Кафедра высшей математики

3

Введение

Методические указания составлены для студентов-заочников всех специальностей, содержат программу курса экономико-математических методов и моделей, указания к выполнению заданий контрольной работы и варианты выполнения заданий.

Студенты выполняют пять заданий. Первые четыре задачи - общие для всех специальностей (1-4). Пятая задача для студентов факультетов:

''Аудитор'' - задание №5 (задача оптимального размещения производства).

''Финансист'' – задание №6 (двухэтапная производственно - транспортная выдача);

''Менеджер'' – задание №7 (управление запасами); ''МЭО''– задание №8 (управление запасами).

Номер варианта контрольной работы выбирается студентом в соответствии с первой буквой своей фамилии.

Программа курса экономико-математические методы и модели.

Введение. Необходимость применения математических методов в условиях рыночной экономики. Цель, задачи и содержание курса, его связь с другими курсами. Понятие математической модели и моделирование. Классификация моделей и этапы экономико-математического моделирования.

Раздел 1. Анализ межотраслевых связей. Схема и модель межотраслевого баланса (МОБ) производства и распределения продукции. Исследование и решение системы уравнений МОБ. Баланс трудовых ресурсов и основных производственных фондов. Коэффициенты прямых и полных материальных затрат, затрат труда и фондов. Матричный мультипликатор Леонтьева. Определение равновесных цен. Ценовой матричный мультипликатор.

Раздел 2. Линейное программирование в экономико-математическом моделировании. Двойственность в линейном программировании. Экономическая интерпретация и свойства двойственных оценок. Анализ модели на чувствительность. Задача оптимального размещения производства. Двухэтапная производственно-транспортная задача.

4

Раздел 3. Методы сетевого планирования и управления. Основные понятия и правила построения сетевых графиков. Расчет основных показателей сетевых графиков: критического пути и его продолжительности, резервов времени событий и работ. Оптимизация сетевых графиков при фиксированной и нефиксированной продолжительности критического пути.

Раздел 4. Экономико-статистическое моделирование и прогнозирование. Парная и множественная корреляция и регрессия. Виды и формы связи между различными экономическими показателями. Коэффициенты регрессии и их экономический смысл. Оценки точности уравнения регрессии. Автокорреляция остатков. Экономический анализ и прогнозные расчеты экономических показателей.

Раздел 5. Модели оптимального управления запасами. Основные понятия. Минимизация суммарных издержек запасов. Оптимальный размер партии заказа. Определение оптимальной партии изделий. Модель планирования дефицита.

Задание № 1

1. Анализ межотраслевых связей

Краткие теоретические сведения

Метод межотраслевого анализа позволяет дать последовательный и численно определенный ответ на вопросы, связанные с межотраслевыми взаимодействиями и их влиянием на основные макроэкономические показатели.

Обычно составляются отчетные и плановые балансы. Отчетные балансы строятся на основе отчетных статистических данных и их анализ помогает правильно оценить сложившиеся пропорции в экономике страны и сформулировать основные задачи на следующий период. Плановые балансы позволяют выработать рекомендации по сбалансированности всех элементов общественного производства в будущем периоде и установить соответствие потребностей и ресурсов хозяйственной системы, которые сложатся в экономике в случае выполнения рекомендаций.

Система балансов как экономико-математическая модель является незаменимым рабочим инструментом государственного регулирования экономики.

5

1.1. Схема и модель МОБ производства и распределения продукции

Введем необходимые для дальнейшего понятия.

Промежуточным продуктом (промежуточным спросом) будем называть часть валового продукта, представляющего собой закупки i-го вида продукции j-ми отраслями в качестве исходных материалов, т.е. это продукт, который поступает из i-й отрасли в j-ю для дальнейшей переработки в текущем периоде. Будем обозначать его через xij.

Конечным продуктом (конечным спросом) будем называть часть общего спроса, представляющего закупки конечных продуктов, т.е. продуктов, выходящих из сферы производства в область конечного использования на потребление и инвестиции. Обозначим его через yi.

Добавленная стоимость представляет собой факторные затраты отрасли, состоящие из заработной платы, предпринимательского дохода отрасли, различного вида налогов и амортизации. Добавленная стоимость

–это стоимостной эквивалент конечного продукта. Обозначим ее через zj.

Стеоретической точки зрения МОБ представляет собой экономикоматематическую модель процесса воспроизводства, которая в развернутом виде отражает взаимосвязи по производству, распределению, потреблению и накоплению каждого вида продукции в единстве материальновещественного и стоимостного аспектов воспроизводства.

Объединение указанных характеристик в рамках единой модели на практике достигается посредством крестообразного наложения двух таблиц одна на другую. В одной из них (вертикальной) в отраслевом разрезе представлена структура затрат, необходимых для производства продукции в каждой отрасли, в том числе и элементы добавленной стоимости. Во второй таблице (горизонтальной) отражено распределение продукции на нужды промежуточного (текущего производственного) и конечного использования.

Пересекающаяся часть этих двух таблиц образует так называемую “шахматку”, или, по-другому, первый квадрант общей схемы МОБ. Строки и столбцы “шахматки”, имеющие одинаковые номера, характеризуют процесс производства (по столбцам) и распределения (по строкам) продукции одной и той же отрасли на нужды текущего производственного потребления. Итак, в пределах “шахматки” (I квадранта МОБа) отражается внутрипроизводственный оборот (промежуточные затраты – промежуточный выпуск) предметов труда и услуг.

Рассмотрим общую схему МОБ, которая в стоимостном исчислении состоит из четырех разделов (квадрантов) (табл. 1.1).

6

Таблица 1.1

Общая схема межотраслевого баланса

В I и II квадрантах отражаются важнейшие материально-вещественные взаимосвязи и пропорции национальной экономики, выраженные в стоимостных измерителях: отраслевая и материально-вещественная структура фондов текущего производственного потребления и конечной продукции.

Каждая строка таблицы характеризуется следующим балансом:

В I и III квадрантах отражены важнейшие стоимостные пропорции по производству национального продукта. Здесь показана стоимостная отраслевая структура затрат или структура используемых ресурсов, необходимых для производства продукции каждой отрасли.

Каждый столбец таблицы характеризуется следующим балансом:

Расходы отрасли = Промежуточные затраты +Добавленная стоимость,

что в математической записи выглядит так:

7

Известно, что общая сумма конечного спроса равна общей сумме добавленной стоимости:

Равенство (1.1) называется системой уравнений распределения продукции, равенство (1.2) – системой уравнений производства продукции, а (1.3) – основное балансовое соотношение.

Будем считать, что объемы промежуточного производственного потребления прямо пропорциональны объемам производства продукции

где коэффициентами пропорциональности aij являются коэффициенты прямых материальных затрат и определяются из соотношений:

Из (1.5) следует смысл этих коэффициентов; они показывают объем материальных ресурсов i-го вида, необходимый для производства единицы валового продукта j-го вида. После подстановки (1.4) в (1.1) получаем

Это и есть система уравнений модели В. Леонтьева “затраты-выпуск”, или, по-другому, статическая модель МОБ. Запишем систему уравнений (1.6) в матричной форме:

1.2. Расчет равновесного выпуска и равновесных цен

Решим уравнение (1.6а) относительно Х, определив равновесный выпуск отраслей, обеспечивающий заданный уровень спроса Y на

Уравнения (1.12) или (1.13) называют моделью равновесных цен, а

1.3. Балансы трудовых ресурсов и основных производственных фондов

При анализе межотраслевых связей наравне с решением системы уравнений по производству и распределению продукции при составлении планового баланса рассчитываются также плановые потребности в трудовых ресурсах и основных производственных фондах.

Рассмотрим упрощенный баланс труда, который описывается

Коэффициенты tj рассчитываются на основе информации отчетного баланса и затем используются при определении потребности в трудовых ресурсах в плановом балансе.

Дополним схему анализа межотраслевых связей также балансом

где Фj –величина среднегодовых фондов j–й отрасли.

Плановая потребность в основных производственных фондах рассчитывается аналогично как и для трудовых ресурсов.

Рассмотрим на конкретном примере постановку задачи и последовательность ее решения для выполнения контрольной работы по обсуждаемой теме.

1.4. Пример решения задачи

Цель: научиться использовать экономико–математическую модель межотраслевых связей в анализе межотраслевых пропорций на основе коэффициентов затрат и эффектов мультипликаторов.

10

Задача. Дан следующий отчетный межотраслевой баланс (МОБ) (пример условный)

Здесь в шахматке указаны межотраслевые потоки промежуточной продукции, в последних двух строках (за пределами таблицы) – объемы затрат труда и фондов, а в последнем столбце – конечная продукция.

Задания для выполнения работы

1.Построить таблицу отчетного МОБ, проверить основное балансовое соотношение.

2.Составить плановый МОБ при условии увеличения спроса на конечный продукт на 10 %.

3.Рассчитать коэффициенты прямых затрат труда и фондов и плановую потребность в соответствующих ресурсах.

4.Проследить эффект матричного мультипликатора при дополнительном увеличении конечного продукта по легкой промышленности на 5 %.

5.Рассчитать равновесные цены при увеличении зарплаты по всем отраслям на 10 % (считать доли зарплаты в добавленной стоимости по отраслям следующими: 0,33, 0,5, 0,35, 0,43, 0,6). Проследить эффект ценового мультипликатора при дополнительном увеличении зарплаты в пятой отрасли на 5 %.

11

1.5.Ход выполнения задания

1.Заполним таблицу отчетного баланса, придерживаясь табл. 1.1.

Таблица 1.2

Таблица отчетного МОБ

Столбец «итого» - это промежуточный продукт отраслей, который в сумме с конечным продуктом дает валовой продукт производящих отраслей (см. формулу (1.1)). Строка «итого» - это стоимости материальных затрат отраслей, которые в сумме с добавленной стоимостью дают стоимость валового продукта потребляющих отраслей (см. формулу (1.2)). Добавленную стоимость здесь определяем как разность валового продукта и материальных затрат.

При составлении табл. 1.2 необходимо также проверить основное балансовое соотношение, суть которого состоит в равенстве суммарного конечного продукта (последняя ячейка столбца «Кон.продукт») и суммарной добавленной стоимости (последняя ячейка строки «Доб. ст-

ть») в табл. 2 (см. формулу (1.3)). Имеем: (2288,2=2288,2).

2. Для составления таблицы планового баланса необходимо рассчитать плановый валовой выпуск по формуле (1.9) и плановые межотраслевые потоки по формуле (1.4), а дальше – по аналогии, как при составлении отчетного баланса.

Рассчитаем сначала коэффициенты прямых материальных затрат по формуле (1.5), используя информацию отчетного баланса. При этом все элементы каждого столбца межотраслевых потоков делим на валовой выпуск соответствующей потребляющей отрасли. Получим следующую матрицу коэффициентов прямых материальных затрат:

12

После этого рассчитаем матрицу В по формуле (1.8), для чего сначала вычислим матрицу (Е-А). Она имеет вид:

Затем найдем матрицу, обратную к ней. Поскольку процесс нахождения обратной матрицы трудоемкий и в данной задаче не имеет самостоятельного значения, приведем уже готовую матрицу без обсуждения метода ее нахождения. Аналогичным образом вы поступите, выполняя контрольную работу, воспользовавшись уже готовой обратной матрицей, приведенной в конце задания для каждого варианта. Итак, матрица В следующая:

Для расчета планового валового выпуска по формуле (1.9) необходимо вычислить плановый конечный продукт (Упл), увеличив отчетный по каждой отрасли на 10 %. Получим:

124,18

347,88

580,22

175,11

1289,6

Воспользовавшись формулой (1.9), перемножим матрицы В и Упл (по

правилу умножения матриц) и получим показатели планового валового продукта (хпл):

301,57

792,06

877,02

430,06

1882,1

13

Этот результат можно разместить сразу в столбце «Вал. продукт» таблицы планового баланса.

Для заполнения «шахматки» в этой таблице воспользуемся формулой (1.4). А далее - как при заполнении отчетного баланса. После соответствующих вычислений получим табл. 1.3.

Таблица 1.3

Таблица планового МОБ

Тем самым будет выполнен п.2 задания работы.

3. Для выполнения п.3 рассчитаем коэффициенты прямой трудоемкости и фондоемкости. Расчет будем проводить соответственно по формулам: tj = Lj/Xj, fj = Фj/Xj. Получим:

Подсчитаем плановую потребность в труде и фондах, используя формулы (1.15) и (1.17). Эту потребность сначала рассчитаем отдельно по отраслям, а затем просуммируем, чтобы получить общую потребность для всей экономики. Получим:

L 83,60 39,60 75,90 44,00 63,80 306,90

Ф36,300 106,700 137,500 91,300 82,500 454,30

Первые 5 цифр – это потребность в труде и фондах отдельно по отраслям, последние – по всей экономике.

4. Эффект мультипликатора Леонтьева проследим, используя соотношение X = B Y. Y рассчитаем из условия дополнительного увеличения спроса на конечный продукт по 3-й отрасли на 5 %. Итак, спрос на конечную продукцию по всем отраслям, кроме 3-й, остается прежним, т. е. прирост спроса по этим отраслям будет равен нулю, а по 3-й отрасли такой прирост будет равен (580,22 * 0,05 = 29,011). Имеем,

14

Y = (0 0 29,011 0 0)Т,

тогда

X = (1,35 6,63 33,13 2,78 6,09)Т

( X определено как произведение матриц B и Y). Как видим, изменение спроса на валовую продукцию произошло по всем отраслям, хотя спрос на конечную продукцию изменился только по одной отрасли. В этом и заключается эффект матричного мультипликатора: он отслеживает все взаимосвязи в экономике. В процентном соотношении эти изменения составляют: (0,45 0,84 3,78 0,65 0,32).

Как и следовало ожидать, наибольшее изменение спроса на валовую продукцию произошло по 3-й отрасли.

5. Равновесные цены определим из соотношения P = BT V, а доли добавленной стоимости рассчитаем по формуле vj = zj/xj, изменив их затем из условия 10 %-го увеличения зарплаты. Разделив добавленную стоимость по отраслям на валовой выпуск, получим:

Выделим из добавленной стоимости зарплату, воспользовавшись информацией из задания в п. 5 о долях зарплаты в добавленной стоимости. Получим:

Добавив 10% этих величин к ранее рассчитанным vj, получим требуемую величину доли добавленной стоимости. Итак, новые значения vj равны:

Для расчета по формуле P = BT V необходимо протранспонировать матрицу В коэффициентов полных затрат, заменив строки столбцами, в результате этого получите матрицу ВТ. Умножив ее на исправленные доли добавленной стоимости, получим равновесные цены:

1,034594

1,044797

1,018027

1,039047

1,055081

Не забудьте, что в соответствии с правилами умножения матриц вектор v перед умножением должен быть представлен в виде столбца.

Как видим, результаты расчетов показали, что при 10 %-м росте зарплат одновременно по всем отраслям цены на продукцию отраслей увеличились в пределах от 1,8 % до 5,5 %.

15

Рассчитаем теперь эффект ценового мультипликатора при дополнительном увеличении зарплаты по 5-й отрасли на 5 %. Расчеты будем вести по формуле P = BT V, где V определим из условия задачи.

V = (0 0 0 0 0,0202)Т.

Тогда

P = (0,0017 0,0055 0,0042 0,0058 0,0251).

Как и ожидалось, наибольший прирост в цене продукции пришелся на саму 5-ю отрасль - увеличение на 2,51 %, а по остальным отраслям этот прирост составил доли процентов. Например, по 2-й отрасли - на 0,55 %. Эффект же ценового мультипликатора проявился в том, что при изменении зарплаты только в одной отрасли изменение цен произошло во всех отраслях и это изменение можно отследить с помощью ценового мультипликатора BT.

1.6. Задания для выполнения работы № 1

При формировании варианта своего задания необходимо иметь в виду, что показатели межотраслевых потоков продукции в отчетном балансе, численность занятых в отраслях и объемы основных производственных фондов одинаковы для всех вариантов и совпадают с данными в рассмотренном примере. Для разных вариантов меняются лишь векторы конечных продуктов. Для конкретных вариантов они следующие:

1172,4 1172,4 1152,4 1065,8 1172,4 1065,8 1289,6 1172,4 1172,4 1289,4

Остальные показатели и нормативы необходимо взять из текста задания в п. 1.4.

Ниже приведены матрицы В для каждого варианта.

16

Задание №2

2. Определение оптимального плана выпуска продукции и анализ оптимального решения с использованием двойственных оценок

2.1. Краткие теоретические сведения

Пусть в производстве n видов продукции используется m видов ресурсов. Известны величины aij , характеризующие расход каждого вида

вида продукции, при котором расходы ресурсов не превышали бы имеющихся запасов (bi), а общий доход при реализации всей продукции (z) был бы максимальным.

каноническому виду добавлением в левые части ограничений неотрицательных балансовых переменных:

z 4x1 5x2 7x3 9x4 max .

Значения балансовых переменных показывают объемы неизрасходованных ресурсов в соответствующем плане. Отчет о решении этой задачи с помощью ППП QM for Windows по модулю Linear Proqramminq имеет следующий вид.

Таблица оптимального решения задачи

Рис.1. Окно результатов решения На рисунке приведено окно результатов. В последней строке этого

отчета под соответствующими переменными указаны их значения в оптимальном решении, а также значение целевой функции (в столбце RHS). В последнем столбце (Dual-двойственный) указаны двойственные оценки оптимального решения.

Итак, для получения максимального дохода от реализации производственной продукции ее необходимо выпустить в объемах:

х1*=67,083; х2*=0; х3*=15; х4*=103,333. При этом zmax=1303,333.

Двойственная задача. Найти значения переменных у1, у2 у3, у4, удовлетворяющих ограничениям:

20

Решения этой задачи выпишем из последнего столбца таблицы y1*=0,833, y2*=0, y3*=1,167, y4*=0,167.

Проиллюстрируем свойства двойственных оценок на основе этой задачи.

1. Каждая из оценок указывает, на сколько изменится максимальное значение целевой функции (максимальная выручка), если изменить на единицу запасы соответствующих ресурсов. Наибольшее изменение

выручки произойдет, если изменить объем 3-го ресурса ( y3* = 1,167), а изменение второго ресурса (в границах устойчивости) не приведет к

изменению целевой функции (у2*=0).

2. Оценки у1*, у3*, у4* положительны. Это означает, что при реализации оптимального плана соответствующие ресурсы расходуются полностью.

Аналогично для третьего и четвертого ресурсов (проверить самостоятельно). Следовательно, 1,3,4-й ресурсы дефицитны. у2*=0. Это означает, что в оптимальном решении второй ресурс расходуется не

Остаток второго ресурса составляет 400-349б582 50,4. Это и есть значение балансовой переменной в оптимальном решении исходной задачи.

3. Рентабельными являются 1-я, 3-я и 4-я продукции (х1*, х2*, х3* в оптимальном плане положительны), а нерентабельной 2-я – х2*. Проверим это, подставив уi* в сопряженные условия двойственной задачи. Для первой продукции: 4 0,833 3 0 4 0,167 4 . Получили строгое равенство.

Аналогично для 3-й и 4-й продукции (проверить самостоятельно). Покажем нерентабельность второй продукции, подставив yi во второе ограничение двойственной задачи. Получим:

Итак, оценка ресурсов, необходимых для производства единицы 2-й продукции больше цены единицы этой продукции на 7,668-5=2,668.