§1.7. Контур с током в магнитном поле

Рассмотрим прямоугольный контур площадью S с током в однородном магнитном поле. Пусть сначала магнитный момент контура перпендикулярен линиям магнитной индукции (рис.15).

а) б)

Рис.15

а) плоскость контура параллельна линиям магнитной индукции

б) плоскость контура перпендикулярна магнитной индукции

В этом случае на стороны а действуют силы Ампера , стремящиеся повернуть контур так, чтобы его магнитный момент совпал с направлением линий индукции . Таким образом, на контур действует пара сил с некоторым вращательным моментом М. Предположим, что под действием этого момента контур поворачивается на элементарный угол dα, тогда работа сил Ампера будет равна

dA=Mdα. (1.26).

Эту работу можно рассчитать и по формуле (1.24), поэтому Mdα=IdФ, где dФ=BSsinαdα (Ф=BScosα), тогда Mdα=ISBsinαdα, откуда M=p_mBsinα. (1.27).

Уравнение (1.27) можно представить в векторной форме

. (1.28).

Полученный результат не зависит от формы контура и формула (1.28) справедлива не только для прямоугольного контура, но и для контура произвольной формы.

В однородном магнитном поле контур с током под действием вращательного момента будет поворачиваться до тех пор, пока не займёт положение устойчивого равновесия. При этом на стороны контура будут действовать силы, стремящиеся разорвать контур. В этом случае вращательный момент и вектора и становятся сонаправленными.

Рассмотрим неоднородное магнитное поле, в котором контур уже повернулся так, что линии магнитной индукции симметричны относительно вектора магнитного момента контура (рис.16).

Рис.16.

Из рис.16 видно, что горизонтальные составляющие векторов вызывают появление сил растягивающих контур, и составляющие - к появлению сил , стремящихся перемещать контур в область более сильного поля. Если вектор антипараллелен вектору , то контур будет выталкиваться в область более слабого поля.

Силу, действующую в этом случае на контур, можно определить обычным приёмом. Предположим, что контур перемещается в направлении оси х на элементарный отрезок dx. При этом измениние магнитного потока через контур площадью S составит: , а в то же время сила F совершит работу

.

Следовательно, сила F, действующая на контур равна

, (1.29)

т.е. сила пропорциональна быстроте изменения магнитной индукции в рассматриваемом направлении.

§8 Сила Лоренца. Движение заряженных частиц в магнитном

поле

На заряженную частицу, движущуюся с некоторой скоростью в электрическом и магнитном поле, действует сила:

. (1.30)

Эта сила называется силой Лоренца. Она состоит из двух составляющих электрической и магнитной сил. Сила, действующая на заряд q со стороны электрического поля равна

. (1.31)

Магнитную составляющую определим из силы Ампера (1.22):

. Эту силу можно рассматривать как результирующую магнитных сил , действующих со стороны магнитного поля на движущиеся электрические заряды в элементарном объёме проводника dV.

, где n-концентрация свободных зарядов, dV=Sdl (S-площадь поперечного сечения проводника).

Сила тока при средней скорости упорядоченного движения зарядов , равна , где S-поперечное сечение проводника.

Учитывая, что векторы q и Id сонаправлены, сила Ампера принимает вид

,

где dN-число зарядов в элементарном объёме проводника dV=Sdl. Силу Ампера можно рассматривать как результирующую магнитных сил , действующих со стороны магнитного поля на движущиеся заряды в объёме проводника dV: .

Поэтому, сила , действующая на движущийся заряд в магнитном поле, равна

. (1.32)

Таким образом, полная сила Лоренца равна

. (1.33)

Направление магнитной составляющей силы Лоренца определяют по правилу левой руки (рис.17).

Рис.17. Сила, действующая на движущийся положительный и отрицательный электрические заряды.

Так как перпендикулярна к скорости частицы, то она работы не совершает и не изменяет кинетическую энергию частицы.

Предположим, что в однородное магнитное поле с индукцией влетает положительно заряженная частица с начальной скоростью , перпендикулярной линиям индукции (рис.18). На частицу будет действовать сила Лоренца, равная магнитной составляющей: .

Рис.18 .

Под действием этой силы частица будет двигаться по окружности радиусом R с постоянной по модулю скоростью и центростремительным ускорением . По второму закону Ньютона , отсюда

, (1.34)

т.е. радиус окружности тем меньше, чем больше индукция.

Данное движение обладает важной особенностью: циклическая частота обращения не зависит от энергии частицы. Действительно, частота обращения равна

, (1.35)

где - период обращения, учитывая (1.34), можно записать

. (1.36)

Подставляя в (1.35) вместо Т его выражение (1.36), получим

. (1.37)

Эта частота называется циклотронной и для данного рода частиц зависит только от магнитной индукции.

Предположим, что положительно заряженная частица влетает со скоростью в однородное магнитное поле под углом α к линиям индукции (рис.19).

Рис.19.

В этом случае скорость можно разложить на нормальную составляющую и составляющую вдоль линий индукции . На частицу будет действовать магнитная составляющая силы Лоренца, обусловленная составляющей . Эта сила заставляет частицу двигаться по окружности. С другой стороны, составляющая не вызывает появление дополнительной силы. Поэтому частица в направлении индукции движется равномерно. Благодаря сложению обоих движений частица будет двигаться по цилиндрической спирали (винтовой линии) (рис.19). Шаг винта данной спирали , подставляя вместо Т его выражение ( 1.36), получим

. (1.38)