Механические волны (96

точек стержня, получаем из второго закона Ньютона для малого элемента x (рис. 5, а, б):

Рис. 5. Образование упругой волны в тонком стержне:

где σ = FS – напряжение; ε = ll – деформация или относительное удлинение элемента длиной l. (В наших обозначениях

продольную жесткость стержня, называется модулем одностороннего растяжения, или модулем Юнга. Из (17) и (18), в пределе, при

x →0, следует уравнение для ξ(x, t ):

11

Таким образом, продольные возмущения в тонком упругом стержне подчиняются волновому уравнению (3) и, следовательно, распространяются со скоростью

В случае поперечных возмущений в упругом стержне, они также распространяются в виде волн со скоростью

где G – модуль сдвига, характеризующий жесткость стержня по отношению к деформации сдвига.

Для малых поперечных возмущений в натянутой струне также справедливо волновое уравнение (3), в котором

ρ = ml (здесь m – масса, l – длина струны).

В жидкостях и газах скорость волн определяется выражением

где ddρp – производная давления p по плотности ρ.

В частности, при распространении волны в газе процесс изменения давления в силу своей быстроты является адиабатным и описывается уравнением Пуассона:

лоемкости при постоянном давлении и объеме соответственно.

12

Из (23) и уравнения Пуассона можно получить для скорости волн в газе следующее уравнение:

Оценки, сделанные по формулам (20) – (24), дают для скорости волн в газах при нормальных условиях 100 м/с < υг <1300 м/с

(наибольшая скорость в водороде), в жидкостях 900 м/с < υж < < 1600 м/с, в твердых телах 1000 м/с < υтв< 6000 м/с. Скорость

продольных волн в твердых телах в 1,5–2 раза больше, чем поперечных.

Упругие волны, частоты которых находятся в диапазоне ν = 20...20000 Гц, воспринимаются человеческим ухом и называют-

ся звуковыми. Волны с частотой ν < 20 Гц называют инфразвуковыми, а с частотой ν > 20000 Гц – ультразвуковыми. Инфразвуковые

волны слабо рассеиваются на небольших неоднородностях и поэтому могут распространяться на большие расстояния. С помощью инфразвуковых волн, распространяющихся в земной коре, можно регистрировать землетрясения и взрывы вдали от эпицентра. Ультразвуковые волны, напротив, не огибают даже сравнительно малые предметы (размером несколько сантиметров), частично отражаясь от них. Их используют в дефектоскопии, гидролокации, в медицине для диагностики заболеваний внутренних органов (УЗИ – ультразвуковое исследование), а также дляультразвуковой терапии.

Энергия упругих волн. Упругая среда, в которой распространяется волна, обладает как потенциальной (энергия упругих деформаций), так и кинетической (энергия движения частиц среды) энергией. Эта энергия называется энергией волны.

Плотность энергии продольной упругой плоской волны, рас-

пространяющейся по оси x. Кинетическая энергия элемента среды объемом V такова:

ρΔV ∂ξ 2

WК = ∂t , (25) 2

13

где ρ – плотность среды; ∂ξ∂t – скорость частиц среды.

Потенциальная энергия элемента V может быть найдена из общей формулы для потенциальной энергии упругой деформации

где χ – жесткость; l – удлинение упругого элемента. Так как из закона Гука (18) следует

Аналогичная формула для поперечной волны получается заменой модуля Юнга E на модуль сдвига G.

Если плоская волна монохроматическая, то

ξ(x, t )= Acos(ωt −kx),

скорость частиц среды

∂ξ∂t = −Aωsin (ωt −kx),

деформация

ε = ∂ξ∂x = −Ak sin (ωt −kx)

14

и плотность энергии

w = A22 (ρω2 + Ek 2 )sin2 (ωt −kx),

Отметим, что плотность энергии волны пропорциональна квадрату ее амплитуды, что свойственно волнам любой физической природы.

Практическое значение имеет среднее во времени значение плотности энергии.

Среднее значение плотности энергии за период T = 2πω

дикулярную скорости волны, пройдут только те возмущения, которые находятся в объеме V = υΔt S, перенеся с собой энергию,

заключенную в этом объеме:

W = w V .

Энергия, переносимая бегущей волной за единицу времени через единичную перпендикулярную площадку, называется плотно-

стью потока энергии,

15

где jn – проекция вектора Умова на нормаль к поверхности.

Среднее во времени значение плотности потока энергии назы-

вается интенсивностью волны I,

Единица интенсивности в СИ – ватт на квадратный метр (Вт/м2). Звуковые волны принято характеризовать уровнем интенсив-

ности L, измеряемым в децибелах (дБ), который вычисляют по формуле

где I0 – порог слышимости, I0 =10−12 Втм2. При I = I0 уровень интенсивности L = 0. Звуки голоса средней громкости примерно соответствуют 60 дБ. Если I ~ 1…10 Втм2, звуковая волна вызывает у человека ощущение боли, при этом L ~ 120…130 дБ.

5. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 5.1

Поперечная гармоническая волна распространяется вдоль упругого шнура со скоростью υ =10 м/с. Период колебаний точек шнура T =1 с, амплитуда A =3 см. Определите: 1) длину волны λ;

2) фазу колебаний, смещение ξ, скорость ξ и ускорение ξ точки,

отстоящей на расстояние x =10 м от источника в момент времени t =5 с; 3) разность фаз ϕ колебаний двух точек, находящихся

Решение

1. Уравнение волны

ξ = Acos(ωt −kx),

16

Смещение точки

ξ =3cos8π =3 см,

скорость точки

ξ= −Aωsin ϕ = 0 см/с,

ускорение точки

ξ= −Aω2 cos ϕ = −12 π2 см/с2,

ξ≈ −118, 4 см/с2.

3.Разность фаз Δϕ колебаний двух точек волны связана с расстоянием x между этими точками соотношением

– в этом случае, когда смещение одной точки достигает максимума, у второй оно равно нулю.

17

Задача 5.2

Формула плоской упругой волны имеет вид

ξ = 8sin (1000t −1,57x),

где ξ – в мкм, t – в с, x – в м. Найдите: а) отношение амплитуды

смещения частиц среды к длине волны; б) амплитуду колебаний скорости частиц среды и ее отношение к скорости распространения волны; в) амплитуду колебаний относительной деформации среды и ее связь с амплитудой колебаний скорости частиц среды.

Решение

а. Из формулы ξ = Asin (ωt −kx)следует, что амплитуда смещения частиц A =8 мкм, k =1,57м−1, отсюда

λ = 2kπ ≈ 4 м

и

λA = 2 10−6.

б. Скорость частиц среды

ξ = Aωcos(ωt −kx),

отсюда амплитуда скорости

ξmax = Aω=8 10−6 1000 =8 10−3 мc,

фазовая скорость волны

υ= ωk = 637 мc.

Отношение

ξmaxυ = Ak =12,56 10−6.

в. Деформация

ε = ∂ξ∂x = −Ak cos(ωt −kx).

18

Амплитуда колебаний деформации

εmax = Ak =12,56 10−6.

Отношение амплитуды скорости частиц ξmax и амплитуды колебаний деформации εmax

ξmax = υ

εmax

есть фазовая скорость волны.

Задача 5.3

Найдите число возможных собственных колебаний (гармоник) столба воздуха в трубе (рис. 6) в звуковом диапазоне (20 Гц< ν < < 20 кГц), если труба закрыта с одного конца. Длина трубы l = 25 см. Скорость звука υ =340 м/с.

l

x

Рис. 6. Труба длиной l

Решение

В трубе возникают стоячие волны таким образом, что на закрытом конце (x = 0) образуется узел, а на открытом (x =l) –

пучность. Формула стоячей волны в данном случае имеет вид

ξ(x, t )= A(x)sin ωt = ξmax sin kxsin ωt.

Условие образования узла в x = 0 выполнено, а условие образования пучности в точке x =l имеет вид

A(l )= ξmax sin kl = ±ξmax ,

отсюда

19

т. е. на длине трубы должно укладываться нечетное число четвер-

Рис. 7. Гармоническая волна в трубе (для первых трех гармоник)

Для ν = υλ имеем

ν= υ2πk ,

νn = 2υl 12 + n .

Основная частота ν0 = 4υl =340 Гц попадает в звуковой диапа-

зон, а для максимального значения, удовлетворяющего неравенству νn < 20000 Гц, получим

340(2n +1)< 20000,

откуда

nmax = 28.

Следовательно, число возможных гармоник звукового диапазона равно 29.

20