Савёлова Методические указания к решению задач по вероятностным разделам 2014
.pdfнимает |
|
|
значения |
1,−2,3,−4,…, |
причем вероятность |
|
|
{ξ |
= |
||||||||||||||||||||||||
(−1) |
|
|
|
} |
пропорциональна |
|
|
|
|
. Подчиняется ли эта последова- |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
тельность закону больших чисел? |
|
|
|
|
величин ξ ( = 1,2,…) |
||||||||||||||||||||||||||||
1.79.Последовательность |
случайных |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
удовлетворяет трем условиям: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
1) все |
|
|
ξ |
|
|
= |
, |
|
|
|
|
|
|
≠ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2) все |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Доказатьξ, |
|
,ξ |
≤ 0 при |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
3) все |
|
ξ |
|
|
≤ |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
чисел. |
|
|
|
|
что эта последовательность подчиняется закону больших |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.80.Случайная функция ξ( ) определена для всех t формулой |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ξ |
( ) |
= |
|
|
|
|
|
( |
|
) |
+ηнормальныеsin( ∙ ))случайные, |
|
|||||||||||||
где |
|
|
|
|
|
ξ |
|
|
|
η |
– (ξнезависимыеcos ∙ |
ве- |
|||||||||||||||||||||
циент |
|
|
|
|
|
= |
|
|
= 0, |
|
ξ |
|
= |
η |
|
= σ . |
Вычислить коэффи- |
||||||||||||||||
личиныξ ,…, ,ξ |
иη ,…,η |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
корреляции |
ξ( ) |
и |
ξ( ) |
при |
≠ |
|
и доказать, что он зависит |
|||||||||||||||||||||||||
от разности |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
попарно независимы, |
|||||||||||||||||||
1.81. |
Случайные величины |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
− . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вероятностями ½. При каких |
|||||||||||||||||
причем |
|
|
|
|
принимает значенияξ |
( |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
=с1,2,…) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
значенияхξ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
гарантировать, что последователь- |
||||||||||||||||||
|
параметра s можно ± |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
1.82.ξ ,...,ξ ,… |
подчиняется закону больших чисел? |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
ность |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
Предположим, что для некоторого |
|
|
|
существует |
|
. |
|||||||||||||||||||||||||
Доказать, что тогда для любого > 0 |
справедливо неравенство |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
. |
> 0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
1.83.Рассмотрим |
|
{ξ ≥ } ≤ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
последовательность |
|
центрированных |
|
случай- |
|||||||||||||||||||||||||||||
ных величин |
{ξ } |
|
( |
) |
|
. Если |
|
|
|
|
|
|
ξ |
|
то говорят, что последо- |
||||||||||||||||||
(ср) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||
вательность |
|
|
|
|
сходится в среднем: |
|
|
(ср) |
. Доказать, |
|
что из |
||||||||||||||||||||||
ξ ,...,ξ ,… |
|
|
|
|
|
|
ξ |
|
→ 0, |
|
|
||||||||||||||||||||||
ξ |
0 |
следует |
ξ |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
, но не наоборот. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
1.84.Предположим, что случайная величина |
|
нормальна с пара- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
метрами |
(0, |
), |
|
|
а неотрицательная |
случайнаяξвеличина |
η |
имеет |
|||||||||||||||||||||||||
плотность |
вероятности, пропорциональную |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
0 < |
|
< ∞. |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
41 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Доказать, что если ξ иη независимы, то плотность отношения
ξ⁄ η⁄ пропорциональна
(1+ |
|
) |
|
, −∞ < < +∞ |
|
(теорема Стьюдента).
1.7. Характеристические функции.
Центральная предельная теорема |
ξ |
|
||
Характеристической функцией случайной величины |
называет- |
|||
ся комплексная функция от действительного аргумента |
|
|||
φ ( ) = |
, |
−∞ < < +∞. |
|
|
Если случайные величины ξ иξ независимы, то
φ( ) = φ ( ) ∙φ ( ).
Теорема Муавра – Лапласа утверждает, что если случайная ве-
личина подчиняется биноминальному закону с параметрами n и |
||||||||||
p, то приξлюбых |
< |
′′ |
|
|
|
|
|
'' |
|
|
|
|
ξ − |
|
'' |
|
|
1 |
|
|
|
lim→ |
′ < |
< |
= |
|
. |
|||||
(1 − ) |
|
√2π |
||||||||
Примеры решения типовых задач
Пример 1.24
С помощью характеристических функций доказать, что для независимых случайных величин ξ ,…,ξ из примера 1.22 центральная предельная теорема (ЦПТ) выполняется, а ЗБЧ не имеет места.
Решение. Для последовательности
η = 1 ξ
находим характеристическую функцию. Имеем
42
|
|
( ) = |
1 |
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
φ |
|
|
|
|
+ |
|
|
= cos √ . |
|||||||||||||||||||
Находим |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
φ |
( ) = |
|
cos |
√ |
|
|
|
|
|
= exp |
|
lncos |
√ |
|
= |
|
|
|||||||||||
= exp − |
1 |
|
+ |
̅1 |
|
|
|
= exp − |
( |
4 |
+1) |
+ ̅ |
1 |
. |
||||||||||||||
Таким образом, |
|
φ |
( ) → |
|
|
|
при |
→ ∞. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
При выполнении ЗБЧ |
φ ( ) |
→ 1 при |
→ ∞. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Для ЦПТ рассматривается последовательность случайных величин
ζ = |
|
∑ |
ξ |
|
= |
|
|
|
1 |
) |
ξ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
( |
|
случайных величин ζ |
|
|
|
|
||||||||||||||
Характеристические |
функции |
имеют вид |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
√ |
|
|||||||||||||
φ ( ) = |
cos |
|
= exp |
|
lncos |
|
|
|
= |
|||||||||||||||||
|
|
( |
|
|
) |
|
|
|
|
( |
|
) |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= exp − |
( |
+1) |
+ |
|
̅1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
φ ( ) → |
|
|
, |
|
→ ∞. Следовательно, ЦПТ выполняется. |
|||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Пример 1.25
На склад поступает продукция с трех предприятий. Продукция первого предприятия составляет на складе 25 %, второго – 30 %, третьего – 45 %. В продукции первого предприятия имеется 60 % изделий высшего качества, в продукции второго – 65 %, третьего –
43
40 %. Найти вероятность того, что среди 200 произвольно взятых изделий не менее 90 являются изделиями высшего качества. Решение. Рассмотрим события:
А – произвольно взятое со склада изделие является изделием высшего качества; В – среди 200 произвольно взятых изделий не менее 90 – изделия высшего качества;
|
|
|
|
– |
взятое |
изделие |
|
изготовлено |
на пер- |
||||||||
втором\третьем предприятии. |
|
|
|
|
|
||||||||||||
вом\\ |
\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пользуясь формулой полной вероятности, получаем |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
( |
) = |
( |
|
|
) |
|
( | |
) = 0,525, |
| ) = 0,4. |
||||
Для вычисления искомой( | ) = 0,6; |
( | |
) = 0,65; ( |
|||||||||||||||
так как по условию |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
= 200 , |
|
вероятности пользуемся ЦПТ Муавра– |
|||||||||||
Лапласа, где |
|
|
= 0,525 , |
|
''= 0,475. |
|
|
||||||||||
поскольку |
= |
− |
|
≈ 13,45 ; |
|
|
= |
|
− |
≈ −2,12 , |
|||||||
В результате |
|
= 90, |
|
|
= 200. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
получаем |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
( |
) = |
(90 |
200) ≈ |
|
[Ф(13,45) − Ф(−2,12)] ≈ 0,983 , |
||||||||||||
|
2 |
|
|||||||||||||||
|
|
≈ 0,983. |
|
Ф( ) = |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||||
Задачи |
|
|
|
|
π |
|
|
|
|||||||||
Ответ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1.85.Вычислить характеристическую функцию дискретной слу-
чайной величины с распределением |
0, |
… |
|
|
− ,… , − |
, |
. |
||
,… , |
, |
0, |
… |
|
|
44 |
|
|
|
1.86.Вычислить характеристическую функцию случайной величины, плотность которой изображена на рис. 1.3.
1
2
-2 |
|
-1 |
|
0 |
1 |
2 |
|
t |
|
|
|
Рис. 1.3
1.87.Методом характеристических функций доказать, что сумма двух независимых случайных величин, подчиняющихся закону Пуассона, также подчиняется закону Пуассона.
1.88.Методом характеристических функций доказать предельную теорему Пуассона.
1.89.Какому условию должны удовлетворять неотрицательные
числа , ,..., ,…, для того чтобы функция
φ( ) = cos( ∙ )
была характеристической функцией? Какой случайной величины?
1.90.Вероятность наступления события A в одном испытании равна 1/2. Какова вероятность того, что при проведении 1000 независимых испытаний количество наступления события A будет заключено в интервале от 450 до 550?
1.91.Вероятность наступления события A в одном испытании равна = 0,4. Сколько надо провести независимых испытаний, чтобы было гарантировано неравенство
−< 0,01 0,995 ?
1.92.В практически неограниченной совокупности некоторых предметов половина из них обладает свойством A и пятая часть –
45
свойством B. Свойства A и B распределены между предметами независимо. Из совокупности случайно выбрали 1600 предметов. Какова вероятность, что в этой выборке частоты, с которыми встречаются свойства A и B, отличаются от их вероятностей не более чем на 5 %?
1.93.Случайные величины |
при |
|
|
взаимно не- |
зависимы и имеют одинаковыеξ |
дисперсии |
|
Вычислить |
|
|
= 1,2,…,4500 |
|
||
(приближенно) вероятность того, что среднее |
арифметическое этих |
|||
ξ = 5. |
|
|||
случайных величин отклонится от своего математического ожидания не более чем на 0,04.
1.94.Случайные величины |
ξ ,...,ξ |
независимы, причем |
ξ |
при- |
|||||
нимает два значения: |
|
|
|
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ξ = −√ |
|
|
ξ = √ |
|
|
|
|||
= |
= |
2 |
. |
|
|
||||
Методом характеристических функций найти предельное распре-
|
|
|
|
(ξ +...+ξ ) |
|
→ ∞ |
|
деление средних арифметических |
|
|
|
|
при |
. Дока- |
|
больших чисел. |
ξ |
,...,ξ ,… |
не подчиняется закону |
||||
зать, что последовательность |
|
|
|
|
|||
46
|
|
|
|
|
Ответы и указания к решению задач |
|
= 0, |
|
|
|
||||||||||||||||||||
1.1. |
Если |
= |
|
умножить на |
, то |
= 0. |
Если |
то из |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Если |
|
|
|
|
вытекает |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
+ |
, |
то, |
умножив=на А, |
получим |
|
|
|
|
|
Вместе с оче- |
|||||||||||||||||||
= |
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||
видным |
|
|
|
|
|
это дает |
|
= |
+ |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Если |
|
= |
, то |
= |
|
+ |
|
|
|
откуда |
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
1.2. |
|
|
|
). |
|
|
|
|
|
+ |
= |
следует |
|
|
или |
= . |
Но |
|
||||||||||||
а) нет; б) да. (Из |
|
̅ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
= |
+ |
|
̅ |
|
|
|
и+ |
|
+ |
̅ |
|
|
|
|
||||||||||||||
1.3. |
При |
|
|
= |
. |
(Из |
|
|
= , |
|
|
следует |
||||||||||||||||||
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0 |
|
|||||||||
+ |
̅ |
= 0 |
|
Отсюда |
|
или |
|
|
|
|
|
|
̅ |
или |
|
|
. |
|||||||||||||
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
_ |
|
_ |
_ |
_ |
|
|
|||||||||||||
Итак, |
|
). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1.4. |
_ |
= |
|
|
+_ |
|
)( |
|
_+_ |
|
_+ |
_ |
|
|
, |
|
|
|
|
|
+ |
|
||||||||
_ |
|
=_( |
|
|
|
|
|
|
) |
|
_ |
|
= (_ |
_ |
.)+( |
|
|
|||||||||||||
+ )( + )( + ) = |
|
+ |
̅+ |
|
|
+ |
|
|
̅ |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
1.5. |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
; |
|
= |
|
+ |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
. |
|
|
|
|
||
|
|
{ |
+ |
} = |
{ |
{ |
|
|
|
|
|
|
|
} − |
|
|
|
|
||||||||||||
1.6. |
|
+ |
} + |
} + |
{ } − |
|
{ |
|
{ } − |
|
||||||||||||||||||||
− { |
} + |
{ |
|
}. |
|
|
− 3 |
; |
a) |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1.8. |
|
{ |
+ |
+ |
} = 3 |
|
|
|
|
; б) невозможно. |
|
|
|
|
||||||||||||||||
1.7. |
|
|
|
35 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Из 1− |
|
≥ |
вытекает |
= 1+ |
|
|
log2 |
|
= 25 . |
|
|
|||||||||||||||||||
|
36 |
|
2 |
log(36⁄35) |
|
|
||||||||||||||||||||||||
1.9.1⁄10!
1.10.4!⁄10!
1.11.В вариантах а и в ответы одинаковые:
( |
− 1) |
|
, |
( |
−1) |
|
, |
2 |
( + )( |
+ |
−1) |
( + )( |
+ |
−1) |
( + )( + − 1) |
||
В варианте б: |
|
|
|
|
|
|||
2 ( + ) ,( + ) ,( + ) .
1.12.При любом k:
( + |
− 1)! |
= |
|
. |
( |
47 |
+ |
||
+ )! |
|
|
1.13.Пусть
= |
+ |
, |
= |
+ |
. |
Вероятности выигрышей:
= |
+ |
+ |
+...= |
1 − |
, |
||
= |
+ |
+ |
+...= |
1 − |
. |
||
Всегда < .
1.14. Пусть – событие, состоящее в том, что при k-м срабатывании прибор не перегорел. Тогда
|
|
|
= |
... |
|
... |
|
, |
|
{ |
|
} = |
|
|
(1 − |
); |
); |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
= |
|
|
|
̅ |
, |
|
{ |
} = 1 − |
(1 − |
|
|
||||||||||||||||||
|
= |
|
|
... |
|
|
, |
|
{ |
|
} = |
|
|
|
|
|
(1− |
). |
|
|
||||||||||||
1.15. |
a) |
( |
)( |
|
|
|
)! |
|
|
|
|
;б) |
( |
|
)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5) = , |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
= |
|
|
значения |
(3) = , |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= . |
|
|
|
|
следовательно, |
||||||||||||||||
1.16. |
При |
! |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
(3) > (5). |
|
|
( |
− 1)...( |
− |
+1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||||||
1.17. |
|
|
= |
|
|
, |
|
|
б = |
|
|
|
= |
|
. |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
тогда |
Вероятность |
k |
отказов |
равна |
) = |
|
|
(1− ) |
, |
|||||||||||||||||||||||
1.18. |
= 1 − |
, |
|
|
б = 10(1− ) , |
в = 45(1 − ) , |
|
|||||||||||||||||||||||||
г = 1 − |
− 10 (1 − ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1.19.Вероятность равна
1 { } = { | } { } = 5(0,5+0,6+0,7+0,8+0,8) = 0,68 .
48
1.20. |
|
|
|
|
|
|
{ |
} = |
{ | |
} |
{ |
} = 0,275. |
|
|
||||||||
1.21. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
1.22. |
|
|
|
|
|
|
|
( ) = |
|
|
|
( |
) |
( − |
). |
|
|
1 |
|
|||
1.23.{ |
| |
} = |
|
|
|
|
|
|
0,05 ⁄( |
+ |
) |
|
|
|
= |
. |
||||||
|
0,05 |
⁄( |
+ |
) +0,0025 |
⁄( |
+ |
) |
1+0,05 ⁄ |
||||||||||||||
|
|
{– |
} = ω , { | } = |
|
(1− ) |
, |
|
|
||||||||||||||
Так как |
это m удач при n испытаниях, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
{ |
| |
} = |
|
ω |
(1− |
) |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1.24. |
|
|
|
|
|
ω |
|
( |
1 |
− |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
= , |
б = , |
в = . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1.25.S – площадь области,
= 1− 1− π .
1.26.Указание: рассмотреть сперва часть полосы длиною L.
1.27. Пусть |
(– ) = 1− |
2 |
, |
(∞) = |
. |
||
|
|||||||
выбор новых мячей при первом выборе |
|||||||
|
{ } = |
|
|
, |
= 0,1,2,3. |
|
|
|
|
|
|
||||
Пусть А – выбор трех новых мячей при втором выборе.
Тогда |
{ |
| |
} = |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
{ |
|
} = |
11 |
= 0,39; |
|
|||||
{ } = |
|
|
|
28 |
|
|
= |
4719 |
≈ 0,20. |
|
|
( |
)49 |
|
23520 |
||||||
1.28. Вероятность того, что все |
шаров будут черными, равна |
|||||
(0|10,5) = |
⁄ . |
При |
= 1,2,3 |
получаем значения 0,50; 0,22; |
||
0,08. Из условия |
(0|10,5) 0,02 |
находим |
= 3. |
|||
|
|
|
|
|||
1.29.Точный ответ:
(0| , ) |
= |
( |
− )( − +1)…( − − +1) |
0,1. |
||||||||
|
( |
− 1)…( |
− |
+1) |
|
|||||||
Биноминальное приближение: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Пуассоновское |
|
|
(0, ) = (1− |
) |
0,1 ; |
= |
|
. |
|
|||
|
|
|
|
|||||||||
|
приближение: |
|
|
0,1. |
|
|||||||
В биноминальном |
(0, |
) = |
|
|
|
|||||||
|
|
|
приближении: |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
= 1+ |
−ln10 |
|
= 22. |
|
|
|
|||
В пуассоновском |
|
ln(1− |
⁄ |
) |
|
|
|
|||||
|
|
приближении: |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
= 1+ |
ln10 |
= 24. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
⁄ |
|
|
|
|
||||
1.30.Точный ответ:
В |
|
{ 2} = 1 −1(1− ) − |
(1 − ) |
= 0,957. |
||||
|
пуассоновском приближении: |
|
|
|||||
1.31. |
{ 2} = |
1 − |
− |
= 1 −6 |
= 0,959. |
|||
|
|
|||||||
1.32. |
{4} = ( |
!) |
|
= 0,168. |
|
|
||
|
|
{ξ = } = 2 |
, = 0,1,..., . |
|
||||
1.33.Если ξ – количество хороших изделий, выпущенных между
1.34. |
|
{ξ = |
} = (1− ) |
, ξ = −1. |
||
двумя периодами, то |
|
|
|
|
|
|
|
{ξ = 1} = 0,1; |
{ξ = 2} = 0,99; |
{ξ = 3} = 0,081; |
|||
|
{ξ = 4} = 0,0729; |
{ξ = 5} = 0,6561; ξ = 4,095. |
||||
1.35.Вероятность того, что при одном розыгрыше победитель
будет определен, равна |
) |
|
|
|
|
||
2 |
( − |
(1 − |
) , |
||||
= |
|
( −1) |
; {ξ = } = |
||||
1.36. = 2. |
|
= 1,2,..., ξ = |
1 |
. |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
50