Савёлова Методические указания к решению задач по вероятностным разделам 2014

Примеры решения типовых задач

Пример 4.1

Задана

случайная

функция

показательному

закону.

случайная

величина,

распределеннаяξ( ) =

по +

,

≥ 0,

= const, −

Определить плотность сечения ξ( ), > 0,

( ),

( ,

′),

( ).

> 0:

− 1 =

( ),

( ) =

Вычисляем величины

( ), ( , ′),

( ):

( ) = [

+ ] =

+

;

′

1

( , ′) =

−

′ −

=

−

=

;

( ) =

.

Ответ:

(

) =

( ), ( ) =

+ ,

( , ′) =

,

( ) =

.

φ( ),φ

ξ( ) = φ( ) +

φ ( ),

,…,

−

где

( ),…,φ ( ) −

неслучайные функции,

цен-

трированные некоррелированные случайные величины,

( ) =

, = 1,…, . Вычислить

( ),

( , ′),σ ( ).

( ) = φ( ),

φ ( )

φ ( ′) =

( , ′) =

=

,

φ ( )φ ( ′) [

] =

φ ( )φ ( ′),

( ) =

φ ( ).

92

( , ′)

φ ( )

φ ( ′)

=

′

,

φ ( )

( ) =

.

Ответ:

φ ( )φ ( ′), ( ) =

φ ( ),

( ) = φ( ), ( , ′) =

( ) =

φ( )

( , ′) =

φ ( ) φ ( ′)

,

′

,

( ) =

φ ( )

.

Задачи

ξ( ) =

+ , ≥ 0, = const,

случайная величина,

4.1.

Задана случайная функция

−

( ) =

,

(

) = σ

распределенная по нормальному закону с

параметрами

. Определить плотность сечения

(4.2., ′),Дана( ),случайная( ).

функция

,

ξ( ) =

+

93

ям

,α ,…,α −

постоянные, а

,…,

−

Найти

где

удовлетворяют услови-

( ) = 0, ( ) = σ , [

] = 0, ≠ .

ξ( ), ≥ 0,

(4.3.),σНекоррелированные( ).

случайные функции

( ,

и

,

обла-

(

)

( ) = ,

) =

дают числовыми характеристиками:

ξ( )

η( )

Найти( ) = −математическое, ( , ′) = ′

ожидание. , корреляционную функцию и

дисперсию случайной функции

4.4. Задана случайная функцияζ( ) = ξ( ) +η( ).

, где ω – посто-

янная,U – случайная величина,

причемξ( ) =

cos(ω )

η( )

Найти

ξ( )

= ξ( )+

числовые характеристики случайных функций( ) = 2,σ(и

)

= 3.

4.5.

На вход динамической системы поступает случайная функ-

ция

, сечение которой в любой момент

> 0

распределено нор-

мальноξ( )с параметрами

1 приξ( ) >

,

η( )

Найти математическое

ожидание и дисперсию реакции

, еcли

ξ( ) = 0,

ξ( )

=

, > 0.

η( ) =

0при−

≤ ξ( )

≤

,

где

.

−1 приξ( ) < −

,

4.6.= const > 0

с

числовыми

характеристиками

Случайная функция

( ) = 0 и ( , ′) подвергаетсяξ( )преобразованию

( ) = 0 и

( ,

′) = 3 (

) подвергается преобразованию

η( ) = −

ξ( )

+ τξ(τ)

τ +sin(ωt).

( ) =

( ,

= const;

;

(τ) =

),гдеτ = −

( ) =

(0) =

= const;

ω

=

∫

τ

τ−

нарной( )случайной функции( )

;

спектральная плотность стацио-

(τ) =

(ω)

ω.

Динамическая система описывается обыкновенным дифферен-

циальным

уравнением

с

постоянными

коэффициентами

ей

, ,…: ,

, , ,…, ,

связывающим воздействие ξ( ) с реакци-

η( )

η( )

η( )

η( )

+ η( ) =

+

95+ +

=

ξ( )

+

ξ( )

+ +

ξ( )

+ ξ( ).

=

,

( ω)|

|Ф( ω)|

|

=

|

( ω)|

,

,−

квад-

рат( ω) =

( ω)

+ + , ( ω) = ( ω) + +

модуля частотной характеристики системы;

(ω) = |Ф( ω)|

(ω)− спектральная плотность η( );

(τ) = ∫

(ω)

ω−корреляционная функцияη( );

теристики:

система(τ) =

| |

Динамическая,

описывается.

уравнением

η( )

+ η( ) =

ξ( )

+ ξ( ),

= = 2, =

= 1.

η( ): , (τ).

Найти характеристики случайной функции

Решение. Имеем

= 2 .

96

|Ф( ω)|

=

4+ω

.

1+4ω

2

Спектральная плотность

(ω) =

4+ω

α

=

1

при

π 1+4ω α +ω

π 1+4ω

α = 2,

так как

(τ) =

1

| |

τ.

2π

Отсюда находим

2

1

=

,

(τ) =

ω =

π

1+4ω

2

| |

=

π

1+4ω

,ω =

2

=

приτ> 0.

(τ) =

| |

.

| |

Ответ:

, (τ) =

= 2

.

где a и ω – постоянные,

центрированные некоррелирован-

ные случайные величины,

обладающие дисперсией

,

−

=

= σ

( ),

( ,

),σ ( ).

Требуется( )

найти( )

.

Стационарна ли случайная функция

( )

( )

Стационарна ли центрированная случайнаяξ( )?

функция

4.9.

Случайная функция

ξ( )

обладает числовыми

ξхарактеристи− ?-

ками:

функции.

Найти числовые( ) = 0,характеристики( , ) = [1+случайной( − ) ]

η( ) =

ξ(

) .

плотность

(ω) =

(

)

.

Найти ее корреляционную функцию.

4.11.Найти спектральную

плотность стационарной случайной

функции ξ( ), имеющей корреляционную функцию

(4.12.τ) = σ

| |

cos(βτ).

Динамическая система описывается уравнением, связываю-

щим воздействие ξ( ) с реакцией η( ):

η( )

+6

η( )

+9η( ) = ξ( ).

t

t

98

найти спектральную плотность

реакции

,

если воздейст-

вие

ξ( )

стационарно и

(τ) = σ

| |.

η( )

(ω)

> 0

η( )

4.13.Найти дисперсию в момент

частного решения

дифференциального уравнения

η( )

удовлетворяющего

+ ∙η( ) =

∙ξ( ),

= 0,

функция ξ( ) стационарна,

( ) = 0,

η(0)

если случайная

(ω) =

σ

α

начальному условию

,

α > 0.

π α +ω

4.3. Цепи Маркова

Пусть случайная функция

рассматривается в моменты вре-

принимает, ,...,

и при каждомξ(значении)

аргумента

=

функция

мени

одно из значений

функция

Обозначим через

)

в момент времени

вероятность того, что случайная ,

,..., .

(

принимает значение

.

Вектор

ξ( )

называ-

Маркова в момент

ется вектором вероятностей состояний( ) =цепи[ (

),...,

(

)]

.

Очевидно,

(

)

Обозначим вероятность того, что цепь= 1.

Маркова в момент при-

мет значение

при условии,

что в момент

она приняла значе-

ние , через

вероятность перехода из состояния

в

состояние

времени

за интервал( , ) −

(

(

,

).

Справедливо соотношение

где

(

) =

)Г(

, ),

(

, ) .

Г(

, ) =

(

, )

(

, ) …

( …

, )

99 (

, ) …

(

, )

Г(

,

)

называется матрицей вероятностей перехода (стохас-

тической) за моменты времени

)поведение.

Для важного класса цепей Маркова( ,

их через большой

промежуток времени не зависит от начального состояния.

Предельные

→

(

,

) = π ,

, = 0,1,..., .

вероятности удовлетворяют системе уравнений

Цепь Маркова называетсяπ =

πоднородной, = 0,, …если, . условные вероятно-

сти за k шагов

( ),

(

),..., (

)) = ( (

)| (

)).

(

(

)|

Примеры решения типовых задач

Пример 4.4

В простейшем случае матрица вероятностей перехода в про-

странстве из двух состояний 0 и 1 можно записать в виде

1 −α

α

,

β

1 −β

α = β = 0

0 α,β 1.

В частности, при

получаем единичную

гдеГ =

матрицу, а при

α = β = 1

– антидиагональную матрицу

1

0

,

0

1 .

0

1

1

0

С другой стороны, при α = β =

мы получаем матрицу

1 2

1 2 .

1

В

1

2

2

этом случае система может либо остаться в том же состоянии,

либо поменять его с вероятностью

Считая цепь Маркова

однородной, найти матрицу вероятностей

1 .

перехода за k шагов.

2

100