Задание 9. Применение рядов в приближённом интегрировании

Разложив подынтегральную функцию в ряд Маклорена, представьте интеграл в виде числового ряда и найдите его значение с точностью 0,001.

113

Библиографический список

1.Алберг Дж. Теория сплайнов и её приложения / Дж. Алберг, Э. Нильсон, Дж.

Уолш. – М. : Мир, 1972.

2.Бабенко К. И. Основы численного анализа / К. И. Бабенко. – М. : Наука, 1986.

3.Бахвалов Н. С. Численные методы / Н. С. Бахвалов. – М. : Наука, 1973.

4.Бахвалов Н. С. Численные методы в упражнениях и задачах / Н. С. Бахвалов, А. В. Лапин, Е. В. Чижонков. – М. : Высшая школа, 2000.

5.Березин Н. С. Методы вычислений. Т. 1,2. / Н. С. Березин, Н. П.Жидков. – М. : Физматгиз, 1962.

6.Бор К. Практическое руководство по сплайнам / К. Бор. – М. : Радио и связь, 1985.

10.Вержбицкий В. М. Численные методы (математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения): учеб. пособие для вузов / В. М. Вержбицкий. – М. : Высшая школа, 2001. – 400 с.

11.Воднев В. Т. Математический словарь высшей школы / В. Т. Воднев, А. Ф. Наумович, Н. Ф. Наумович; Под ред. Ю. С. Богданова. – Минск. : Выш. Шк., 1984. – 527 с.

12.Волков Б. А. Численные методы / Б. А. Волков. – М. : Наука, 1979.

13. Гончаров В. Л. Теория интерполирования и приближения функций / В. Л. Гончаров. – М. : Наука, 1979.

14.Гутер Р. С. Элементы численного анализа и математической обработки результатов опыта / Р. С. Гутер, Б. В. Овчинский. – М. : Наука, 1970.

15.Демидович Б. П. Основы вычислительной математики / Б. П. Демидович, И. А. Ма-

рон. – М. : Наука, 1970.

16.Демидович Б. П. Численные методы анализа / Б. П. Демидович, И. А. Марон, Э. З. Шувалова. – М. : Наука, 1967.

17.Иванов В. В. Методы вычислений на ЭВМ: справочное пособие / В. В. Иванов. – Киев : Наукова думка, 1986.

18.Ильин В. А. Основы математического анализа : в 2 ч. / В. А. Ильин, Э. Г. Позняк. –

М. : Наука, Ч.1 – 1971, Ч.2 – 1993.

19.Калиткин Н. Н. Численные методы / Н. Н. Калиткин. – М. : Наука, 1978.

20.Каханер Д. Численные методы и программное обеспечение / Д. Каханер, К. Моулер,

С. Нэш. – М. : Мир, 1998.

114

21. Киреев В. И. Численные методы в примерах и задачах / В. И. Киреев, А. В. Панте-

леев. – М. : Высш. Шк., 2004. – 480 с.

22. Корнейчук. Н. П. Сплайны в теории приближений / Н. П. Корнейчук. – М. : Наука,

1984.

23. Крылов В. И. Вычислительные методы / В. И. Крылов, В. В. Бобков, П. И. Мона-

стырный. М. Наука, Т. 1 – 1976. – 303 с. , Т. 2 – 1977. – 399 с.

24. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики / Г. И. Марчук. – М. : Наука,

1977.

25. Мысовских И. П. Лекции по методам вычислений / И. П. Мысовских. – М. : Физма-

тгиз, 1962.

26. Никольский С. М. Квадратурные формулы / С. М. Никольский. – М. : Наука, 1988. – 255 с.

27 Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Т. 2 / Н. С. Пискунов. – М. : Высшая школа, 1978. – 576 с.

28. Пугачёв В. С. Лекции по функциональному анализу / В. С. Пугачёв. – М. : Изд-во МАИ, 1996.

29. Румшиский Л. З. Математическая обработка результатов эксперимента / Л. З. Рум-

шиский. – М. : Наука, 1971. – 192 с.

30. Самарский А. А. Введение в численные методы / А. А. Самарский. – М. : Наука,

1987.

31. Самарский А. А. Теория разностных схем / А. А. Самарский. – М. : Наука, 1989.

32. Сборник задач по методам вычислений / под ред. П. И. Монастырного. – М. : Наука,

1994.

33. Стечкин С. Б. Сплайны в вычислительной математике / С. Б. Стечкин, Ю. Н. Суббо-

тин. – М. : Наука, 1976.

34. Самарский А. А. Методы решения сеточных уравнений / А. А. Самарский, Е. С. Николаев. – М. : Наука, 1978.

35. Самарский А. А. Устойчивость разностных схем / А. А. Самарский, А. В. Гулин. –

М. : Наука, 1973.

36. Турчак Л. И. Основы численных методов / Л. И. Турчак, П. В. Плотников. – М. : Физматгиз, 2002.

37. Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа. Т. 2 / Г. М. Фихтенгольц. –

СПб., 2001. – 464 с.

38. Хемминг Р. В. Численные методы / Р. В. Хемминг. – М. : Наука, 1968.

39. Щербатюк С. Ф. Введение в анализ : учеб. пособие / С. Ф. Щербатюк. – Хабаровск : РИЦ ХГАЭП, 1998.

40. Штеттер Х. Анализ методов дискретизации для обыкновенных дифференциальных уравнений / Х. Штеттер. – М. : Мир, 1978.

41. Математический энциклопедический словарь – М. : Советская энциклопедия, 1988.

115

Оглавление

§1. Приближение функций ………………………………………………………… 3

1.1.Постановка задачи о приближении функций …………………………….. 3

1.2.Метод множителей Лагранжа ……………………………………………… 5

1.3.Метод разделённых разностей и полиномы Ньютона …………………… 9

1.4.Приближение функций рядами МакЛорена …………………………….. 12

1.5.Метод наименьших квадратов ……………………………………………. 14

1.6.Интерполяция сплайнами ………………………………………………….22

§2. Численные методы решения функциональных уравнений ………………… 25

2.1.Метод деления отрезка ……………………………………………………. 25

2.2.Метод хорд ………………………………………………………………… 30

2.3.Метод касательных ……………………………………………………….. 32

2.4.Комбинированный метод …………………………………………………. 34

2.5.Метод простых итераций …………………………………………………. 37

2.6.Решение систем нелинейных уравнений методом Ньютона …………… 41

2.7.Поиск глобальных экстремумов функции и метод золотого сечения …. 47

§3. Численное интегрирование …………………………………………………... 52

3.1.Основные трудности точного интегрирования …………………………. 52

3.2.Интегрирование при помощи полиномов Лагранжа и Ньютона ………. 53

3.3.Интегрирование при помощи рядов МакЛорена ……………………….. 55

3.4.Интегрирование при помощи квадратурных формул ………………….. 57

§4. Приближённые методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений …………………………………………………………………… 64

4.1.Метод Эйлера ……………………………………………………………… 64

4.2.Метод Рунге – Кутта ………………………………………………………. 68

4.3.Методы «Предиктор-корректор» 2-го порядка точности ………………. 70

4.4.Методы «Счёт-пересчёт» высокого порядка точности …………………. 73

4.5.Метод прогонки решения краевой задачи для линейного дифференциального уравнения 2-го порядка …………………………….. 76

4.6.Задача Коши для систем дифференциальных уравнений

иуравнений высокого порядка ……………………………………………. 78

§5. Аппроксимация, устойчивость и сходимость в теории разностных схем .. 81

§6. Решение некоторых задач в пакете EXCEL ………………………………… 96 Задания для самостоятельной работы ………………………………………….. 105 Библиографический список ……………………………………………………… 113

116

Учебное издание

Виктор Александрович Вербицкий Евгений Анатольевич Мясников Михаил Филиппович Тиунчик

Численные методы Часть 2

Учебное пособие

Редактор Г.С. Одинцова

680042, г. Хабаровск, ул. Тихоокеанская, 134, РИЦ ХГАЭП

117