54

Вариант 9

55

Вариант 10

56

57

Задание №5

5. Задача оптимального размещения производства 5.1. Краткие теоретические сведения

Эта задача относится к (задаче) производству одного или нескольких взаимозаменяемых видов продукции, но в условиях, когда наличные мощности поставщиков недостаточны для удовлетворения спроса потребителей. Это требует ввода новых мощностей за счет капитального строительства и реконструкции.

Обычно существует несколько возможных вариантов строительства и реконструкции, отличающихся по производственной мощности, местоположению, уровню капитальных затрат и других показателей.

К задаче оптимального закрепления потребителей за поставщиками добавляется задача оптимального прироста мощностей. Решение данной задачи должно обеспечить определение оптимальных вариантов размещения производства и перевозок продукции, при которых достигается минимум суммарных текущих затрат на производство продукции, ее транспортировку и приведенных капитальных вложений (оптимальных инвестиционных вложений) в создание новых мощностей или расширение действующих. Математическая модель задачи:

где Е - нормативный коэффициент эффективности капитальных вложений, ki- удельные капитальные вложения в i-ой отрасли, Ai -мощность i-го предприятия-поставщика, Вj - спрос j-го потребителя, хij - искомый объем перевозок продукции от i-го поставщика j-му потребителю.

Первая группа ограничений показывает, что действующих и добавленных мощностей больше, чем необходимо, вторая - что спрос потребителей готовой продукции должен быть удовлетворен.

Эта модель представляет собой открытую транспортную задачу, которая приводится к закрытой введением условного потребителя. Поставщиков, которые в оптимальном плане "прикрепились" к условному потребителю, использовать нецелесообразно. Если это относится к проектируемому предприятию, то соответствующий вариант отбрасывается, как нерациональный.

Если же к условному потребителю "прикрепилось" какое-либо

59

предприятий и приведенные затраты сi cij E ki для вариантов прироста

мощностей.

Первоначальный опорный план находим по методу минимального элемента. Первой заполняем клетку (3.3) с наименьшим тарифом. Поставку х33 определяем по правилу х33=min (a3, b3)=min (170,120)=120 . Следующими заполняются клетки в порядке возрастания тарифов с учетом предыдущих поставок х31=min (170-120; 150)=50 и т.д.

Получим таблицу

Вычисляем суммарные издержки этого плана: z1=4725.

Задачу решаем методом потенциалов. Условия оптимальности по

переместить единицу груза.

Из 2-го условия теоремы о потенциалах следует, что план будет оптимальным, если все характеристики свободных клеток будут неотрицательны.

Число занятых клеток в таблице должно быть m+n–1=10–1=9. В нашем случае их восемь. Такой план называется вырожденным. Добавляем нулевую поставку в любую свободную клетку, но так, чтобы не замкнуть контур из занятых клеток. Положим, например, х15=0.

60

Потенциалы строк и столбцов вычислим по занятым клеткам из 1-го условия теоремы о потенциалах. В нашем примере потенциалов десять, а число уравнений, из которых они определяются, ( сij uij v j ) – девять.

Такая система имеет одну степень свободы, поэтому один из потенциалов задаем произвольно, например u1=0, а остальные определяются единственным образом.

Все характеристики свободных клеток в плане х1 неотрицательны, поэтому план оптимальный, но не единственный, т.к. Е41=0.

В оптимальном плане вариант А4 прикрепился к фиктивному потребителю, поэтому оптимальным вариантом прироста мощностей является реконструкция предприятия А1. Полученное решение целочисленное. При этом Zmin=4725.

5.3. Варианты заданий для выполнения задачи №5

Мощности трех действующих предприятий в пунктах А1, А2, А3 составляют ai (300;500;450) ед. однородной продукции. Перспективная

потребность в этой продукции четырех потребителей в пунктах В1, В2, В3,

В4 равна b j (520;380;240;360).

Увеличение выпуска продукции возможно за счет строительства новых предприятий в пунктах А4 и А5 и реконструкции действующих. Известны: сi -затраты на производство единицы продукции;

сi рек -затраты на производство после реконструкции;

ki -капитальные затраты на единицу готовой продукции, связанные с

реконструкцией и строительством;

cij -затраты на доставку единицы продукции от i –го предприятия до j –го

потребителя.

Ен=0,15-нормативный коэффициент эффективности, связанный со строительством и реконструкцией.

Определить оптимальный план строительства и реконструкции, обеспечивающий минимальные суммарные издержки на производство, доставку и прирост производственных мощностей.

61

Для выбора своего варианта пользуйтесь следующими правилами: Вариант 1. Реконструкция А1 и строительство А4. Вариант 2. Реконструкция А1 и строительство А5. Вариант 3. Реконструкция А2 и строительство А4. Вариант 4. Реконструкция А2 и строительство А5. Вариант 5. Реконструкция А3 и строительство А4. Вариант 6. Реконструкция А3 и строительство А5. Вариант 7. Реконструкция А1 и строительство А2. Вариант 8. Реконструкция А1 и строительство А3. Вариант 9. Реконструкция А2 и строительство А3. Вариант 10. Реконструкция А4 и строительство А5.

Задание №6

6.Двухэтапная производственно-транспортная задача

6.1Краткие теоретические сведения

Вотличие от классической транспортной задачи в двухэтапной задаче потребитель получает продукцию не от поставщика, а через промежуточное звено, например со склада.

Рассмотрим двухэтапную задачу: поставщик – склад - потребитель. Пусть m поставщиков однородной продукции с мощностями а1, a2,...,am

направляют ее p складам с пропускными способностями d1, d2,...,d p ,

которые, в свою очередь, поставляют эту продукцию потребителям со спросом b1,b2,...,bn. Известны издержки cik и сkj по доставке ед. продукции

поставщиков к складам, складов к потребителям, при котором суммарные издержки будут минимальными. Обычно в таких задачах выполняется

поставщиками равно суммарной потребности, а емкость складов превышает эту величину.

решение задачи по частям может привести к несогласованности планов оптимизации первого и второго этапов.

В этом случае задача решается одновременно в одной таблице.

62

Математическая модель задачи

1-я группа ограничений показывает, что вся продукция вывозится с предприятий на склады, 2-я – что спрос потребителей должен быть удовлетворен, 3-я – что пропускная способность складов превышает суммарную мощность поставщиков и суммарный спрос потребителей. Такая задача решается методом фиктивной диагонали.

6.2.Пример решения задачи

Покажем реализацию этого метода на условном примере. Пусть предприятие имеет три цеха по производству продукции и два склада, где хранится изготовленная продукция перед отправкой ее потребителю. Со складов продукция доставляется трем потребителям. Известны мощности цехов по производству продукции ai 240,260,300 , пропускные

способности складов dk 400,600 , потребности потребителей в продукции

продукции из цеха потребителю запрещены, потребитель получает готовую продукцию со складов. Определить оптимальный план перевозок, минимизирующий суммарные затраты. Склады на первом этапе являются потребителями продукции, на втором – поставщиками, поэтому им в таблице отводятся столбцы как потребителям и строки как поставщикам.

63

Перевозки со склада на склад также запрещены, они блокируются запретительными тарифами М. Разрешается поставка склада самому себе, что означает размер неиспользованной мощности склада.

Заполним по методу минимального элемента сначала блок таблицы, в котором отражаются перевозки продукции со складов потребителям, затем фиктивную диагональ, затем перевозки от поставщиков на склады. Получим следующую таблицу.

План х1

Для этого плана общие издержки состовят: Z1=6290. Число занятых клеток в таблице m+n-1=5+5-1=9. Далее решаем задачу методом потенциалов.

Рассчитав потенциалы и характеристики для этого плана по аналогии с предыдущим, видим, что полученный план х1 неоптимальный, так как E54 2 . Строим для клетки (5,4) контур (5,4)-(5,3)-(4,3)-(4,4)-(5,4) и

перемешаем по нему поставку min(200,300) = 200. Получим план х2. При

План х2 оптимальный, так как все характеристики свободных клеток

64

План х2

6.3.Варианты для выполнения задания №6

Условия заданий те же, что и в рассмотренном примере.

Прямые поставки продукции из цехов потребителям запрещены.