Решение типовых примеров

Пример 4.1. На столе лежат буквы: «Б», «У», «К», «В», «А». Ребенок наугад приставляет их одна к другой. Вычислить вероятность того, что он сложит слово «БУКВА», пользуясь классическим определением вероятности.

Решение.

Всего на столе лежит 5 букв. Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов соединения имеющихся букв (числу перестановок).

На 1-е место можно поставить любую из 5-ти букв. На 2-е место к каждой из этих букв можно поставить любую из оставшихся 4-х букв. Таким образом, двухбуквенных «слов» можно составить .

На 3-е место к каждому из двухбуквенных «слов» можно приставить любую из оставшихся 3-х букв. На 4-е место – любую из оставшихся 2-х букв. Претендентом на 5-е место остается только одна буква.

Следовательно, общее число элементарных исходов n, равное числу пятибуквенных сочетаний из имеющихся букв, будет равно

.

И только одно сочетание данных букв будет представлять собой слово «БУКВА». Следовательно, число благоприятных исходов .

Искомая вероятность по формуле (1.1) равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию m, к числу всех исходов n

.

Тема 5. Сумма и произведение событий. Сложение и умножение вероятностей

Прежде чем приниматься за решение задач следует прочно усвоить понятия суммы и произведения событий, запомнить формулы сложения и умножения вероятностей. Особое внимание следует обратить на то, что словосочетание «хотя бы одно» означает «больше или равно одному».

Суммой событий А и В называют событие, состоящее в появлении хотя бы одного из слагаемых событий А или В. Сумма событий обозначается как или .

Произведением событий А и В называется событие, состоящее в совместном появлении событий-множителей: и А и В. Произведение событий обозначается как или .

Сложение вероятностей совместных событий

Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий, равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления

(5.1)

Сложение вероятностей несовместных событий

Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий

(5.2)

Следствие 1. Для противоположных событий их сумма есть достоверное событие, а произведение – невозможное событие

; . (5.3)

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице

. (5.4)

Умножение вероятностей

Вероятность совместного появления двух произвольных событий равна произведению вероятности одного из них на вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие уже произошло

. (5.5)

В частности, вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий

. (5.6)

Следствие. Вероятность совместного появления нескольких произвольных событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже наступили

(5.7)

где – вероятность события , вычисленная в предположении, что события уже наступили.

В частности, вероятность совместного появления нескольких независимых в совокупности событий равна произведению вероятностей этих событий

. (5.8)