4601

Пример 1. В таблице 1 указан выпуск продукции 2 цехами и некоторые сведения о затратах ресурсов и труда

Таблица 1 – Сведения о выпуске продукции

Представив данные в виде матриц, при помощи умножения матриц можно быстро найти затраты для каждого цеха:

При появлении сведений о 3-м цехе в левой части таблицы 1 добавится 3-я строка. Её достаточно умножить на матрицу в правой части.

Для новой статьи расходов в правой части таблицы возникнет новый столбец. На него умножим матрицу выпуска. Результаты, полученные ранее, в обоих случаях не изменятся.

Если же начать выпуск 3-го товара, в каждой клетке 3-й таблицы лишь добавятся соответствующие произведения по каждому цеху и виду затрат.

Системы линейных уравнений в общих чертах связаны с 2 типами задач:

1)найти оптимальный набор данных, отвечающих некоторым условиям;

2)восстановить данные по известным значениям их линейных комбинаций. Задачи 1-го типа появляются в методах оптимизации для нескольких показа-

телей, например, когда затраты или прибыль предприятия зависят от работы партнёров или конкурентов [3].

На рисунке 11 издержки зависят от выпуска товара как на одном предприятии, так и на другом. Издержки 1-го f x; y 2x2 3xy 10x 1000 , а издержки 2-

го – g x; y 3y2 xy 20 y 500 , где x и y – выпуск товара на 1-м и 2-м предприятиях соответственно.

Если предприятия хотят начать выпуск с минимальными совместными издержками, при помощи дифференцирования функции 2 переменных составляется и решается система уравнений. Общие издержки минимальны, когда 1-е предприятие выпускает 17,5 ед. продукции, а 2-е – 15 ед.

11

5)распределение площади под разные культуры («игры с природой»);

6)выпуск продукции при неизвестном состоянии ожидаемого спроса.

Задачи допускают усложнения, дополнительные условия, но могут при этом превратиться в задачи выпуклого или динамического программирования [6].

В теории случайных процессов при помощи матриц предсказывают состояние некой системы через определённое время, в том числе сколь угодно большое.

Пример 2. При ставке 20% банк через год в 10% случаев её оставит, а в остальных 90% – повысит до 30%. При ставке 30% банк в половине случаев её оставит, в половине – понизит до 20%.

Требуется предсказать вероятность ставки 20% через 3 года и в долгосрочной

ковой вероятностью 0,5.

Ответ: через 3 года вероятность ставки 20% – соответственно 0,316, 0,380 и 0,348. Через много лет – 0,357 независимо от нынешнего состояния.

Клиент может выбрать подходящий кредит или банк, а банк – проводить более привлекательную и в то же время выгодную политику.

Так же можно предсказывать покупательский спрос, урожайность (на основе статистических данных), состояние автомобиля и т.п. Для решения этих задач перемножают матрицы состояний или находят их собственные векторы.

Особо важный случай систем – задача о межотраслевом балансе (модель Леонтьева «затраты – выпуск»), когда по конечному потребительскому спросу определяют общий объём производства. Это важно, поскольку спрос связан с общим доходом (прибылью), а общий объём – с затратами электроэнергии, сырья, оплатой труда и т.д. Модель Леонтьева давно сформировалась в особый раздел экономической теории и невозможна без работы с огромными наборами данных.

На основе модели в 1930-х гг. оценено влияние занятости, зарплат и цен на общий выпуск продукции в отраслях промышленности США, а в 1950-х гг. экономисты Гарварда изучали, как инфляция, регулирование зарплаты труда и затраты на вооружение меняют необходимые капиталовложения.

Системы с бесконечным множеством решений появляются в задачах: а) с малым числом ограничений; б) с ограничениями, дублирующими друг друга;

13

в) с линейным обменом и подобных им.

Пример 3. Страны А, Б и В договорились обмениваться частью ВВП. Страна

Аотдаёт 20% ВВП стране Б и 30% стране В. В свою очередь Б 10% ВВП отдаёт

Аи 40% – В. Наконец, В отдаёт А и Б 25% и 15% соответственно.

Оказывается, для возможности такого обмена следует производить ВВП в пропорции 28:25:46. Также по пропорции выпуска можно определить пропорции обмена, или найти недостающие данные по известным процентам и пропорциям.

Матрицы корреляции в статистике показывают, сильна ли зависимость между некоторыми признаками. При помощи собственных чисел и собственных векторов исходные простые признаки группируют в несколько общих. Это упрощает расчёты и делает их более надёжными. Причём связь между исходными и новыми признаками также задаётся матрицей, а в факторном анализе дополнительно возникают матрицы вращения.

Пример 4. При анкетировании по системе «да/нет» работодатель средствами факторного анализа может обнаружить, что практически все кандидаты:

а) на 1-й, 3-й, 7-й и 10-й вопросы отвечают одинаково; б) на 4-й и 8-й вопросы обычно отвечают иначе, чем на указанные выше; в) на 9-й вопрос отвечают не так, как на 5-й;

г) на 6-й отвечают «да», если одинаково ответили на 2-й и 1-й.

Разумно из 1-го, 3-го, 7-го и 10-го вопросов оставить один (любой, желательно самый простой), 4-й, 6-й и 8-й исключить, а из 5-го и 9-го оставить один.

Пример 5. Изучая оценки школьников по 12 предметам, учитель замечает, что практически вся информация сводится к 2 показателям: общей успеваемости и склонности к точным наукам. Тогда при помощи факторного анализа он сможет сопоставить любому школьнику точку в системе координат из этих 2 показателей и получить простую и наглядную картину вместо громоздких таблиц.

В кластерном анализе при помощи матриц задают расстояния между объектами, а затем объекты собирают в группы, заметно отличающиеся между собой.

Вообще, при обработке и упрощении сложных структур: а) в виде матриц оформляют исходные данные;

б) при помощи матриц корреляции выполняют необходимые вычисления (весьма сложные, основанные на методах алгебры и теории вероятности);

14

в) по матрицам нагрузок определяют, какие данные меняются одинаково. Относительно отвлечённое понятие ранга матрицы необходимо при иссле-

довании систем эконометрических уравнений, когда находят сложные связи между несколькими временными показателями.

Пакеты прикладных программ типа EXCEL и QM содержат операции над матрицами, что позволяет быстро обрабатывать информацию и решать задачи, в том числе системы уравнений (например, методом обратной матрицы).

Пределы функций

Пределы сами по себе – вспомогательное средство в математике: на них основан весь математический анализ и любые разделы, связанные с переходом к непрерывно меняющимся величинам.

Тем не менее 2-й замечательный предел появился при решении прикладной задачи о начислении процентов и помогает узнать, например, сколько средств

а) выплатить вкладчику при обращении в произвольный момент времени; б) будет на счёте через большой срок.

Втеоретических исследованиях по пределам вычисляют темп роста величины в разные моменты времени, если известно её изменение за длительный срок.

Пределы помогают предсказать поведение некоторой величины в критических условиях – например, изменение занятости при крайне малом росте оплаты труда, когда функция теряет смысл при аргументе, равном 0.

Вдинамических моделях макроэкономики выпуск продукции и связанные с ним показатели нередко стабилизируются со временем, если неизменны технологии и пропорции капиталовложений (происходит застой в экономике). Пределы позволяют предсказать объёмы стабильного выпуска и потребления, например, в моделях Кейнса (рисунок 12), Самюэльсона – Хикса, Солоу [4].

15

Рис. 12 – ВВП в модели Кейнса в зависимости от нормы потребления

В паутинообразной модели рынка при помощи пределов находят равновесную цену, при которой спрос на товар равен предложению.

На рисунке 13 показано, как для типичных функций спроса и предложения достигается равновесная цена (в примере она равна 1,31) при начальной предложенной цене 1,5. По горизонтальной оси на рисунке 13 (а) отмечена цена, на остальных – время.

в) поиск равновесия г) непрерывный диалог Рисунок 13 – Установление равновесной цены в паутинной модели

Последний рисунок соответствует непрерывному поиску равновесной цены, когда достигнутая цена тут же пересматривается.

Дифференцирование функций

Производная функции показывает, во сколько раз результат меняется быстрее, чем объясняющий его фактор. Так, если D f P – зависимость спроса на товар от цены, то Df P– изменение спроса при изменении цены на 1 ед.

В экономике важны также темп прироста и эластичность, позволяющие нейтрализовать влияние единиц измерения на показатели роста.

16

При помощи производной решают задачи оптимизации. Максимум функции достигается там, где производная равна 0, и тогда оптимизация сводится к поиску корня производной (и к решению уравнения, как правило, нелинейного).

Известные примеры переменных, функций и соответствующих производных: а) число работников, объём выпуска и производительность труда; б) время, объём выпуска и производительность труда по времени;

в) цена, спрос (предложение) и скорость изменения спроса (предложения); г) выпуск, издержки и предельные издержки выпуска; д) запас сырья, выручка и рост выручки при увеличении запасов.

На рисунке 14(а) цена товара уменьшается с ростом выпуска. Чтобы выручка стала больше, следует выпускать всё больше товаров, но они становятся всё дешевле. Надо найти оптимальный объём выпуска, при котором выручка максимальна. Решение находится дифференцированием выручки по цене. На рисунке 14(б) выручка достигает максимума 183 ед. при выпуске 20 изделий.

а) цена изделия б) выручка для разного выпуска Рисунок 14 – Поиск оптимального объёма выпуска

На рисунке 15(а) при увеличении затрат сырья выпуск продукции растёт, но всё медленнее, соответственно всё медленнее растёт выручка. На рисунке 15(б) цена сырья (даже с учётом возможных скидок) растёт почти линейно.

17

Рисунок 15 – Рост выручки и расходов при изменении затрат сырья

При некоторых затратах прибыль как разность выручки и затрат достигает максимума и начинает убывать, как на рисунке 16 (а).

а) прибыль б) предельная прибыль Рисунок 16 – Прибыль и предельная прибыль при изменении затрат сырья

При достижении максимума прибыли её производная становится отрицательной, а предельная выручка совпадает с ценой сырья.

Точка, где получается решение задачи оптимизации, нередко имеет важный экономический смысл. Так, прибыль может зависеть от взятого кредита, от числа сотрудников или от инвестиций. Тогда она максимальна, когда её производная (доходы от увеличения производства) равна:

а) в 1-м случае – процентной ставке; б) во 2-м случае – ставке оплаты сотрудника;

в) в 3-м случае – стоимости 1 ед. фондов (например, 1 станка).

Производная от прибыли соответственно берётся по капиталу, числу сотрудников и объёму капиталовложений.

Полезность набора товаров при фиксированном бюджете максимальна, когда прирост полезности по всем товарам одинаков, и т.д.

Интегрирование функций

Интегралы в экономических приложениях возникают в 3 основных случаях, которые можно пояснить следующими примерами:

1) поступление вкладов в банк меняется в течение месяца, и надо найти об-

18

2) изменение спроса замедляется с ростом цены, и надо найти зависимость самого спроса от цены ( D Pf P , найти D P ), (рисунок 18);

3) новость распространяется особенно быстро, когда её знает каждый 2-й (найти N t , если N t kN N0 N ), (рисунок 19).

Во 2-м и 3-м случаях речь идёт о точном решении дифференциального уравнения. Оно невозможно без интегрирования функций.

Рисунок 17 – Поступление средств и накопленная сумма

Рисунок 18 – Скорость падения спроса и спрос при разной цене

Рисунок 19 – Скорость распространения новости и число знающих её

При помощи интегрирования удобно изучать процессы с непрерывным обесцениванием денег, падением полезности или старением оборудования.

Например, компьютер морально стареет, хотя и работает так же качественно. Для учёта удобства работы на нём можно ввести дисконтный множитель –

19

том удобства работы, а 2 интеграла позволят сравнить 2 компьютера.

При выборе стратегии оптимального накопления, когда определяют баланс между инвестициями и потреблением на срок T, излишнее потребление в начале срока приведёт к «проеданию фондов», и производство не удастся развивать. Однако товар или услуга в будущем не так интересны, как в данный момент.

T

Решить проблему поможет задача at u c t dt max , где управляющий пара-

0

метр c t– потребление, u c– полезность от потребления, t – время [4].

Так же учитывают действие инвестиций, дающих эффект через некоторое время и по частям [4], и обесценивание денег.

Пример 1. Мы взяли в кредит 200 тыс. руб под 20% годовых и договорились ежемесячно, начиная со следующего месяца, выплачивать 10 тыс. руб. Через какой срок кредит будет выплачен?

На рисунке 20 слева показано, как обесцениваются деньги с точки зрения банка. Очевидно, 20 месяцев для выплаты недостаточно. Справа показано, насколько сумма, выплаченная с точки зрения банка (линия 1), отличается от суммы, выплаченной номинально (линия 2). Кредит будет погашен через 26 ме-

Рисунок 20 – Выплаты по кредиту: обесценивание и накопление

20