Тема 3. Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве
В ЗАДАЧАХ 21 - 30 даны координаты вершин пирамиды .
Требуется: 1) записать векторы , , в системе орт , , и найти модули этих векторов; 2) найти угол между векторами , ; 3) найти проекцию вектора на вектор ; 4) найти площадь грани ; 5) найти объем пирамиды ; 6) составить уравнение ребра ; 7) составить уравнение грани .
21. |
(1; 2; 1), |
(–1; 5; 1), |
(–1; 2; 7), |
(1; 5; 9). |
22. |
(2; 3; 2), |
(0; 6; 2), |
(0; 3; 8), |
(2; 6; 10). |
23. |
(0; 3; 2), |
(–2; 6; 2), |
(–2; 3; 8), |
(0; 6; 10). |
24. |
(2; 1; 2), |
(0; 4; 2), |
(0; 1; 8), |
(2; 4; 10). |
25. |
(2; 3; 0), |
(0; 6; 0), |
(0; 3; 6), |
(2; 6; 8). |
26. |
(2; 2; 1), |
(0; 5; 1), |
(0; 2; 7), |
(2; 5; 9). |
27. |
(1; 3; 1), |
(–1; 6; 1), |
(–1; 3; 7), |
(1; 6; 9). |
28. |
(1; 2; 2), |
(–1; 5; 2), |
(–1; 2; 8), |
(1; 5; 10). |
29. |
(2; 3; 1), |
(0; 6; 1), |
(0; 3; 7), |
(2; 6; 9). |
30. |
(2; 2; 2), |
(0; 5; 2), |
(0; 2; 8), |
(2; 5; 10). |
РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ПРИМЕРА. Пусть
1. Известно, что произвольный вектор представляется в системе орт , , по формуле
, (1)
где – координаты вектора в системе координат , порожденной ортами, причем
.
Если заданы точки и , то
. (2)
Воспользовавшись формулой (2) и координатами заданных точек, получим
Если вектор задан формулой (1), то его модуль вычисляется следующим образом:
. (3)
Используя формулу (3), получаем модули найденных векторов:
2. Известна формула
,
где – скалярное произведение векторов и , которое можно вычислить следующим образом:
У нас
то есть .
3. Известно, что
,
то есть в нашем случае
4. Воспользуемся формулой для нахождения площади треугольника, построенного на векторах и ,
где – векторное произведение векторов, которое можно вычислить по следующему правилу:
.
В нашем примере , причем
Таким образом,
(кв. ед.).
5. Объем пирамиды, построенной на трех некомпланарных векторах , можно найти по формуле
,
где – смешанное произведение векторов, которое вычисляется следующим образом:
.
У нас , где
то есть (куб. ед.).
6. Известно, что уравнения прямой, проходящей через две заданные точки пространства и , имеют вид
. (4)
Подставив в (4) координаты точек и , получаем
то есть уравнение ребра окончательно запишется следующим образом:
7. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки , можно записать в виде
.
Подставляя в него координаты точек , получаем
Отсюда