Механические волны (96

Задача 5.4

Струна длиной l =30 см и массой m =10 г звучит на самой низкой для нее ноте «до»: ν = 262 Гц. Определите натяжение струны.

Решение

Так как струна звучит на основной частоте, то на ее длине укладывается половина волны

l = λ2 .

Скорость волны в натянутой струне определяется формулой

рость волны также можно определить как υ= λν = 2lν. Отсюда получаем

2lν = Flm

и, следовательно,

F = 4lν2m =824 H.

Это большое значение для такой легкой струны, поэтому музыкальные струны обычно делают из прочных сплавов.

Задача 5.5

В неподвижной среде K распространяется упругая плоская монохроматическая волна частотой ω от неподвижного источника. Найдите частоту ω′ и длину λ′ этой волны в системе отсчета K′, движущейся с постоянной скоростью υ по оси x. Обобщите на случай подвижного источника (эффект Доплера).

Решение

Рассмотрим систему отсчета K′, двигающуюся со скоростью υ вдоль оси x системы K (рис. 8).

21

λ′ = υ′вT ′,

где υ′в = υв −υx – скорость волны; T ′ = 2ωπ′ – период колебаний в

K′-системе. Получаем

т. е. длина волны не изменилась. Соответственно K = K′, что можно видеть уже в формуле для ξ(x′, t ).

Аналогично можно рассмотреть случай двигающегося источника и неподвижного наблюдателя. Свяжем систему K с источником, двигающимся со скоростью υ относительно среды, а система наблюдателя (приемника) K′ пусть будет неподвижна относительно среды (рис. 9).

K′ K

x′

υt x

Рис. 9. Система K неподвижная относительно среды, с источником, двигающимся со скоростью υ относительно среды,

исистема наблюдателя K ′

Вэтом случае x = x′−υt. В системе K уравнение волны имеет

вид

ξ(x, t )= Acos(ωt −kx),

где ω – частота; k = υвω−υ, так как скорость волны в K умень-

шилась за счет движения среды в обратную сторону относительно системы. В системе K′ для ξ имеем

ξ(x′, t )= Acos ωt − υвω−υ(x′−υt ) = Acos(ω′t −k′x′),

23

где

ω′ = ω 1+ υвυ−υ = 1−ωυυв ,

Длина волны λ′ стала меньше в K′. Объединяя полученные результаты, имеем для случая источника, двигающегося со скоростью υи, и наблюдателя, двигающегося со скоростью υн относительно среды,

ω′ = ωυв −υнx , υв −υиx

где υнx и υиx – проекции скоростей наблюдателя и источника на ось x, проходящую через них. Положительное направление оси

совпадает с направлением волны, т. е. от источника к наблюдателю. Эта формула описывает эффект Доплера в общем случае для механических волн.

Задача 5.6

Источник звука частотой ν0 =18 кГц приближается к неподвижному резонатору, настроенному на звуковую волну длиной λ =1,7 см. С какой скоростью должен двигаться источник, чтобы возбудить колебания в резонаторе (T = 290 К)?

24

Решение

Найдем собственную частоту резонатора

νр = υλ,

где υ – скорость звука, υ = γRTμ ; показатель адиабаты для

воздуха γ =1,4; μ = 0,029 кг/моль; R =8,31 Дж/(К моль). Отсюда υ =341,1 м/с и νp = 20,1 кГц. Частота звуковой волны, испускае-

мой источником из-за эффекта Доплера, зависит от скорости источника относительно воздуха по формуле

ν = ν0 υυ−−υυиp .

Скорость резонатора υр = 0. Колебания в резонаторе возбуждаются при совпадении частот источника и резонатора:

Задача 5.7

Докажите, что амплитуда сферической гармонической волны в среде без поглощения обратно пропорциональна r, Aсф = Ar

(см. (10)).

Решение

Среднее значение потока энергии через любую сферическую поверхность, в центре которой находится источник сферической волны, должно быть постоянным, так как по условию отсутствуют потери энергии

Φ= const.

25

Так как данная сфера радиусом r является волновой поверхностью, то Φ равно средней плотности потока энергии на расстоянии r, умноженной на площадь сферы:

Φ= j4πr2 ,

где

j=wυ.

Так как w ~ Aсф2 (см. (30)), а скорость υ= const, имеем j ~ Aсф2 и Φ ~ Aсф2 r2 = const, отсюда Aсф = Ar , где A = const.

Задача 5.8

На расстоянии r =100 м от точечного изотропного источника звука уровень интенсивности L = 20 дБ. Определите мощность P источника звука.

Решение

Мощность P определяется, как средняя за период колебаний энергия, излученная источником за 1 с. В данном случае мощность P равна среднему значению потока энергии через сферическую

поверхность, центром которой является источник: P =Φ.

Так как Φ= j4πr2 , где j – среднее значение плотности потока энергии (см. предыдущую задачу), и по определению j= I, где I – интенсивность волны, то из формулы для уровня громкости (35)

L =10ln I ,

I0

где I0 =10−12 Втм2 , следует

P = I 4πr2 = I0eL10 4πr2 =9,3 10−7 Вт.

26

6. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Задача 6.1

Бегущая волна имеет вид ξ = a cos(1560t −5,2x), где t – в се-

= a cos(ωt −kx). Найдите уравнение этой волны в системе отсчета,

движущейся в положительном направлении оси x со скоростью u по отношению к среде K.

Задача 6.3

В однородной среде распространяется плоская упругая волна вида ξ = ae−γx cos(ωt −kx), где a, γ, ω и k – постоянные. Най-

дите разность фаз колебаний в точках, где амплитуды смещения частиц среды отличаются друг от друга на η=1 %, если

γ = 0,42 м−1 и длина волны λ =50 см.

Задача 6.4

Точечный изотропный источник звука находится на перпендикуляре к плоскости кольца, проходящем через его центр O. Расстояние между точкой O и источником l =100 см, радиус кольца

27

Задача 6.5

Для определения скорости звука в воздухе использовали трубу с поршнем и звуковой мембраной, закрывающей один из ее торцов. Найдите скорость звука, если расстояние между соседними положениями поршня, при которых наблюдался резонанс на частоте ν = 2,00 кГц, равно l =8,5 см.

Ответ: υ= 2lν ≈340 м/с.

Задача 6.6

Найдите число возможных собственных колебаний столба воздуха в трубе, частоты которых меньше ν0 =1250 Гц, если труба открыта с обоих концов. Длина трубы l =85 см. Скорость звука υ =340 м/с. Считать, что открытые концы трубы являются пучностями смещения.

Ответ: n =[2lν0 υ]= 6.

Задача 6.7

Медный стержень длиной l =55 см закреплен в середине. Найдите число его продольных собственных колебаний в диапазоне частот 20…50 кГц. Каковы их частоты?

Ответ: νn = Eρ(n +12)l = 6,95(n +12)кГц, т. е. четыре, с час-

тотами 24,3; 31,3; 38,2 и 45,2 кГц.

28

Список рекомендуемой литературы

1.Афонин А.М. Физические основы механики: Учеб. пособие / Под ред. Л.К. Мартинсона, А.Н. Морозова. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баума-

на, 2006.

2.Иродов И.Е. Волновые процессы. Основные законы. М.; СПб.: Физматлит, 1999.

3.Савельев И.В. Курс общей физики: В 2 т. Т. 1, 2. М.: Наука, 1986.

4.Яковлев М.А. Методические указания к решению задач по курсу общей физики: Раздел «Механика». М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001.

5.Методические указания к решению задач по курсу общей физики: Раздел «Механика» / А.Н. Карсанов, И.Н. Соколова, Н.Д. Тяпкина и др.; Под ред. М.А. Яковлева. М.: Изд-во МВТУ им. Н.Э. Баумана, 1983.

29

30