5465
.pdfy 6 y 9 y 0 ; k 2 |
6k 9 0 ; k 3 |
2 |
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0 ; |
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k |
k |
2 |
3 |
, |
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1 |
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c1e3x |
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c2xe3x ─ общее решение соответствующего однородного уравнения. |
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y |
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f (x) |
5e3x 0, |
3 |
─ двукратный корень характеристического уравнения |
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Pn (x) |
5 , |
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n=0, |
Q0 (x) |
b , |
~ |
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Q0 (x)x |
2 |
e |
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x |
; |
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y |
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~ |
bx |
2 |
e |
3x |
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~ |
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3x |
3bx |
2 |
e |
3x |
~ |
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3x |
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3x |
9bx |
2 |
e |
3x |
3x |
|||||
y |
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|
; y |
2bxe |
|
|
; y |
|
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2be |
|
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|
6bxe |
|
|
6bxe |
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2be3x |
|
6bxe3x |
9bx2e3x |
|
6bxe3x |
6(2bxe3x |
|
|
3bx2e3x ) |
9bx2e3x |
5e3x |
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3x |
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3x |
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5 |
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~ |
5 |
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2 |
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3x |
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2be |
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5e |
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; 2b 5 |
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; b |
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; |
y |
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x |
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e |
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. |
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2 |
2 |
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3x |
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3x |
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5 |
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2 |
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3x |
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Общее решение ─ |
y c1e |
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c2 xe |
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x |
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e |
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. |
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2 |
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Числовые и степенные ряды
Определение. Числовым рядом называется бесконечная последовательность чисел u1, u2, …un, … соединённых знаком сложения:
u1+ u2+ +un+ = u n |
(11) |
n 1 |
|
Числа u1, u2,… un,… называются членами ряда, а un ─ общим членом ряд. Сумма первых n членов ряда (11) называется n-й частичной суммой ряда и
обозначается Sn, т. е. Sn= u1+ u2++un.
Если существует конечный предел S lim S последовательности частичных
n
n
сумм ряда (11), то этот предел называется суммой ряда, а ряд называется
сходящимся. Если lim Sn не существует или равен бесконечности, то ряд (11)
n
называется расходящимся.
Признаки сходимости числового ряда Необходимый признак сходимости числового ряда
Если ряд (11) сходится, то его общий член un стремится к 0, т. е. lim un 0 . |
||||
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|
n |
Если lim un |
0 или этот предел не существует, то ряд расходится. |
|||
n |
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Пример 28. |
Исследовать сходимость ряда |
3n |
2 |
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n |
5 |
|
||
|
n 1 |
|
31
Решение : Проверим выполнение необходимого признака сходимости.
lim |
3n |
2 |
3 0 , необходимое условие сходимости не выполняется, |
|
n |
5 |
|||
n |
|
|||
поэтому ряд расходится. |
Необходимое условие сходимости не позволяет однозначно ответить на вопрос о сходимости ряда. Это означает, что существуют расходящиеся ряды,
для которых lim un 0 .
n
Достаточные признаки сходимости числового ряда с положительными членами
Признак Даламбера. Пусть дан ряд (11) с положительными членами и
существует конечный или бесконечный |
lim |
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un 1 |
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, тогда если |
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1, то ряд |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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un |
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n |
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|||
сходится, если |
|
|
1, то ряд расходится, |
если |
1,то вопрос о сходимости ряда |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
остается открытым. |
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n 2 |
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|
n! |
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Пример 29. |
Исследовать ряд на сходимость а) |
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б) |
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n 1 |
2n |
n |
1 nn |
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Решение: |
а) |
un |
|
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n |
2 |
, un |
|
(n 1)2 |
; |
un 1 |
|
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(n 1)2 |
|
2n |
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2n (n 1)2 |
; |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||
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2n |
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2n 1 |
|
un |
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2n 1 |
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n2 |
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2n2 |
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lim |
un 1 |
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lim |
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(n 1)2 |
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lim |
n2 |
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2n 1 1 |
; |
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||||||||||||||||||||||||||
un |
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2n2 |
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2n2 |
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|
2 |
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n |
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|
|
n |
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n |
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1 |
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1 по признаку Даламбера ряд сходится; |
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2 |
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б) |
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un |
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n! |
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, un 1 |
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(n |
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1)! |
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. |
По признаку Даламбера |
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n n |
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(n |
1) n 1 |
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un ! |
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n 1 ! nn |
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1 2 3 n(n 1)nn |
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n |
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n |
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n |
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lim |
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lim |
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lim |
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lim |
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lim (1 |
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1) |
n |
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|||||||||||
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un |
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n 1 |
|
n 1 |
|
n! |
|
(n 1) |
n |
(n 1) 1 2 3 n |
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n 1 |
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n 1 |
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n |
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n |
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n |
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n |
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n |
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1 |
n |
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n |
1 |
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n |
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n |
1 |
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1 |
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1 |
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1 |
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n |
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e 1 |
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|||||||
lim 1 |
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lim |
|
1 |
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lim e |
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n 1 |
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n |
1 |
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n 1 |
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n |
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n |
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n |
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l |
e 1 < 1, ряд сходится. |
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Замечание. Признак Даламбера применяется когда общий член ряда содержит выражение вида n! или аn.
32
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Признак Коши. Пусть дан ряд (11) с положительными членами и |
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существует конечный или бесконечный предел lim n un |
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. Тогда, если |
1, |
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|
n |
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|
|
|
|
|||||
то ряд сходится, если |
1, то ряд расходится, если |
1,то вопрос о сходимости |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ряда остается открытым. |
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|||||||||||||||||||
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Пример 30 . |
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а) |
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3n |
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б) |
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3n |
2 n |
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|||||||||||
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|||||||||||
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n 1 nn |
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n 1 |
|
n |
1 |
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Решение. |
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По признаку Коши. |
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|||||||||||
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lim n |
3n |
= |
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3 |
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|
|
|
0 |
1 |
|
|
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||||||||||||
а) |
lim n un |
lim |
0 , |
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|
ряд сходится. |
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n |
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n |
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nn |
n |
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n |
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n |
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3n |
2 |
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lim |
3n |
2 |
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3 , |
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|||||||||||||||||
б) |
lim n un |
lim n |
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3 |
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1 |
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ряд расходится. |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
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n |
1 |
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1 |
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n |
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n |
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n |
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n |
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Интегральный признак. Если члены знакоположительного ряда |
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u n |
могут |
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n |
1 |
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быть |
представлены, |
как |
числовые |
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значения |
|
некоторой |
|
функции |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
f(x): u1=f(1), |
u2=f(2), |
u3=f(3),… un |
f (n)... |
и |
|
функция |
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f(x) ─ непрерывная, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
монотонно убывающая на интервале (1; + ), то: |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
если |
f(x)dx |
сходится, то сходится и ряд (1); |
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1 |
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если |
f(x)dx |
расходится, то расходится так же и ряд (1). |
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1 |
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Признак сравнения. Пусть даны два знакоположительных ряда |
u n |
и |
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n 1 |
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vn , |
для всех n выполняется неравенство , |
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n 1 |
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то если ряд |
vn сходится, то и ряд |
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u n сходится, |
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n |
1 |
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n 1 |
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если ряд |
u n |
расходится, то и ряд |
|
vn |
расходится. |
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n 1 |
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n |
1 |
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Для сравнения часто используются «эталонные» ряды: |
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аn q n 1 – сходится при |
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q |
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Геометрический ряд |
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1 , расходится при |
q |
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1 . |
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n 1 |
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||||||
Гармонический ряд |
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1 |
|
– расходится. |
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1 n |
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|
n |
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|||||||
Обобщённый гармонический ряд |
|
1 |
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|
1 |
1 |
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|
1 |
... |
1 |
|
|
...,сходится при |
1, |
||||||||||||||||||||||||||||||||
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n 1 n |
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2 |
3 |
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|
n |
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||||||||
расходится при |
1. |
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33
Знакочередующиеся ряды.
Определение. Знакочередующимся рядом называется ряд вида
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u1 - u2 + u3 - u4 +…+(-1)n+1un + …= |
(-1)n |
1un . |
(12) |
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n |
1 |
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||
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|
Признак Лейбница. Знакочередующийся ряд сходится, если выполняются |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
два условия : |
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1)последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает, |
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u2 |
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u3 |
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... |
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|
un |
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|
... |
; |
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т.е. |
u1 |
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2) общий член ряда стремится к нулю |
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un |
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lim |
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0 . |
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|
|
n |
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(-1)n 1 |
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||||||||||||
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Пример 31. |
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Исследовать ряд на сходимость n 1 |
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|
. |
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(2n -1)2 |
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Решение: Проверим выполнение условий признака Лейбница |
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1) |
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1 ; |
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u |
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( 1)2 1 |
|
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|
1 |
|
|
|
1 |
; |
|
|
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|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
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|
|
u |
|
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( 1)1 1 |
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1 |
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|||||||||||||||||||||
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1 |
|
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2 1 |
|
1)2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
2 |
1)2 |
|
|
|
9 |
|
|
9 |
|
|
|
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|
|
|
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|
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|||||||||||||||||||
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u3 |
|
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|
1)3 1 |
|
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1 |
|
|
|
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|
1 |
|
... |
члены ряда убывают по абсолютной величине. |
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( |
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2 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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2 |
3 |
1) |
|
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25 |
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|
25 |
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|||||||||||||||||||||
2) |
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1 |
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0 , условия признака |
Лейбница выполняются, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
lim |
|
un |
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
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1)2 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
(2n |
|
|
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|||||||||||||||||||||||
данный ряд сходится. |
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|
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|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Пример 32. |
|
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|
Исследовать сходимость ряда |
( |
|
1)n |
|
n |
|
|
. |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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n |
1 |
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n |
1 |
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Решение: |
1) |
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1 |
; |
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2 |
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2 |
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2 |
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; |
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u1 |
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( |
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1) |
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u2 |
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( |
1) |
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2 |
1 |
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3 |
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1 |
1 |
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2 |
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2 |
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u3 |
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( |
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1) |
3 |
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3 |
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3 |
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... члены ряда убывают по абсолютной величине; |
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3 |
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1 |
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4 |
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||||||||||
2) |
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lim |
|
n |
1 |
0 |
|
|
, второе условие признака Лейбница не выполняется, ряд |
|
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n |
1 |
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|
n |
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расходится.
34
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Степенные ряды |
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Определение. |
Ряд вида a |
0 |
+ a |
x+ a |
x2+…+a |
x n |
= |
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а |
xn |
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– |
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(13) |
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1 |
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2 |
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n |
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+… |
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n |
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n |
1 |
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называется степенным. |
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Числа a0, a1,… a2, …an …называются коэффициентами ряда, |
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x |
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R ─ действительная переменная. |
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Теорема. Степенной ряд (13) сходится при значениях х, содержащихся в |
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некотором интервале (-R, R) |
и расходится при значениях х вне этого интервала. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Этот интервал называется интервалом сходимости, а число R ─ радиусом |
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сходимости. |
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Формула для вычисления радиуса сходимости степенного ряда |
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R |
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lim |
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an |
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(14) |
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an |
1 |
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|||||||||
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|
n |
|
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Пример 33. |
Определить радиус сходимости степенного ряда и исследовать |
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x n |
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его сходимость на концах интервала |
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1 |
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. |
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||||||||||||||||||||
n |
3n (n 1) |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||
Решение: |
Найдём коэффициенты |
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an |
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1 |
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, |
an 1 |
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1 |
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1 |
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; |
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Найдем |
|||||
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|||||||
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3n 1 ((n 1) 1) 3n 1 |
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|
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3n (n 1) |
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(n 2) |
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|||||||||||||||||||||||||||||
R lim |
|
|
an |
|
|
; R |
lim |
|
3n 1(n 2) |
|
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|
lim |
|
3(n 2) |
|
3. |
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an 1 |
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3n (n 1) |
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n 1 |
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n |
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n |
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n |
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R=3, значит ряд сходится на интервале (-3; 3). Исследуем сходимость ряда на |
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концах интервала. |
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|||||||||
При x = 3, получаем ряд n |
|
|
3n |
|
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1 |
, ряд расходится, как |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
0 3n (n |
|
|
|
1) |
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n 0 |
n 1 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||
гармонический. |
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|||||||||
При x = -3, получаем знакочередующийся ряд |
( 1)n 3n |
|
|
|
( 1)n |
, этот |
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3n (n 1) |
|
|
n 1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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n 0 |
n 0 |
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||||||||
ряд сходится (по признаку Лейбница). Таким образом, ряд сходится для всех |
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x |
3; 3 . |
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|
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2n (x 1)n |
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Пример 34. |
Найти область сходимости степенного ряда |
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. |
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|
n 1 |
2n 1 |
35
Найдём радиус сходимости an |
2 n |
|
, an 1 |
2n 1 |
2n 1 |
||
|
|
|
|
|
, |
||
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|
|
|||
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2n |
1 |
2(n 1) 1 |
2n 1 |
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n |
|
|
2(n 1) 1 |
|
|
|
|
|
|
2n |
2n 2 1 |
|
2n 1 |
|||||||||||||||||
R lim |
|
|
|
n |
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
||||||||||
|
an 1 |
|
|
|
|
2n |
1 |
|
|
|
|
2n 1 |
|
|
|
|
|
|
2n 1 |
2n 2 |
2(2n 1) |
|||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
n |
|||||||||||||||||||||||||||
lim |
2n |
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
; |
|
R |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
4n |
2 |
|
|
|
|
4 |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
1 |
|
x |
1 |
|
1 |
, |
|
|
3 |
|
x |
|
1 |
|
─ интервал сходимости. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
|
|
|
|
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||||||||||||
Исследуем сходимость ряда на концах интервала. |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
2 |
n 1 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
При |
|
x |
|
1 |
, |
получим ряд |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
n 1 2n 1 |
n 1 2n 1 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
|
|
|
|
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|
|
Для исследования ряда на сходимость воспользуемся интегральным признаком
1
сходимости, в качестве функции f(x) возьмём функцию 2x 1 .
Несобственный интеграл
|
dx |
|
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|
|
1 |
|
|
1 |
ln(2 1 1)) |
|
|
1 |
ln |
|
2b |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
lim ( |
ln |
2b 1 |
|
|
lim |
|
1 |
|
|
расходится , |
||||||||||||||||||
1 2x 1 |
|
2 |
2 |
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
следовательно и ряд расходится. |
|
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|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n |
1 |
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n |
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||
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|
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1 n |
|
|
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||
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При |
x |
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3 |
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получим ряд |
2 |
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, по признаку Лейбница |
||||||||||||||||
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||||||||||||||||||||||
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2 |
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2n 1 |
|
n 1 2n 1 |
|||||||||||||||||||||||||
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|
n 1 |
|
|
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||||||||||||
ряд сходится, таким образом, интервал сходимости |
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3 |
x |
|
1 |
. |
||||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||
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Задания для выполнения контрольной работы
Задание 1. |
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Найти предел. |
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Таблица 2 ─ Данные задания 1 |
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|
№ |
|
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|
№ |
|
|
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|
1 |
|
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|
|
|
4 |
|
|
2 |
|
|
11 |
|
x |
2 |
|
2x 1 |
|
|
а) lim |
|
|
|
x |
|
3x |
|
|
|
|
а) lim |
|
|
||||
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5 |
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
x |
3 |
x |
|
|||
|
x |
0 x |
x |
2x |
|
|
x 1 |
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||||||||||
|
|
|
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||||||||||||
|
|
|
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|
|
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||
|
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|
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|
|
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|
36
|
б) lim |
|
|
|
|
4x |
2 |
|
4x |
|
|
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|
|
|
|
б) lim |
|
|
|
|
|
3x |
1 |
|
|
|
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|
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x 5 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
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|
|
x |
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
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4x |
1 |
|
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|
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|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3x |
4 |
|
4x |
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
а) lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
2 |
|
|
|
|
|
5x |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
(x |
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
б) |
lim |
|
|
6 |
|
|
3n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
4 |
|
|
|
4 x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3n |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
б) lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|||||||||
|
а) lim |
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
а) lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
1 |
|
|
x |
1 |
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
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|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
б) lim |
|
|
|
|
|
x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x |
3 |
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
x |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
а) lim |
|
|
|
1 |
|
x |
|
|
|
x2 |
|
|
1 |
|
|
|
а) lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
6x |
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
x |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
б) lim |
x3 |
|
5x 2 |
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
x 2 |
|
4x |
|
|
10 |
|
|
|
б) lim |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||
5 |
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x |
2 |
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9 |
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15 |
а) lim |
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1 |
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9x2 |
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а) |
lim |
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3x |
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2 |
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10x |
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3 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
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3 |
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x |
1 |
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2 |
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|
x |
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1 |
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||||||||||||||||||||||||||||
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3 |
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||||||||
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б) lim |
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x |
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1 2 x |
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б) lim |
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3x2 |
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2x |
1 |
|
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|||||||||||
|
|
x |
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2 |
|
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5 |
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4x |
2 |
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6x |
3 |
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||||||||||||||||||||||||||
|
x |
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|
x |
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6 |
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4x |
2 |
|
|
x |
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7 |
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16 |
|
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|
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|
x |
|
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|
2 |
|
|
|
|
x |
|
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|
2 |
|
|
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|||||||||||||||||||||||||
|
а) lim |
|
|
|
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|
|
а) lim |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||
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3x |
1 |
|
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|
2 |
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|
4 |
|
|
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|
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|
|
|||||||||||||||||||||
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
x |
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||
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|
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||
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б) lim |
3x |
|
sin x |
|
|
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6 |
x |
|
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1 |
|
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|
||||||||||||||||||||||||||
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|
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б) |
lim |
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|||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
cos x |
|
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|||||||||||||||||||||
|
x |
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6x |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
2x |
|
|
5 |
|
|
|
17 |
а) lim |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
x 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
а) lim |
|
|
|
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|
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|
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|
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|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
x |
2 |
|
|
|
|
|
3x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) lim |
|
4x2 |
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
б) lim |
|
|
x2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
x2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
4 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
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||||||||
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
8 |
а) lim |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
18 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
3x |
|
|
10 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
3 |
|
|
|
x2 |
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
6x |
8 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
б) lim |
sin 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
sin 8x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
37
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) lim |
|
|
x |
|
3 2 x |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
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9 |
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|
x |
2 |
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2x |
3 |
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19 |
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3x |
2 |
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|
2x |
1 |
|||||||||||||||
|
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|
|
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а) lim |
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а) lim |
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x2 |
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3x |
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x2 |
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4x 5 |
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x |
3 |
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x 1 |
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1 3x |
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б) lim |
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2x |
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б) lim |
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x2 |
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1 |
x |
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2x |
3 |
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4x |
2 |
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2 |
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x |
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x |
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10 |
а) lim |
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1 |
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8 |
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20 |
а) lim |
sin 6x |
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x |
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4 |
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16 x2 |
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x |
4 |
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x 0 sin 4x |
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x4 |
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5x |
1 |
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||||||||
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1 |
x |
2 |
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1 |
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б) lim |
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б) lim |
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3x |
2 |
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x |
5 |
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|||||||
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|
x |
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||||||||||
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|
x |
2 |
16 |
4 |
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||||||||||||||||||
|
x |
0 |
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dy
Задание 2. |
Найти: а) производную функции |
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dx |
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б) полный дифференциал функции z |
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f (x, y) |
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Таблица 3 ─ Данные задания 2 |
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|
№ |
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|
№ |
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1 |
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|
2 |
|
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11 |
|
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|
|
2 |
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|
а) y |
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ln x |
|
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x |
tg |
3x |
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||||||||||||||
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|
а) |
y |
|
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arcsin 3x e2 x |
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cos2 x |
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||||||||||
|
б) z |
|
|
|
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|
|
2xy2 |
|
1 |
|
|
|
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|
б) z |
x 2 |
|
|
y 2 arcsin y 2 |
x |
|
2 |
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|
|
|
|
x arcsin y |
|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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y2 |
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|
y |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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||||||
2 |
|
|
|
x2 |
|
|
2 |
|
|
|
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|
12 |
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|||||
a) y |
5 |
ln |
x |
|
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|
|
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|
|
а) |
y |
|
|
|
x |
3 |
|
|
1cos |
2 |
5x |
|
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|
2 |
|
|
|
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|
б) z |
|
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|
x |
|
y arctgx |
4 |
|
xy |
5 |
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|||||||||||||||||||||
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б) z |
x2arctgy |
|
x2 |
1 |
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|
y |
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3 |
а) y |
|
sin 2 x |
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13 |
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а) |
y |
|
arctg 3 x |
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|
cos 4x |
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x |
2 |
3 |
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|
2 |
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|||||||
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|
x 4 |
|
|
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|||||||
|
б) z |
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|
4x 3 y |
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|
sin 5x |
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2 y |
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||||||||||||||||||||||||
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2 y 3 |
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б) z |
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x y2 ln x |
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4 |
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x |
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|||||
4 |
|
|
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|
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|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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14 |
|
|
|
arctg |
x |
|
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|
2 2 |
|
|
|
||||||||||||||||
а) y |
|
arctg |
|
|
ln |
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x2 |
3 |
|
|
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|
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|
|
|
а) |
y |
|
|
2ln x |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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3 |
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4 |
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б) z |
3xtg2y 2x3 y |
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б) z |
3x2 y |
|
|
2 y2 |
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|
5x2 |
|
6x cos y |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
4 |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 |
а) y |
x4 sin 3 5x |
arcsin 3x |
|
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15 |
|
а) |
y |
sin 2xecos 3x ln x |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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б) z |
4x 2 cos 6 y |
2 y 3 x 2 |
5 |
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б) z |
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y |
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x2 |
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y2 |
3tgx |
2 |
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6 |
а) y |
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4x ln(1 |
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x3 ) |
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16 |
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а) |
y |
ln |
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1 |
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tgx |
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3 |
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б) z |
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(x |
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x2 y) cos y |
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3x |
7 |
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1 |
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tgx |
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б) z |
1 |
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x2 arcsin y |
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2y4 x |
6y |
38
7 |
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а) |
y |
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(xe |
2 x |
4sin x) |
5 |
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17 |
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4x |
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arcsin 4 2x |
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а) y |
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б) z ex y |
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2x3 y4 5y3 |
2 |
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2 x2 |
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б) |
z |
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2 |
x |
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3x2 y5 |
5sin x |
7 |
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8 |
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а) |
y |
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cos |
5 |
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2x |
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ln tg |
x |
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18 |
а) y |
4 |
sin 5 2 x |
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cos 2x ln x |
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2 |
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б) |
z |
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x y2 |
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1 |
3ey x4 |
5y |
1 |
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б) z 2x y |
4 x 2y5 x 1 |
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9 |
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а) |
y |
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e4 x ln cos x |
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19 |
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а) |
y |
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3arccos2 x |
cos2 x |
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б) z |
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2x y ln y 6 |
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2x 1 |
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б) z y x2 |
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2 3 y x 6x 7 |
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10 |
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а) |
y |
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1 |
ln tg |
x |
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arctg 2 5x |
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20 |
а) |
y |
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arcsin |
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x |
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e2 x 2 |
3 |
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2 |
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3 |
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x |
2 |
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б) |
z |
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3x |
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y |
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2 y cos x |
6x |
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б) |
z |
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ytgx |
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y |
2 |
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2 x |
y |
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Задание 3. |
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Исследовать функцию и построить график |
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Таблица 4 ─ Данные задания 3 |
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№ |
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№ |
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y |
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x2 |
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11 |
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y |
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3ln x |
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x |
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x2 |
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4 |
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2 |
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y |
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x |
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2 |
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4 |
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12 |
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y |
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x |
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ln x |
2 |
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x |
2 |
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||||||
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3 |
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y |
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ex |
1 |
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13 |
|
y |
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x3 |
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||||||||||
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|
x |
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2(x |
1)2 |
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||||||||||||||||||
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4 |
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y |
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x2 |
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14 |
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y |
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3 |
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4x |
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2 |
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5x |
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|||||||
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2(x |
1) |
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5 |
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15 |
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y |
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x |
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27 |
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|||||
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y |
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2x ln x |
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x3 |
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6 |
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1 |
x |
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16 |
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y |
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e2 |
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y |
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1 |
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x e |
x |
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|||||||||||||
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x |
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||||
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7 |
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y |
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x |
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2 |
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17 |
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y |
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2x |
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2 |
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x2 |
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ln x |
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||||||||||||||
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|||||||||||||||
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8 |
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y |
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8x |
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18 |
|
y |
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|
x |
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||||||||||
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(x |
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2)2 |
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x2 |
16 |
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|||||||||||||||||||||
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9 |
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19 |
|
y |
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|
3x2 |
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|
||||||
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y ln x2 |
|
4x 5 |
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|
x2 |
1 |
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|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||
|
10 |
|
y |
|
2x2 |
|
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|
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|
20 |
|
y |
|
x2 |
2 |
|
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|||||||||||||||
|
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|
2x |
1 |
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|
|
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|
x2 |
9 |
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||||||||||||||||
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39
Задание 4.
1 ─ 5. Предложение товара (S) относительно цены (р) определяется функцией S(p). Рассчитать эластичность функции предложения и найти значения показателя эластичности для заданных значений р. Дать экономическую интерпретацию полученным результатам.
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S p |
3 4 |
p 2 |
|
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||||||
1. |
|
|
|
|
|
|
|
(усл.ед.), |
р = 4 (ден.ед.). |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1 |
5 p |
|
|
||||||
2. S p |
6 |
|
(усл.ед.), |
р = 8 |
(ден.ед.). |
||||||
|
|
|
|
||||||||
12 |
p |
||||||||||
3. |
S p |
|
3p |
2 (усл.ед.), |
р = 4 (ден.ед.). |
||||||
4. |
S p |
9 |
|
|
(усл.ед.), |
р = 3 |
(ден.ед.). |
||||
|
|
|
|||||||||
12 |
p |
||||||||||
5. |
S p |
|
2 p |
3 (усл.ед.), |
р = 2 |
(ден.ед.). |
6 ─ 10. Спрос на товар (Д) в зависимости от дохода потребителей (х) определяется функцией Д(х). Рассчитать эластичность функции спроса относительно дохода и найти значение показателя эластичности для заданных значений х. Дать экономическую интерпретацию полученным результатам.
6. |
Д x |
2x |
(усл.ед.), |
х = 2 (ден.ед.). |
|||
|
|
||||||
x |
4 |
||||||
7. |
Д x |
|
5 x |
|
1 |
(усл.ед.), |
х = 4 (ден.ед.). |
|
x |
2 |
|||||
|
|
|
|
|
8. |
Д x |
5 |
|
|
(усл.ед.), |
х = 2 (ден.ед.). |
||||
|
|
|
|
|
||||||
3 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
9. |
Д x |
|
|
3x |
|
(усл.ед.), |
х = 3 (ден.ед.). |
|||
|
|
|
||||||||
2x |
7 |
|||||||||
10. |
Д x |
|
8 x |
|
2 |
(усл.ед.), |
х = 8 (ден.ед.). |
|||
|
|
x |
6 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
11─15. |
Пусть функция полных затрат имеет вид К(х), где х ─ объём |
производимой продукции. Рассчитать эластичность функции полных затрат и найти значение показателя эластичности для заданных значений х. Дать экономическую интерпретацию полученных результатов.
11. |
K (x) |
4 ln(2 |
3x) (ден.ед.), |
х = 30 (усл.ед.). |
12. |
K x |
2x3 |
x 2 3x (ден.ед.), |
х = 20 (усл.ед.). |
40