.11), (6.12), будет выглядеть как эллипс в канонической форме

ВВП будет колебаться в пределах yE + ρ , потребление — оставаться постоянным и равным стационарному значению yE − I , а инвестиции — находиться в незатухающих автоколебаниях согласно уравнению I (t) = I +η (t) .

Пятый случай: 1 < r < 1+ 2 1− c .

Это запредельный случай, поскольку на дополнительные инвестиции (сверх постоянного значения I ) пойдет больше, чем прирост ВВП, и это

34

Многосвязная система называется линейной, если производная любой фазовой переменной линейно зависит от фазовых переменных:

где xi (t) - входное воздействие на i − ю фазовую переменную.

Любая односвязная линейная система может быть представлена в форме линейной многосвязной системы. Например, линейный динамический элемент n − го порядка, заданный уравнением

представляется в форме следующей линейной многосвязной системы (отно-

36

Поскольку рассматриваемые системы, задаваемые уравнениями (7.1) или (7.2), линейны, то к их исследованию может быть применен математический аппарат, аналогичный использованному для односвязных линейных систем.

В частности, если применить преобразование Лапласа к обеим частям матричного уравнения (7.2), то получим (напомним, что

Lf ′ (s) = − f (0) + sLf (s)) :

sY (s) − y0 AY (s) + X (s) .

Если начальные условия нулевые, т.е. y0 = 0 , то

где G(s) = (sE − A)−1 - передаточная функция (в форме матрицы) многосвязной системы.

Таким образом, найдя преобразование Лапласа от всех компонент входного вектора x(t) , умножаем их затем на элементы i − й строки передаточной матрицы и складываем произведения, что дает в итоге образ i − й фазовой переменной. Осталось прибегнуть к таблице преобразований Лапласа, чтобы получить прообраз yi (t) , т.е. траекторию любой i − й фазовой переменной, а в итоге и всю траекторию системы y(t) при заданном входном воздействии x(t) .

37

В передаточной матрице внедиагональные элементы Gij (s) выражают перекрестные влияния фазовых переменных друг на друга. Если бы все внедиагональные элементы были равны нулю (т.е. Gij (s) = 0 , i ≠ j), то имело бы смысл изучать порознь n односвязных линейных систем с передаточными функциями G11 (s),...,Gnn (s) .

При переходе к многосвязным линейным системам все приемы анализа и синтеза систем, примененные для односвязных линейных систем, остаются в силе.

Многосвязная линейная система, как и односвязная, устойчива, если ее реакция на импульсное воздействие в форме функции Дирака затухает.

Импульсное воздействие на систему выводит ее из состояния покоя, после чего система (в случае устойчивости) должна возвратиться в состояние покоя. Исследование устойчивости сводится к исследованию поведения системы однородных дифференциальных уравнений при ненулевых на-

где Ci ,i = 1,..., n - общие константы решения, которые для конкретного решения определяются на основе и начальных условий

yi (0) = yi0 , i = 1,..., n ;

λi ,i = 1,..., n - корни характеристического уравнения det(A − λ E) = 0 ,

38

li ,i = 1,..., n - нормированные собственные векторы матрицы A , соответствующие ее собственным числам (корням характеристического уравнения), т.е. каждый вектор li является решением системы Ali = λili .

Следует заметить, что форма общего решения (7.5) имеет силу для разных характеристических корней.

Как видно из (7.5), достаточным условием устойчивости линейной многосвязной системы является отрицательность действительных характеристических корней.

Рассмотрим модель межотраслевого баланса Леонтьева. Статический межотраслевой баланс Леонтьева получается приравниванием чистых выпусков отраслей конечному спросу на продукцию отраслей1:

x1

где (n×1) x = ... - вектор-столбец годовых валовых выпусков отраслей;

xn

y1

(n×1) y = ... - вектор-столбец годового конечного спроса на продукцию

yn

отраслей;

(n× n) A = aij - матрица прямых затрат, каждый элемент которой aij показывает, сколько единиц продукта i необходимо для производства единицы j − го продукта. При этом предполагается, что aij не зависят от времени и масштаба производства.

Если теперь вектор конечных продуктов y, в каждый год t представить в виде двух векторов: инвестиционных товаров (продуктов) и потреби-

1 Обозначения использованы такие, какие сложились в этой сфере экономической науки.

39

тельских товаров, то получим модель динамического межотраслевого баланса:

где (n× n) B - матрица приростных фондоемкостей, каждый элемент которой bij показывает, сколько единиц продукта i необходимо произвести для увеличения годового производства j − го продукта на единицу;

ct - вектор-столбец конечного (непроизводственного) потребления.

С экономической точки зрения соотношение (7.7) показывает разделение вектора валовых выпусков (а, следовательно, и каждый его компоненты) на три части:

1)Axt - текущее производственное потребление, включая аморти-

зацию;

2)B(xt+1 − xt ) - капитальные затраты на расширение производства;

3)ct - конечное (непроизводственное) потребление.

Модель (7.6) с дискретным временем можно преобразовать в модель с непрерывным временем следующим образом:

B(xt+1 − xt ) = (E − A)xt − ct ,

B(x(t + t) − x(t)) = [(E− A) x(t) − c(t)] t ,

т.е. к форме линейной многосвязной системы, входом в которую служит вектор конечного производственного потребления , а выходом — вектор валовых выпусков . Таким образом, для устойчивости экономики в

40