Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Владимирский государственный университет им. Столетовых

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2953

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.11.2022

Размер:

457 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>

9. НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Говорят, что непрерывная случайная величина X распределена по нормальному закону, если ее плотность вероятности задается равенством

			1	1		( x a)2
		f (x)	1	1	e	2	2	.
		f (x)	2		e	2		.
			2
Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение
случайной величины X равны соответственно M ( X ) a ,											( X ) .
Вероятность попадания случайной величины									X на интервал				( , )
		a		a						1	x	2
равна	p( X )					,	где		(x)		e t		/ 2dt
равна	p( X )					,	где		(x)		e t		/ 2dt
										2

нормальная функция распределения.

Пример. Непрерывная случайная величина X распределена по нормальному закону с математическим ожиданием a и средним квадратическим отклонением . Вероятность попадания этой случайной величины на интервал (a 0,804; a 0,804) равна p1 0,8198 , а

вероятность попадания на интервал (a; 3,732) равна p2 0,4573 .

Требуется найти параметры a и , а также вероятность попадания этой случайной величины на интервал (2,4; 3,4) .

Решение. Имеем

p a						0,804		0,804
p a		0,804 X a 0,804

	2	0,804	1	0,8198	, т.е.	0,804	0,9099 .		По таблице значений
	2		1	0,8198

функции (x) находим, что (x) 0,9099 при x 1,34 . Таким образом,

0,804	1,34	и 0,6. Далее		3,732 a	0
			p a X 3,732

3,732 a	0,5	0,4573. Следовательно,	3,732 a	0,9573.
0,6			0,6

По таблице значений функции (x) находим, что (x) 0,9573 при x 1,72 . Отсюда a 2,7 . Осталось найти вероятность попадания слу-

чайной величины X на интервал (2,4; 3,4) . Имеем

	3,4 2,7	2,4 2,7	(1,17) ( 0,5)
p 2,4 X 3,4	0,6	0,6

(1,17) (0,5) 1 0,879 0,6915 1 0,57 .

Задачи для самостоятельного решения

В предлагаемых ниже задачах непрерывная случайная величина X распределена по нормальному закону с математическим ожиданием a и средним квадратическим отклонением . Вероятность попадания этой случайной величины на интервал (a c; a c) равна p1 , а

вероятность попадания на интервал (a; b) равна p2 . Требуется найти

параметры a и , а также вероятность попадания этой случайной величины на интервал ( ; ) .

9.1.c 0,06 , b 3,95,

4 ,

9.3.c 0,61, b 4,52,3,5 ,

9.5.c 0,405, b 3,895 ,3,2 ,

9.7.c 0,07 , b 1,36,1,2 ,

9.9.c 0,288, b 1,787 ,1,2 ,

9.11. c 0,484 ,

b2,872 ,

2,2 ,

p1 0,2358,	9.2. c 0,11,
p2 0,0987,	b 2,285,
4,4 .	2,1,
p1 0,7776,	9.4. c 0,28 ,
p2 0,4671,	b 2,452 ,
4,4 .	2 ,
p1 0,823 ,	9.6. c 0,23 ,
p2 0,4505,	b 1,793,
3,8.	1,8 ,
p1 0,516,	9.8. c 0,552,
p2 0,2257 ,	b 2,29 ,
1,4 .	2,1,
p1 0,251,	9.10. c 0,136 ,
p2 0,1664 ,	b 3,18 ,
2,1.	1,2 ,
p1 0,7738 ,	9.12. c 1,224 ,
p2 0,4236 ,	b 4,158 ,
2,9.	2,5 ,
	42

p1 0,7286, p2 0,3023,

2,3.

p1 0,8384 , p2 0,4608,

2,4 .

p1 0,3182 , p2 0,1217 ,

2,3.

p1 0,6424, p2 0,0596 ,

2,8 .

p1 0,135 , p2 0,4821,

1,9 .

p1 0,8262 ,

p2 0,4474 ,

3,6

9.13.c 1,136, b 4,836 ,3,5 ,

9.15. c 1,74

b4,352 ,

3,7 ,

9.17.c 0,1,

b1,62 ,

1,2 ,

9.19.c 0,04 , b 1,32,1,4 ,

9.21.c 2,42 , b 2,922 ,1,5,

9.23.c 1,44, b 3,78 ,

2 ,

9.25.c 0,064, b 3,24 ,

p1 0,8444 ,	9.14. c 1,029 ,
p2 0,4222 ,	b 3,545 ,
4,4 .	3,2 ,
p1 0,853 ,	9.16. c 0,66 ,
p2 0,1772 ,	b 3,31,
5,7 .	3,
p1 0,0796,	9.18. c 0,065,
p2 0,1985 ,	b 2,59,
3,2 .	2,5 ,
p1 0,1586 ,	9.20. c 0,088,
p2 0,2257 ,	b 1,808 ,
1,6 .	1,7 ,
p1 0,9722 ,	9.22. c 1,69 ,
p2 0,3461,	b 3,72 ,
3,1.	2 ,
p1 0,7698 ,	9.24. c 0,195 ,
p2 0,4192 ,	b 4,28 ,
4,5.	3,4 ,
p1 0,1272 ,	9.26. c 0,147 ,
p2 0,3023,	b 2,925 ,
3,7 .	2,5 ,

p1 0,8584 , p2 0,1368 ,

4,5.

p1 0,8132 , p2 0,0871,

4,1.

p1 0,1034 , p2 0,219 ,

p1 0,1742 , p2 0,1985 ,

2,2 .

p1 0,8064 , p2 0,4192 ,

3,4 .

p1 0,1192 , p2 0,2257 ,

4,8 .

p1 0,1664 , p2 0,2734 ,

4,3.

10. НЕПРЕРЫВНЫЕ ДВУМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Кроме одномерных случайных величин изучают величины, возможные значения которых определяются двумя, тремя, …, n числами. Такие величины называют соответственно двумерными, трехмерными, …, n-мерными. Двумерную величину обозначают X ,Y . Аналогично тому, как вводилась функция распределения одной случайной величины, можно определить функцию распределения двумерной случайной величины.

Функцией распределения F(x, y) двумерной случайной величины

X ,Y	называется	функция, определяемая	равенством	F(x, y)
p X	x, Y y .	Непрерывную двумерной	случайной	величины
X , Y	можно задать с помощью плотности распределения. Плотно-

стью совместного распределения вероятностей f (x, y) непрерывной

двумерной случайной величины называют вторую смешанную производную от функции распределения, т.е. f (x, y) Fxy (x, y). Плотность

распределения является неотрицательной функцией и для нее выполняется равенство


	f (x, y)dxdy 1.

Вероятность попадания случайной точки (x, y) в область D вы-
числяется по формуле p (x, y) D f (x, y)dxdy .
	D
Плотности распределения составляющихX и Y , входящих в си-
	X , Y , вычисляются по формулам:
стему	X , Y , вычисляются по формулам:	f1 (x) f (x, y)dy ;

f2 ( y)
f2 ( y)	f (x, y)dx . Условной плотностью y (x)	распределения со-

ставляющей X при заданном значении Y y называется отношение плотности совместного распределения f (x, y) к плотности распреде-

ления составляющей Y:	y (x)	f (x, y)	. Аналогично определяется
		f2 ( y)

условная плотность x ( y)	распределения составляющей Y при задан-

ном значении X x : x ( y) f (x, y) . Как и любая плотность распре- f1 (x)

деления, условная плотность обладает свойствами:

y (x) 0 , y (x)dx 1;

x ( y) 0 , x ( y)dy 1.

Случайные величины X и Y называются независимыми, если закон распределения каждой из них не зависит от того, какое значение

приняла другая; в противном случае случайные величины	X и Y
называются зависимыми. Для независимых случайных	величин
f (x, y) f1(x) f2 ( y) .

Зная плотности распределения составляющих X и Y непрерывной двумерной случайной величины, можно найти их математические ожидания и дисперсии:


M ( X )	x f1	(x)dx ,	M (Y )		y f2 ( y)dy ;

						x2 f1(x)dx M 2 (X );
D( X )	x M (X ) 2			f1(x)dx		x2 f1(x)dx M 2 (X );

				f2 ( y)dy		y2 f2 ( y)dy M 2 (Y ).
D(Y )	y M (Y ) 2			f2 ( y)dy		y2 f2 ( y)dy M 2 (Y ).

Иногда удобнее использовать формулы, содержащие двумерную плотность вероятности:


M ( X )		x	f (x, y)dxdy , M (Y )			y f (x, y)dxdy ;

	x	M ( X ) 2			x2	f (x, y)dxdy M 2 (X ) ;
D(X )				f (x, y)dxdy

	y	M (Y ) 2			y2	f (x, y)dxdy M 2 (Y ).
D(Y )				f (x, y)dxdy

Корреляционным			моментом xy (или ковариацией) системы

(X , Y ) называется математическое ожидание произведения отклоне-

ний этих величин:

xy M (X M (X )) (Y M (Y )) .

Для вычисления корреляционного момента непрерывных случайных величин используют формулы:


xy	x M (X ) y M (Y ) f (x, y)dxdy,

или xy xy f (x, y)dxdy M ( X )M (Y ).

Корреляционный момент служит для характеристики связи между величинами X и Y . Корреляционный момент двух независимых случайных величин равен 0.

Коэффициентом корреляции rxy случайных величин X и Y назы-

вается отношение корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений:

rxy xy .

x y

Две случайные величины называются коррелированными, если их корреляционный момент (или коэффициент корреляции) не равен 0, и

некоррелированными,	если xy	0 . Две коррелированные величины
также и зависимы. Обратное утверждение не всегда имеет место.
Пример. Множество G на		плоскости задается		неравенствами:
0 x 1, x2 y 1.				величин X , Y
Плотность распределения системы случайных
ax3 y2 ,	(x, y) G,		Найти параметр a, плотности рас-
равна f (x, y)	(x, y) G.
0,

пределения отдельных величин X и Y , входящих в систему; условные плотности распределения составляющих; вероятность попадания

случайной величины X , Y в область x 12 ; найти ковариацию и ко-

эффициент корреляции. Выяснить, являются ли величины X и Y независимыми.

Решение. Область G изображена на рисунке.

Параметр a находим из равенства a x3 y 2 dxdy 1, имеем

												G
	1	x3dx	1	y2dy a	1	x3dx	y3	1		1	x3		1	x6		a	x4		x10	1	a	.
	1		1		1		y3	1		1			1	x6		a	x4		x10	1	a
1 a									a						dx
1 a									a						dx
							3						3	3		3		4	10		20
	0		x 2		0			x 2		0			3	3		3		4	10	0	20

Следовательно, a 20 . Далее

f (x)	f (x, y)dy					20x3 y2dy 20 x3 y3									1		20 x3 1 x6
f (x)	f (x, y)dy					20x3 y2dy 20 x3 y3									1		20 x3 1 x6
						1
1					x 2						3					x 2		3


при 0 x 1,
f1 (x) 0 при остальных значениях x.
f2 ( y)							y									y
f2 ( y)		f (x, y)dx					20x3 y			2dx 5y2 x4						y	5y4 при					0 y 1,
						0								0
						0								0
f2 ( y) 0 при прочих значениях y.
y (x)		f (x, y)			20x3 y			2	4	x3		в G, y (x) 0							вне G.
y (x)		f2 ( y)			5y4				4	y2		в G, y (x) 0							вне G.
		f2 ( y)			5y4					y2
x ( y)		f (x, y)			60x3 y2							3y2	в G,				x ( y) 0 вне G.
x ( y)		f1 (x)			20x3 1 x6						1 x6		в G,				x ( y) 0 вне G.
		f1 (x)			20x3 1 x6						1 x6
						20 1 4					10		20			x5				x11	1		8
						20 1 4					10		20			x5				x11	1		8
M ( X ) x f1(x)dx								x x dx																.

						3							3				5						11
						3		0					3				5			11	0		11
						1														11	0
M (Y )		y f2	( y)dy 5y5dy 5 .
xy						0				6							4dx y3dy 20
xy		xy f	(x, y)dxdy M ( X )M (Y ) 20 x														4dx y3dy 20
													1					1
													0					x	2			33
5 x4 1	x8 dx 20 4 .																	x
1
				33
0		x2	f	33			429					20 x5	x11				dx 64 29 ,
D( X )		x2	f	(x)dx M 2 (X )								20 x5	x11				dx 64 29 ,
											1
			1
			1								3 0								121			1089
											3 0								121			1089

тогда x D(X ) 0,163.

							2			2		1			6			25				5
D(Y )						y			f2 ( y)dy M		(Y )	5 y					dy							,
D(Y )						y			f2 ( y)dy M		(Y )	5 y					dy	36			252			,
												0						36			252
а y					D(Y ) 0,141.
r			xy				0,406 . Так как коэффициент корреляции не равен нулю,
r							0,406 . Так как коэффициент корреляции не равен нулю,
xy				x		y
				x		y
то рассматриваемые случайные величины зависимы.
Найдем																							1			dx
	1	x			1, x			2			1 3	1	y	2		dy		20		1	x	3		x	6		1377	0,896
p	2	x			1, x				y 1 20		x	dx	y			dy		3			x			x			1536	0,896
	2									1/ 2		x 2						3	1/ 2								1536

Задачи для самостоятельного решения

В предлагаемых ниже задачах указана плотность распределения f (x, y) системы случайных величин X ,Y . Требуется найти параметр

a , плотности распределения отдельных величин X и Y, входящих в систему; условные плотности распределения составляющих; вероят-

ность попадания случайной величины X ,Y в область x 12 ; найти

ковариацию и коэффициент корреляции. Выяснить, являются ли величины X и Y независимыми.

10.1. G : 0 x 1,	x y x ,
axy,		(x, y) G;
f (x, y)			(x, y) G.
0,
10.3. G : 0 x 1,	x y x3 ,
ax2 ,		(x, y) G;
f (x, y)			(x, y) G.
0,
10.5. G : 0 x 1,	x3		y x,
axy,		(x, y) G;
f (x, y)			(x, y) G.
0,
10.7. G : 0 x 1,	x	y 1,
ax3 y,			(x, y) G;
f (x, y)			(x, y) G.
0,
10.9. G : 0 x 1,	x4 y x ,
axy2 ,			(x, y) G;
f (x, y)			(x, y) G.
0,
10.11. G : 0 x 1, 0 y x ,
ax3 y4		,	(x, y) G;
f (x, y)			(x, y) G.
0,

10.2. G : 0 x 1, x3	y 3 x ,
ax3 y,		(x, y) G;
f (x, y)		(x, y) G.
0,		(x, y) G.
10.4. G : 0 x 1, x4	y 1,
axy3	,	(x, y) G;
f (x, y)		(x, y) G.
0,		(x, y) G.
10.6. G : 0 x 1, x4	y 4 x ,
ax2 ,	(x, y) G;
f (x, y)		(x, y) G.
0,		(x, y) G.
10.8. G : 0 x 1, x4	y x2 ,
ax3 y2 ,		(x, y) G;
f (x, y)		(x, y) G.
0,		(x, y) G.
10.10. G : 0 x 1, 4	x y 1,
axy2 ,		(x, y) G;
f (x, y)		(x, y) G.
0,		(x, y) G.
10.12. G : 0 x 1, x y 3 x2 ,
ay2	,	(x, y) G;
f (x, y)		(x, y) G.
0,		(x, y) G.

10.13. G : 0 x 1, x y 1,

10.14. G : 0 x 1, 0 y 3 x ,

	ax2 ,		(x, y) G;
f (x, y)			(x, y) G.
	0,
10.15. G : 0 x 1,		x2	y	x ,
	ax3 y,		(x, y) G;
f (x, y)			(x, y) G.
	0,
10.17. G :	0 x 1,	0 y x ,
	axy,		(x, y) G;
f (x, y)			(x, y) G.
	0,
10.19. G :	0 x 1,	x4	y x3 ,
	ax2 ,		(x, y) G;
f (x, y)			(x, y) G.
	0,
10.21. G : 0 x 1,		0 y x4 ,
	ay2 ,		(x, y) G;
f (x, y)			(x, y) G.
	0,
10.23. G :	0 x 1,	0 y		x ,
	ax3 y,		(x, y) G;
f (x, y)			(x, y) G.
	0,
10.25. G :	0 x 1,	0 y 3		x2 ,
	axy3 ,		(x, y) G;
f (x, y)			(x, y) G.
	0,


		ax3	,	(x, y) G;
f (x, y)				(x, y) G.
		0,		(x, y) G.
10.16. G :	0	x 1, 3	x	y 1,
		ax3	,	(x, y) G;
f (x, y)				(x, y) G.
		0,		(x, y) G.
10.18. G :	0	x 1, x3 y			x ,
		ax3	,	(x, y) G;
f (x, y)				(x, y) G.
		0,		(x, y) G.
10.20. G :	0	x 1, x4		y 1,
		ax2	,	(x, y) G;
f (x, y)				(x, y) G.
		0,		(x, y) G.
10.22. G :	0	x 1, 3	x2 y 1,
		axy2 ,		(x, y) G;
f (x, y)				(x, y) G.
		0,		(x, y) G.
10.24. G :	0	x 1, 0 y			x ,
		ax3 y,		(x, y) G;
f (x, y)				(x, y) G.
		0,		(x, y) G.

ПРИЛОЖЕНИЕ


									1		x		t2
Таблица 1. Нормальная функция распределения (x)											x
											e		2 dt
										2	e		2 dt
										2

	0	1	2	3	4	5	6	7		8			9
0,0	0,5000	0,5040	0,5120	0,5159	0,5239	0,5199	0,5239	0,5279		0,5319		0,5359
0,1	0,5398	0,5438	0,5478	0,5517	0,5557	0,5596	0,5636	0,5675		0,5714		0,5753
0,2	0,5793	0,5832	0,5871	0,5910	0,5948	0,5987	0,6026	0,6064		0,6103		0,6141
0,3	0,6179	0,6217	0,6255	0,6293	0,6331	0,6368	0,6406	0,6443		0,6480		0,6517
0,4	0,6554	0,6591	0,6628	0,6664	0,6700	0,6736	0,6772	0,6808		0,6844		0,6879
0,5	0,6915	0,6950	0,6985	0,7019	0,7054	0,7088	0,7123	0,7157		0,7190		0,7224
0,6	0,7257	0,7291	0,7324	0,7357	0,7389	0,7422	0,7454	0,7486		0,7518		0,7549
0,7	0,7580	0,7612	0,7642	0,7673	0,7704	0,7734	0,7764	0,7794		0,7823		0,7852
0,8	0,7881	0,7910	0,7939	0,7967	0,7995	0,8023	0,8051	0,8078		0,8106		0,8133
0,9	0,8159	0,8186	0,8212	0,8238	0,8264	0,8289	0,8315	0,8340		0,8365		0,8380
1,0	0,8413	0,8438	0,8461	0,8485	0,8508	0,8531	0,8554	0,8577		0,8599		0,8621
1,1	0,8643	0,8665	0,8686	0,8718	0,8729	0,8749	0,8770	0,8790		0,8810		0,8830
1,2	0,8849	0,8869	0,8888	0,8907	0,8925	0,8944	0,8962	0,8980		0,8997		0,9015
1,3	0,9032	0,9049	0,9066	0,9083	0,9099	0,9115	0,9131	0,9147		0,9162		0,9177
1,4	0,9192	0,9207	0,9222	0,9236	0,9251	0,9265	0,9279	0,9292		0,9306		0,9319
1,5	0,9332	0,9345	0,9357	0,9370	0,9387	0,9394	0,9406	0,9418		0,9430		0,9441
1,6	0,9452	0,9463	0,9474	0,9485	0,9495	0,9505	0,9515	0,9525		0,9535		0,9545
1,7	0,9554	0,9564	0,9573	0,9582	0,9591	0,9599	0,9608	0,9616		0,9625		0,9633
1,8	0,9641	0,9649	0,9656	0,9664	0,9671	0,9678	0,9686	0,9693		0,9699		0,9706
1,9	0,9713	0,9719	0,9726	0,9732	0,9738	0,9744	0,9750	0,9758		0,9762		0,9767
2,0	0,9773	0,9778	0,9783	0,9788	0,9793	0,9798	0,9803	0,9808		0,9812		0,9817
2,1	0,9821	0,9826	0,9830	0,9834	0,9838	0,9842	0,9846	0,9850		0,9854		0,9857
2,2	0,9861	0,9865	0,9868	0,9871	0,9875	0,9878	0,9881	0,9884		0,9887		0,9890
2,3	0,9893	0,9896	0,9898	0,9901	0,9904	0,9906	0,9909	0,9911		0,9913		0,9916
2,4	0,9918	0,9920	0,9922	0,9925	0,9927	0,9929	0,9931	0,9932		0,9934		0,9936
2,5	0,9938	0,9940	0,9941	0,9943	0,9945	0,9946	0,9948	0,9949		0,9951		0,9952
2,6	0,9953	0,9955	0,9956	0,9957	0,9959	0,9960	0,9961	0,9962		0,9963		0,9964
2,7	0,9965	0,9966	0,9964	0,9967	0,9968	0,9969	0,9970	0,9971		0,9972		0,9973
2,8	0,9974	0,9975	0,9976	0,9977	0,9977	0,9978	0,9979	0,9980		0,9980		0,9981
2,9	0,9981	0,9982	0,9983	0,9984	0,9984	0,9984	0,9985	0,9985		0,9986		0,9986
3,0	0,9986	0,9987	0,9987	0,9988	0,9988	0,9988	0,9989	0,9989		0,9989		0,9990
3,1	0,9990	0,9991	0,9991	0,9991	0,9992	0,9992	0,9992	0,9992		0,9993		0,9993
3,2	0,9993	0,9993	0,9993	0,9994	0,9994	0,9994	0,9994	0,9994		0,9995		0,9995
3,3	0,9995	0,9995	0,9996	0,9996	0,9996	0,9996	0,9996	0,9996		0,9996		0,9997
3,4	0,9997	0,9997	0,9997	0,9997	0,9997	0,9997	0,9997	0,9997		0,9998		0,9998

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.11.2022667.65 Кб52946.doc
#
13.11.2022129.54 Кб22947.doc
#
13.11.2022144.9 Кб12948.doc
#
13.11.202211.29 Mб12950.doc
#
13.11.2022955.39 Кб12951.doc
#
13.11.2022457 Кб62953.pdf
#
26.02.2023163.28 Кб2295821.pdf
#
26.02.2023153.21 Кб1296069.pdf
#
15.11.2022311.47 Кб2296129.pdf
#
26.02.2023122.5 Кб1297570.pdf
#
26.02.2023157.19 Кб1297992.pdf