2953

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Владимирский государственный университет им. Столетовых

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

вают геометрическим. Найдем pqk 1 p

Математическое

ожидание в геометрическом распределении равно

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.11.2022

Размер:

457 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

деления дискретной случайной величины называется соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями. Его можно задать таблично, аналитически и графически. Таблица, в которой указаны значения случайной величины и их вероятности, называется рядом распределения:

X	x1	x2		xn .
p	p	p	2	p	n
	1		2		n

Так как областью определения случайной величины является пространство элементарных исходов, то сумма вероятностей второй

строки таблицы равна единице: pi 1. Если множество возможных

i 1

значений X бесконечно (счетно), то ряд pi сходится и его сумма

i 1

равна 1.

Для наглядности закон распределения дискретной случайной величины можно изобразить графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки xi , pi , которые соединяют отрезками

прямых. Полученную фигуру называют многоугольником распре-

деления.

Пример 1. В партии из 12 деталей 8 стандартных. Наудачу взяли 5 деталей. Составить закон распределения случайной величины X числа стандартных деталей среди взятых.

Решение. Очевидно, возможные значения X таковы: 1, 2, 3, 4, 5. Вычислим вероятности этих значений:

p X

1	C1			C 4						8 5! 7!		1	;
		8			4
		8			4					12!	99
			C5							12!	99
				12
2		C 2 C				3				8! 4 5! 7!				14		;
2		8			5	4				2! 6! 12!				99		;
			C							2! 6! 12!				99
				12
3 C83 C42										8! 4! 5! 7!				42 ;
3 C83 C42								3! 5! 2 2 12!						42 ;
			C	5				3! 5! 2 2 12!						99
		12
4	C4			C1					8! 4 5! 7!				35		;
4		8			4					4! 4! 12!			99		;
			C5							4! 4! 12!			99
				12
5			C5				8! 5! 7!					7	.
				8
			C	5			5! 3! 12!				99
			C	5			5! 3! 12!				99
		12
										31

Искомый закон распределения:	X	1	2	3	4	5 .
	p	1/ 99	14 / 99	42 / 99	35 / 99	7 / 99

Проверка: 991 1499 9942 9935 997 9999 1.

Числовые характеристики дискретных случайных величин

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности.

Если случайная величина X принимает значения x1, x2 , , xn , вероятности которых соответственно p1, p2 , , pn , то математическое ожидание равно

M ( X ) xi pi .

i 1

Если случайная величина X принимает счетное множество воз-

можных значений, то M ( X ) xi pi при условии, что ряд в правой

i 1

части сходится абсолютно.

Дисперсией случайной величины X называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания: D( X ) M X M ( X ) 2 .

Для вычисления дисперсии удобно пользоваться формулой

D( X ) M X 2 M 2 ( X ) .

Средним квадратическим отклонением случайной величины X

называется квадратный корень из дисперсии: (X ) D(X ) .

Функцией распределения случайной величины X называется функция F(x) , определяющая вероятность того, что случайная вели-

чина X в результате испытания примет значение, меньшее x , т.е. F(x) p( X x) p X xi , где суммирование распространяется на

все i , для которых xi x .

Пример 2. Для случайной величины, построенной в примере 1, найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, функцию распределения.

Решение. M (X ) 1 991 2 1499 3 9942 4 9935 5 997 33099 103 ;

	2 1			2	14		2 42		2	35		2	7	10	2	70	;
D(X ) 1			2			3		4			5
D(X ) 1		99	2		99	3	99	4		99	5		99	3		99
		99			99		99			99			99	3		99
( X )		D( X )			70	0,84;
					99
	0,		x 1,
	1/ 99, 1				x 2,
					2 x 3,
	15 / 99,				2 x 3,
F(x)					3 x 4,
	57 / 99,				3 x 4,
	92 / 99,				4 x 5,
			x 5.
	1,		x 5.

Примеры дискретных случайных величин

1. Биномиальное распределение.

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события A постоянна и равна p . Пусть

X число появлений события A в этих n испытаниях.						Возможные
значения	X 0, 1,		2, , n . Вероятности возможных значений мож-
но найти по формуле Бернулли:
		p X xk pk		pn (k) Cnk pk qn k .		(1)
Биномиальным называют распределение вероятностей, определя-
емое формулой (1). Биномиальный закон:
X	n	n 1		k	0
p pn		npn 1q	Cnk pk qn k		qn.
n	n
pk Cnk pk qn k ( p q)n 1.
k 0	k 0

Математическое ожидание M ( X ) числа появления события A в n независимых испытаниях равно M ( X ) np , а дисперсия D( X ) npq .

2. Распределение Пуассона.

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события A равна p . Если n велико, p

мало, а np 10 , то	pn (k)	k e	.

		k!
		33

Эта формула выражает закон распределения Пуассона массовых ( n – велико) и редких ( p –мало) событий. Математическое ожидание

в распределении Пуассона равно M ( X ) и дисперсия D(X ) .

3. Геометрическое распределение.

Пусть проводятся независимые испытания, в каждом из которых вероятность появления события A равна p ( 0 p 1). Обозначим

через X случайную величину, равную числу испытаний, которые нужно провести до первого появления события A . Очевидно, возможные значения этой случайной величины – натуральные числа: x1 1, x2 2 , …

Пусть в первых k 1 испытаниях событие A не наступило, а в k -м появилось. По теореме умножения вероятностей независимых событий имеем

p( X k) p qk 1

(2)

Полагая k 1, 2, в формуле (2), получим геометрическую прогрес-

сию с первым членом p и знаменателем q 1 p	(0 q 1) :
p, pq, pq2 , , pqk 1, .

По этой причине распределение, определяемое формулой (2), назы-

персия D( X ) pq2 .

Задачи для самостоятельного решения

В каждой из предлагаемых ниже задач определена некоторая дискретная случайная величина X. Для этой случайной величины построить ряд распределения, найти функцию распределения, математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Найти вероятность p(X 3) .

7.1. Эксперимент состоит в извлечении наудачу карты из колоды. Извлеченная карта затем возвращается в колоду и колода перетасовыва-

ется. Эксперимент проводится до появления первого короля. Случайная величина X равна количеству проведенных экспериментов.

7.2.На полке стоят 4 книги, одна из которых – «Краткий курс теории вероятностей», остальные книги не имеют отношения к теории вероятностей. Студент, желающий подготовиться к экзамену по теории вероятностей, берет наудачу книги с полки по одной, пока не возьмет нужную. Случайная величина X равна количеству взятых книг.

7.3.Из колоды, содержащей 36 карт, берут наудачу 4 карты. Случайная величина X равна количеству королей среди взятых карт.

7.4.В лотерее выигрывает каждый пятый билет, причем выигрыш выплачивается на месте. Некто покупает билеты по одному до тех пор, пока не купит выигрышный. Случайная величина X равна количеству купленных билетов.

7.5.Вероятность попадания в цель первым стрелком равна 0,6, вторым – равна 0,7, а третьим – равна 0,8. Случайная величина X равна числу попаданий в цель при одновременном залпе трех стрелков.

7.6.Из урны, содержащей 5 белых и 7 черных шаров, достают наугад 3 шара. Случайная величина X равна числу белых шаров среди вынутых.

7.7.Бросают два кубика. Случайная величина X равна наибольшей из двух выпавших цифр.

7.8.Из урны, содержащей 3 белых и 6 черных шаров, достают наугад 4 шара. Случайная величина X равна числу черных шаров среди оставшихся.

7.9.Бросают два кубика. Случайная величина X равна наименьшей из двух выпавших цифр.

7.10.Из урны, содержащей 4 белых и 8 черных шаров, достают наугад 6 шаров. Случайная величина X равна разности между числом черных и белых шаров среди вынутых (по модулю).

7.11.Монету бросают 6 раз. Случайная величина X равна числу выпавших «решек».

7.12.Монету бросают 7 раз. Случайная величина X равна разности по модулю между числом выпавших «орлов» и «решек».

7.13.В билете 3 задачи. Вероятность правильного решения первой за-

дачи равна 0,9, второй – 0,8, третьей – 0,7. Случайная величина X равна числу правильно решенных задач.

7.14.Производится залп из 4 орудий по некоторому объекту. Вероятность попадания в объект из каждого орудия равна 0,6. Случайная величина X равна числу попаданий в объект при одновременном залпе.

7.15.Из 10 телевизоров на выставке 4 оказались фирмы «Сони». Наудачу для осмотра выбрано 3. Случайная величина X равна числу телевизоров фирмы «Сони» среди 3 отобранных.

7.16.Вероятность поражения вирусным заболеванием куста земляники равна 0,2 . Случайная величина X равна числу кустов земляники,

зараженных вирусом, из четырех посаженных.

7.17.В урне 6 белых и 4 черных шара. Из урны извлекается шар 3 раза подряд, причем каждый раз вынутый шар возвращается в урну и шары перемешиваются. Случайная величина Х – число извлеченных белых шаров.

7.18.Две игральные кости брошены одновременно. Случайная величина Х равна сумме очков, выпавших на верхних гранях.

7.19.В партии 10 % нестандартных деталей. Наудачу извлечены четыре детали. Случайная величина X равна числу нестандартных деталей среди четырех отобранных.

7.20.Вероятность того, что в библиотеке необходимая студенту книга свободна, равна 0,3. Случайная величина X равна числу библиотек, которые посетит студент, если в городе 4 библиотеки.

7.21.Охотник, имеющий 4 патрона, стреляет по дичи до первого попадания или до израсходования всех патронов. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,6, при каждом последующем – уменьшается на 0,1. Случайная величина X равна числу патронов, израсходованных охотником.

7.22.Вероятность того, что терпеливый казак станет атаманом, равна 0,75. Имеются 4 терпеливых казака. Случайная величина равна числу тех из них, которые станут атаманами.

7.23.На прилавке стоят 4 включенных телевизора, в одном из которых спрятался Заяц. Чтобы обнаружить его, нужно выключить соответствующий телевизор. Волк начинает наудачу выключать телевизо-

ры, пока не обнаружит Зайца. Случайная величина равна количеству выключенных телевизоров.

7.24.Бросают два кубика. Случайная величина X равна разности по модулю между выпавшими цифрами.

7.25.Из урны, содержащей 6 белых и 4 черных шаров, достают наугад 5. Случайная величина X равна числу черных шаров среди вынутых.

8. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Наряду с дискретными случайными величинами в теории вероятностей изучаются также непрерывные случайные величины, множество возможных значений которых несчетно и обычно представляет собой некоторый промежуток. Такую случайную величину можно охарактеризовать функцией распределения F(x) p( X x) или

плотностью вероятности f (x) F (x) .

Плотность вероятности является неотрицательной функцией, для

которой выполняется равенство		f (x)dx 1. Если известна плот-
которой выполняется равенство		f (x)dx 1. Если известна плот-

ность вероятности, то функцию распределения можно найти по фор-

муле F(x) f (t) dt .

Вероятность попадания случайной величины на некоторый интервал вычисляется по формуле

p( X ) F( ) F( ) f (x)dx .

Математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение определяются соответственно по формулам

			x2 f (x) dx M 2 (X ) ; ( X ) D( X ) .
M (X )	x f (x) dx;	D(X )	x2 f (x) dx M 2 (X ) ; ( X ) D( X ) .

Пример. Непрерывная случайная величина задана плотностью вероятности

0,	x 0 или	x 7 / 4;
	0 x 1;
f (x) x3 ,	0 x 1;
a,	1 x 7 / 4.

	37

Для этой случайной величины найти параметр а, функцию распределения, построить графики функции плотности и функции распределения; найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, вероятность попадания случайной величины на интервал (0,5; 1) .

Решение. Параметр a найдем из условия

1	f (x)dx x3dx	a dx 1		3 a ,
	1	7 / 4
	0	1	4	4

следовательно, a 1. Найдем функцию распределения по формуле

F(x) f (t) dt .

0,	x 0;
x			x	4
t	3dt		x		,
t	3dt	4			,
0		4
		x
F(x) 1	3dt	x
t	3dt	dt
0		1
1,	x 7 .
		4
		4

0	x 1;
1	x 1 x	3	,	1 x	7	;
4		4			4

Графики функции плотности и функции распределения представлены на рисунках.

			1	7/ 4
Математическое ожидание		M(X) x4dx xdx 197 .
			0	1		160
1 5	7/ 4 2	197 2		311 197 2
Дисперсия D(X) x	dx x	dx		192		0,4.
0	1	160		192	160
Среднее квадратическое отклонение (X)						D(X) 0,64.
Вероятностьпопаданиявзаданныйинтервал p(0,5 X 1) 1 x3dx							15.
						0,5	64
		38

Задачи для самостоятельного решения

В предлагаемых ниже задачах задана плотность вероятности некоторой непрерывной случайной величины. Для этой случайной величины найти параметр a , функцию распределения, построить графики функции плотности и функции распределения; найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, вероятность попадания случайной величины на интервал ( , ) .

8.1. 2 ,	3;
0,		x 1 или			x 4;
		1) / 3,		1 x 2;
f (x) 2(x
		4),		2 x 4.
a(x
8.3. 0 , 2 ;
0,		x 1		или		x 3;
	1) / 6,			1 x 2;
f (x) (x
		x),		2 x 3.
a(3
8.5. 2 , 3;
0,		x 1		или		x 4;
			1 x 3;
f (x) 2 / 9,
				3 x 4.
a(x 4),
8.7. 1,			0 ;
0,		x 2		или		x 1;
	2) / 3,			2 x 0;
f (x) (x
		x) / 2,			0 x 1.
a(1
8.9. 0 ,		1;
0,		x 2		или		x 1;
	2) / 3,			2 x 0;
f (x) (x
		x) / 2,			0 x 1.
a(1


8.2. 1, 2;
0,	x 0		или	x 3;
		0 x 1;
f (x) 2x / 3,
	x),		1 x 3.
a(3
8.4. 3, 4;
0,	x 2		или	x 5;
		2 x 3;
f (x) 1/ 2,
	x) / 2,		3 x 5.
a(5
8.6. 1,	0 ;
0,	x 2		или	x 2;
		2 x 0;
f (x) 1/ 3,
	x),		0 x 2.
a(2
8.8. 4 , 5 ;
0,	x 3		или	x 7;
		3 x 4;
f (x) 2 / 5,
	x) / 3,		4 x 7.
a(7
8.10. 1/ 2 , 1;
0,	x 0		или	x 3;
		0 x 1;
f (x) 2x / 5,
	1 x 3.
a,

8.11. 0 ,		1;
0,		x 1		или		x 3;
f (x)	2 2x 3 ,
a x					1 x 3.
8.13. 2 , 3;
0,		x 1		или		x 4;
f (x)		2 5x 4 ,			1 x 4.
a x
8.15. 1/ 2 ,			3/ 2;
f (x) 0,		x 1		или		x 2;
a sin( x),				1 x 2.
8.17. 0 ,		1/ 2 ;
f (x) 0,		x 0		или		x 1;
a cos( x / 2),					0 x 1.
8.19. 1/ 2 ,			1;
		x 2		или		x 2;
0,
f (x) 1/ 3,			2 x 0;
		2 2x ,			0 x 2.
a x
8.21. 2, 1;
0,		x 3		или		x 0;
f (x)		2 3x ,		3 x 0.
a x
8.23. 0 ,		1/ 4 ;
0,	x 0 или				x 3 / 2;
f (x) 3(x x2 ) / 5,				0 x 1/ 2;

a,		1/ 2 x 3 / 2.

8.25. 1,		5/ 3;
0,		x 1		или		x 2;
f (x)					1 x 2.
a sin( x / 2),

8.12.	7 / 2 ,		4;
	0,	x 3	или		x 7;
				3 x 4;
f (x) 2(x 3) / 7,				3 x 4;
		4 x 7.
	a,	4 x 7.
8.14. 1, 0 ;
	0,	x 2		или		x 2;
				2 x 0;
f (x) (x 2) / 6,				2 x 0;
		0 x 2.
	a,	0 x 2.
8.16. 1/ 2 , 1;
	0,	x 0		или		x 2;
						0 x 1;
f ( x) (6 x 3x 2 ) / 7,						0 x 1;
	a,	1 x 2.
8.18.
8.18.	2 , 3;
	0,	x 1		или		x 4;
				1 x 3;
f (x) (x 1) /12,				1 x 3;
		3 x 4.
	a,	3 x 4.
8.20. 3/ 2 , 2;
	0,	x 1		или		x 4;
				1 x 2;
f (x) 2(x 1) / 5,				1 x 2;
		2 x 4.
	a,	2 x 4.
8.22. 5 / 2 , 3;
	0,	x 2		или		x 5;
		2) / 5,		2 x 3;
f (x) 2(x		2) / 5,		2 x 3;
		3 x 5.
	a,	3 x 5.
8.24. 0 ,		1/ 2 ;
	0,	x 1		или		x 1;
f (x)					1 x 1.
	a cos( x / 2),				1 x 1.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.11.2022667.65 Кб52946.doc
#
13.11.2022129.54 Кб22947.doc
#
13.11.2022144.9 Кб12948.doc
#
13.11.202211.29 Mб12950.doc
#
13.11.2022955.39 Кб12951.doc
#
13.11.2022457 Кб62953.pdf
#
26.02.2023163.28 Кб2295821.pdf
#
26.02.2023153.21 Кб1296069.pdf
#
15.11.2022311.47 Кб2296129.pdf
#
26.02.2023122.5 Кб1297570.pdf
#
26.02.2023157.19 Кб1297992.pdf