65
Задание №7
7. Управление запасами
При решении задачи управления запасами в основном необходимо ответить на два вопроса: когда запасы подлежат пополнению и каков объем пополнения запасов. А это, в свою очередь, необходимо для решения следующих двух задач: удовлетворить спрос на определенную продукцию и минимизировать суммарные издержки по обеспечению спроса на определенном уровне.
Разработано большое количество моделей оптимального управления запасами. Из всего этого множества рассмотрим лишь следующие три модели:
модель определения оптимального уровня запаса; модель определения оптимальной партии изделий; модель запасов с дефицитом;
В зависимости от того или иного типа модели каждый раз оптимальный уровень запаса определяется из условия минимизации суммарных издержек, в которые включаются разные составляющие. При этом действуют разные предпосылки относительно времени реализации поставки.
Рассмотрим последовательно реализацию каждой модели из приведенного списка.
Первая модель является базовой и определяется в предположении, что известны спрос на продукцию, издержки хранения единицы запаса и издержки оформления одного заказа, а также предполагается, что интенсивность расходования запаса постоянна, а поставка осуществляется мгновенно. Оптимальный уровень заказа в этом случае определяется из условия минимизации издержек хранения и заказывания. Обозначим их соответственно через THC и TOC. Тогда общие издержки составят: TIC = THC + TOC.
Введем обозначения:
Q – величина одного заказа;
cо – издержки оформления одного заказа; D – величина спроса на продукцию;
ch – издержки хранения ед. товара.
Тогда, THC = ch Q/2, a TOC = co D/Q, следовательно,
TIC = ch Q/2 + co D/Q. Минимизируя эту величину, получим известную формулу Уилсона:
Q* = 
2 co D
ch .
Приведем решение задачи по этой модели.
Пусть D = 5 000, Co = 15, Ch = 10.
66
Тогда Q* = 
2 *15* 500010 =122.47.
Определим другие характеристики системы.
THC = ch Q*/2 = 10.122.47/2 = 612.37, TOC = co D/Q* = 15.5000/122.47 = 612.37. Совпадение этих величин не случайно. В точке минимума суммарных издержек кривые издержек заказывания и хранения пересекаются, как это видно из рис.9.
Q* |
Q |
Рис. 9.Графическое решение задачи |
|
Прямая линия здесь характеризует издержки хранения (Holding Cost), равные (Q/2)ch, гипербола - издержки заказывания (Setup Cost), равные (D/Q)co. Верхняя линия - суммарные издержки (Total Cost). Как видим, точка минимума этих издержек совпадает с точкой, в которой издержки хранения и заказывания совпадают (нижние две линии пересекаются).
Поскольку в предположении этой модели поставка осуществляется мгновенно, а интенсивность расходования запаса постоянна, то максимальный уровень запаса совпадает с оптимальным и равен 122,47, а его средний уровень составляет половину оптимального и равен 61,24. При этом суммарные издержки запаса равны 1224,74, а число заказов равно D/Q* = 41 (с округлением).
Рассмотрим вторую модель - модель определения оптимальной партии изделий. При определении оптимальной партии изделий предполагается, что заказ поступает не мгновенно, а постепенно, с постоянной интенсивностью p, а запас расходуется с интенсивностью d, при чем, p > d и, следовательно, пополнение запаса происходит с интенсивностью (p – d). За счет того, что запас одновременно пополняется
67
и расходуется, хранить приходится меньше и, следовательно, уменьшаются суммарные издержки.
Оптимальный уровень заказа (оптимальная партия изделий) в этом случае определяется из соотношения:
|
* |
|
2сo D |
|
Q |
|
= |
|
. |
|
ch (1 d p) |
|||
Максимальный уровень запаса в этой модели определяется из соотношения: Q*(1 – d/p), что, в отличие от предыдущей модели, меньше оптимального уровня заказа Q*.
Продолжим решение рассмотренного примера в предположении этой модели. Пусть интенсивность пополнения заказа составляет p = 30 ед. в день, а интенсивность расходования заказа составляет d = 20 ед. в день. Определить оптимальный уровень заказа и другие характеристики
системы в этих условиях. Имеем: Q* = |
2 15 5000 |
|
= 212,13. Тогда |
|||
10 |
(1 |
20 30) |
||||
|
|
|
||||
максимальный уровень запаса составит: Q*(1 – d/p ) = 212,13(1-1/3) = 70,7, а средний уровень – его половину, т.е. 35,35. Число заказов будет равно D/Q* = 5000/212,13 = 23,6. Издержки заказывания в этом случае составят 23,6.15 = 353,5, а издержки хранения - 35,35.10 = 353,5 (как видим, они вновь совпали). Тогда суммарные минимальные издержки будут равны 353,5 + 353,5 = 707, что существенно меньше, чем в предположениях предыдущей модели.
Модель запасов с дефицитом реализует предпосылку, что иногда выгоднее иметь некоторое время неудовлетворенный спрос и за счет этого уменьшить издержки хранения. Кроме того, в данной модели предполагается, что накопленный спрос удовлетворяется в первую очередь, и потому максимальный уровень запаса уменьшается по сравнению с оптимальным уровнем заказа на величину максимального уровня дефицита .
Пусть эта модель имеет те же предпосылки, что и модель Уилсона. Обозначим через cs удельные издержки дефицита. Тогда оптимальный уровень заказа Q* и оптимальный уровень запаса I* определятся из соотношений:
Q* = |
2 сo D (ch cs ) |
, |
I* = |
2 сo D cs |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
ch cs |
|
ch (ch cs ) |
|
|
|
|
|
|
Оптимальный уровень дефицита будет равен: S* = Q*- I*. |
|
|
|
||||||
Период между поставками определится из: T = |
|
2 сo (ch |
cs ) |
|
. |
||||
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
ch cs |
D |
||
68
Средний уровень запаса = |
|
(Q S)2 |
, средний уровень дефицита = |
S 2 |
, |
||||||||||||||
|
2Q |
2Q |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
число заказов = |
D |
, тогда издержки хранения составят: |
(Q S)2 |
ch, издержки |
|||||||||||||||
Q |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2Q |
|
|
|||
дефицита: |
S 2 |
сs, |
а издержки заказывания: |
D |
co. Их сумма даст общие |
||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||
|
2Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q |
|
|
||||||
издержки: TIC = |
D |
co + |
(Q |
S)2 |
ch + |
S 2 |
|
сs. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2Q |
2Q |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Здесь суммарные издержки складываются из издержек заказывания, хранения и дефицита, а оптимальный уровень определяется из их минимизации. И потому издержки заказывания и хранения в оптимальной точке для этой модели не совпадают, как это было в предыдущих моделях.
Продолжим решение предыдущего примера с учетом издержек дефицита. Для этого дополнительно необходимо указать издержки дефицита, которые примем равными 20.
Имеем:
Q* = |
|
2 15 5000 (10 20) |
|
= 150, |
I* = |
|
2 15 20 5000 |
= 100, |
||||||
10 20 |
|
10 |
(10 |
20) |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
S* = 150 – 100 = 50. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Период между заказами составит: T = |
2 15 (10 |
20) |
|
|
|
= 0,03 (года) или |
||||||||
10 20 5000 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
11 дней. Число заказов в год составит 365/11=33,2.
Подсчитаем издержки, связанные с запасом. Издержки заказывания
равны: |
5000 |
.15 = 500, издержки хранения: |
(150 50)2 |
.10 = 33,33, издержки |
||||
150 |
2 150 |
|||||||
|
|
|
|
|
||||
дефицита: |
502 |
|
.20 = 166,67. Следовательно, общие издержки равны 700. |
|||||
2 150 |
||||||||
|
|
|
|
|
||||
7.1. Варианты для решения задачи №7
При решении задачи по этой теме необходимо вычислить (с комментариями) все рассмотренные в примерах характеристики. При этом необходимо решить задачи по всем трем рассмотренным моделям.
Исходные данные для вариантов следующие.
D = 1000+10n, co = 10+2n, ch = 5+3n, cs = 20+2n,
где n – номер варианта.