Тема 2. Теоремы сложения и умножения

ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Теорема 1. (Сложение вероятностей несовместных событий). Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме веро­ятностей каждого события: Р(А + В) = Р(А) + Р(В).

Теорема 2. Сумма вероятностей полной группы несовместных событий равна единице, =1.

Следствие. Р(А) + Р( ) = 1, Р(А) = р, Р( ) = q ; p + q = 1.

Два события называются совместными, если появление одно­го из них не исключает появление другого в одном и том же испыта­нии.

Теорема 3. Вероятность суммы совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления, Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(А ּ В).

Событие А называется независимым от события В, если веро­ятность события А не зависит от того, произошло или не произошло событие В. Несколько событий называются попарно независимыми, если каждые два из них независимы. Несколько событий называются независимыми в совокупности, если каждое из них или любая ком­бинация остальных событий - есть события независимые.

Теорема 4 (умножение вероятностей независимых событий). Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей каждого события: Р(А ּ В) = Р(А) ּ Р(В).

Условной вероятностью Р(А / В) события А при условии, что произошло событие В, называется число, равное .

Теорема 5 (вероятность произведения зависимых событий). Вероятность произведения двух зависимых событий равна произве­дению вероятности одного из них на условную вероятность другого:

Р(А ּ В) = Р(А) ּ Р(В / А) = Р(В) ּ Р(А / В).

Теорема 6. Вероятность появления хотя бы одного из событий А₁, А₂, ... , А_п, независимых в совокупности, равна разности между еди­ницей и произведением вероятностей противоположных событий:

Р{А₁ + А₂ + … + А„) =1- Р( )ּ Р( )ּ ...ּ Р( ).

Пример 1. Предприятие выпускает 23 % изделий высшего сорта и 68 % изделий первого сорта. Найти вероятность того, что случайно взятое изделие окажется первого или высшего сорта.

Решение. Пусть А₁- событие, состоящее в том, что взятое из­делие высшего сорта; А₂ - событие, состоящее в том, что взятое изделие первого сорта: Р(А₁) = 0,23 ; Р(А₂) = 0,68. Событие А - изделие высшего и первого сорта, А=А₁+А₂, причем А₁ и А₂ не­совместные события. Тогда

Р(А) = Р(А₁+А₂) = Р(А₁) + Р(А₂) = 0,23 + 0,68 = 0,91.

Пример 2. Из 12 билетов, пронумерованных от 1 до 12, один за другим (без возвращения) выбирают 2 билета. Какова вероятность того, что номера этих билетов четные?

Решение. Обозначим через А событие, состоящее в том, что выбранные 2 билета имеют четные номера, а через А₁ и А₂ - собы­тия, состоящие в том, что выбранные первый и второй билеты четные. Тогда А = А₁ ּ А₂. События А₁ и А₂ зависимы, поскольку вероятность события А₂ зависит от того, происходило ли событие А₁ или нет. Действительно, в первом случае такая вероятность равна 6/12, во втором 5/11. Приме­нив теорему 5, получим

Р(А) = Р(А₁ А₂) = Р(А₁ )Р(А₂1 А₁)= =6/12ּ5/11=5/22.

ЗАДАНИЕ 2. Найти вероятности указанных событий, пользу­ясь правилами сложения и умножения вероятностей.

1. Три станка работают независимо. Вероятность того, что первый станок в течение смены выйдет из строя, равна 0,1. Для второго и третьего станков эта вероятности равны соответственно 0,15 и 0,25. Найти вероятность того, что в течение смены выйдет из строя хо­тя бы один станок.

2. Найти вероятность того, что откажут не менее двух из трех неза­висимо работающих элементов вычислительного устройства, ес­ли вероятности отказа первого, второго и третьего элементов равны 0,25; 0,35; 0,3.

3. Найти вероятность безотказной работы производственной систе­мы, изображенной на рисунке, если Р(А) = 0,8,

Р(В) = 0,7, Р(С) = 0,9.

4. Найти вероятность безотказной работы производственной систе­мы, указанной на рисунке, если она работает даже при работе хо­тя бы одного из параллельно включенных элементов, а вероятно­сти безотказной работы элементов соответственно равны: Р(А) = 0,75, Р(В) = 0,65 Р(С) = 0,9.

5. Найти вероятность безотказной работы производственной систе­мы, изображенной на рисунке, если она работает даже при работе хотя бы одного из параллельно включенных элементов, а вероят­ности безотказной работы элементов соответственно равны: Р(А) = 0,9, Р(В) = 0,7, Р(С) = 0,7, P(D) = 0,8.

6. Найти вероятность того, что откажут два из трех независимо ра­ботающих элементов вычислительного устройства, если вероят­ности отказа первого, второго и третьего элемента соответственно равна 0,3, 0,5, 0,4.

7. Найти вероятность работы производственной системы, изображенной на рисунке, если она работает даже при работе хотя бы одного из параллельно включенных элементов, а вероятности без­отказной работы элементов соответственно равны Р(А)= 0,9, Р(B) = 0,8, Р(С) = 0,86, P(D) = 0,7.

6. См. задачу 7, положив вероятности равными Р(А)= 0,7, Р(B) = 0,8, Р(С) = 0,9, P(D) = 0,75.

9. В клетке 8 белых и 4 серые мыши. Для лабораторного исследова­ния случайно отбирают 3 мышей, не возвращая обратно. Найти вероятность, что все три мыши белые.

10. В стаде 14 коров, из которых 3 поражены болезнью в скрытой форме. Из стада отбирают двух животных. Найти вероятность то­го, что одно животное окажется больным.

11. В клетке 8 морских свинок. Трое из них страдают нарушением обмена минеральных солей. Последовательно без возвращения достают 3 животных. Какова вероятность, что они здоровы?

12. В пруду содержатся 12 карасей , 18 лещей и 10 карпов. Выловили три рыбы. Найти вероятность того, что выловили последовательно 2 карпов а потом карася.

13.В стаде 12 коров, из них 4 — симментальской породы, остальные - галштино-фризтской породы. Для селекционной работы отобрали трех животных. Найти вероятность того, что среди них все три симментальской породы.

14.На ипподроме содержатся 10 гнедых лошадей, 3 - серых в яблоко и 7 белых. Для забега случайным образом отобраны 2 лошади. Какова вероятность того, что среди них нет белой лошади?

15.В питомнике содержатся 9 собак, из них 3 колли, 2 боксера, ос­тальные - доги. Случайным образом отбирают трех собак. Какова вероятность того, что среди них хотя бы один боксер?

16.Средний приплод животных равен 4. Появление особей женского и мужского пола равно вероятно. Найти вероятность того, что в приплоде две особи мужского пола?

17.В пакете находятся семена, всхожесть которых равна 0,85. Веро­ятность того, что растение зацветет, равна 0,9. Какова вероят­ность того, что растение, выросшее из наугад взятого семени за­цветет?

18. В пакете находятся семена бобов, всхожесть которых равна 0,9. Вероятность того, что цветы бобов будут красного цвета, равна 0,3. Какова вероятность того, что растение из выбранного наугад семени будет иметь красные цветы?

19.Вероятность того, что случайно выбранный человек в течение следующего месяца попадет в больницу, равна 0,01. Какова веро­ятность того, что из трех случайно выбранных на улице людей в течение следующего месяца в точности один будет положен в больницу.

20.Доярка обслуживает 4 коровы. Вероятность заболеть маститом в течение месяца для первой коровы равна 0,1; для второй - 0,2; для третьей — 0,2; для четвертой 0,15. Найти вероятность того, что в течение месяца хотя бы одна корова заболеет маститом.

21.Четыре охотника договорились стрелять по дичи по очереди. Следующий охотник производит выстрел лишь в случае промаха предыдущего. Вероятности попадания в цель каждым из охотни­ков одинаковы и равны 0,8. Найти вероятность того, что будет произведено три выстрела.

22.Студент изучает химию, математику и биологию. Он оценивает, что вероятности получить «отлично» по этим курсам равны со­ответственно 0,5; 0,3 и 0,4. В предположении, что оценки по этим курсам независимы, найти вероятность, что он не получит ни од­ной оценки « отлично»?

23.Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Какова вероятность того, что он знает все три вопроса программы, предложенные ему экзаменатором?

24. Два охотника стреляют в волка, причем каждый делает по одному выстрелу. Для первого охотника вероятность попадания в цель 0,7, для второго - 0,8. Какова вероятность попадания в волка хотя бы при одном выстреле?

25.Вероятность попадания в мишень при трех выстрелах хотя бы один раз для некоторого стрелка равна 0,875. Найти вероятность попадания при одном выстреле.

26. Из стада отбирают высокопродуктивных коров. Вероятность то­го, что случайно отобранное животное окажется высокопродук­тивным, равна 0,2. Найти вероятность того, что из трех отобран­ных коров только две будут высокопродуктивными.

27.В первой клетке 3 белых и 4 серых кролика, во второй клетке 7 белых и 5 черных кроликов. Из каждой клетке наудачу взяли по одному кролику. Какова вероятность, что оба кролика белые?

28.Изучалась эффективность двух вакцин на группе животных. Обе вакцины могут вызывать аллергию у животных с равными веро­ятностями 0,2. Найти вероятность того, что вакцины не вызовут аллергию.

29.В семье трое детей. Принимая события, состоящие в рождении мальчика и девочки равновероятными, найти вероятность того, что в семье все дети одного пола.

30.Вероятность установления в данной местности устойчивого снежного покрова с октября равна 0,1. Определить вероятность того, что в ближайшие три года в этой местности устойчивый снежный покров с октября установится, по крайней мере, один раз.