Основы экономической динамики (110

Рис. 1.5. Поведение запаса при поставке, пропорциональной запасу

Второй случай. Снова, как и в первом случае, берем производную от обеих частей (4.2) и подставляем в это выражение

Получаем дифференциальное уравнение второго порядка для запаса:

a1 dydt , пропорционального скорости изменения запаса.

Корни характеристического уравнения взаимно сопряженные комплексные с отрицательной действительной частью:

Если с момента времени t = 0 на вход системы стали поступать заявки на товар с постоянной интенсивностью x(t) = х - const, то уравнение (4.6), описывающее поведение системы, принимает вид

Снова решим это уравнение операторным методом. Имеем:

21

(s2 + a1s + a0 )Y (s) = − x ,

откуда

рис. 1.6.

Рис. 1.6. Поведение запаса при поставке, пропорциональной запасу и скорости его изменения

22

5. Экономика в форме модели СамуэльсонаХикса

Модель Самуэльсона—Хикса отличается от динамической модели Кейнса введением акселератора (далее под у(t) будем понимать ВВП, поскольку большая буква Y используется для обозначения образа выхода):

где r (0 < r < 1) — коэффициент акселерации, показывающий, на сколько возрастут инвестиции, если ВВП возрастет на единицу.

С учетом введенного соотношения линеаризованная модель Саму-

эльсона—Хикса примет вид:

При переходе к непрерывному времени, т.е. при t → 0 , окончательно получаем уравнение линейного динамического звена второго порядка:

Общее решение уравнения равно сумме частного и общего решений однородного уравнения:

23

Общее решение последнего уравнения является линейной комбинацией экспонент eλt , параметры λ которых удовлетворяют характеристическому уравнению

Все сведения о возможных вариантах поведения динамического звена содержатся в его уравнении. Эти же сведения в закодированном виде содержат характеристики звена. Основной характеристикой звена является передаточная функция. Выше было показано, как с помощью передаточной функции по заданному входу найти выход. Точно такое же назначение имеют и другие характеристики.

Импульсной характеристикой (функцией) называется ответная (выходная) реакция динамического звена на импульсное входное воздействие в форме функции Дирака .

Поскольку образ функции Дирака

∞

X (s) = e− stδ (t )dt = 1 ,

0

то образ импульсной характеристики

Y (s) = G (s) X (s) = G (s),

поэтому сама импульсная характеристика

g(t ) = L−1 G (s) ,

где L−1 — обратное преобразование Лапласа.

Переходной характеристикой (функцией) называется ответная реакция динамического звена на ступенчатое входное воздействие в форме функции Хэвисайда

24

Поскольку образ функции Хэвисайда,

то образ переходной функции: Y (s) = G (s) X (s) = G (ss) . Поэтому сама пере-

ходная функция

γ (t ) = L−1 G (s) .

s

Частотная характеристика задает установившуюся реакцию динамического звена в форме вынужденных автоколебаний на синусоидаль-

arg[G(iω )] .

Пример 5.1. Характеристики инерционного звена. Напомним, что инерционное звено задается уравнением

T dydt + y = (t),

передаточная функция которого,

Найдем импульсную характеристику звена, т.е. реакцию на импульсное входное воздействие в форме функции Дирака δ (t) .Поскольку образ характеристики равен передаточной функции, то по табл. 1.1 находим прообраз, т.е. импульсную функцию инерционного звена

g(t) = T1 e− Tt .

Итак, если на вход находящегося в начальный момент в покое инерционного звена подано импульсное воздействие, то после затухающего экспоненциально переходного процесса звено снова возвратится в состояние покоя.

25

Характеристический многочлен a j s j имеет n корней λ1,...,λn (обозна-

n

чения соответствуют характеристическому уравнению aj λ ≠ 0 ) и может

быть разложен на следующие множители:

Если среди корней встречаются комплексные, то они взаимно сопряженные, например, λ1 = α + iω , λ2 = α − iω . В таком случае множители с парой таких корней можно представить в виде квадратного трехчлена:

(s − α − iω)(s − α + iω) = (s − α )2 + ω 2 .

Исходя из этого, образ импульсной характеристики линейного звена примет вид (сначала располагаем комплексные корни, затем — действительные):

j=0

где k - число пар взаимно сопряженных корней; (n − 2k) - число действительных корней;

β j , γ j - коэффициенты разложения, которые определяются путем приведе-

n

ния правой части (6.3) к общему знаменателю, равному aj s j .

j=0

Из разложения (6.3) вытекает следующий вид импульсной характеристики динамического звена как прообраза (6.3) (снова воспользуемся табл. 1.1):

Из (6.4) видно, что динамическое звено устойчиво, т.е.

lim g(t) = 0 ,

t→∞

28

если отрицательны действительные части комплексных корней α j < 0 , j = 1,..., k и действительные корни λ j < 0, j = 2k + 1,..., n .

Исследуем условия устойчивости модели Самуэльсона—Хикса. Непрерывным аналогом модели Самуэльсона—Хикса является следующее линейное неоднородное уравнение второго порядка:

Общее решение однородного уравнения есть линейная комбинация фундаментальных решений eλ1t ,

A1eλ1t + A2eλ2t ,

где λ1 , λ2 — корни характеристического уравнения

которое получается при поиске решения однородного уравнения в виде eλt . Поскольку частным решением неоднородного уравнения служит константа в правой части (6.5), то общее решение неоднородного уравнения

имеет вид:

y(t) = A1eλ1t + A2eλ2t + C1−+cI .

Конкретное решение получаем при заданных начальных условиях. Выбранное частное решение неоднородного уравнения является од-

новременно и его стационарным решением yE = C1−+cI ,

а точка ( yE , 0) на плоскости ( y,u) переменной y и ее производной u = y′ ) является точкой равновесия.

29

Исследуем поведение решения уравнения (6.5) в окрестности точки равновесия ( yE , 0). Казалось бы, что при небольшом отклонении от этой

система, попавшая в точку должна после завершения переходного процесса снова возвратиться в ( yE +η0 ,u0 ) точку равновесия ( yE , 0). Однако, как будет показано ниже, это далеко не всегда так.

Далее для определенности будем рассматривать случай η0 < 0 , u0 < 0 , как это показано на рис. 1.7, т.е. значение ВВП уменьшилось, а скорость его роста с нулевой в устойчивом состоянии поменялась на отрицательную.

Рис. 1.7. Перевод системы из установившегося состояния ( yE , 0) в