Ермолаева Сборник задач к выполнению индивидуалныкх домашникх заданиы 2015
.pdf
2. ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ ИДЗ
Определим по таблице приложения 1 номера задач, которые входят в вариант 19. Результаты приведены в табл. П1.
Таблица П1
|
|
Номера задач ИДЗ для варианта 19 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
№ задач по разделам |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
№ |
|
|
Раздел 1 |
|
|
|
|
Раздел 2 |
|
|
||||
варианта |
1 |
2 |
|
3 |
|
4 |
5 |
6 |
7 |
|
8 |
|
9 |
10 |
19 |
1.20 |
1.34 |
|
1.46 |
|
1.78 |
1.100 |
2.18 |
2.39 |
|
2.60 |
|
2.71 |
2.100 |
Задача 1.20. Прямой металлический стержень диаметром d = = 5 см и длиной l = 4 м, находящийся в жидком диэлектрике (ε = = 10), несет равномерно распределенный по его поверхности заряд Q = 500 нКл. Определите напряженность E поля в точке, находящейся против середины стержня на расстоянии a = 1 см от его поверхности.
Дано: |
|
СИ |
|
|
|
|
|
|
Решение. Линейная плотность за- |
||||||||||||||||||||||||||||||
d = 5 см |
5 10-2 |
м |
|
|
ряда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
l = 4 м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
τ = Q / l. |
(1) |
|||||||||||||
ε = 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Напряженность поля, создаваемого |
||||||||||||||||||||||||
Q = 500 нКл |
5 10-7 |
Кл |
|
|
стержнем, на расстоянии r от оси сим- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
a = 1 см |
10-2 м |
|
|
|
|
метрии стержня (рис. П1): |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E = |
|
|
|
2τ |
|
||||||||||
E = ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4πεε0r |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. П1
Учитывая, что r = a + d/2, получаем
E = |
2τ |
= |
Q |
|
|
|
. |
||
4πεε0r |
|
|||
|
|
2πεε0 (a + d / 2)l |
||
Подставляем численные значения:
91
|
E = |
|
|
5 10−7 |
|
|
= |
|
|
|
||
|
2 3,14 10 |
8,85 |
10−12 (10−2 + 5 10−2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
/ 2) 4 |
|
|
|
|||||||
= |
|
5 10−7 |
|
|
= |
5 10−7 |
= 6,43 10 |
3 |
В |
|||
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||
|
10−12 3,5 |
10−2 |
|
7780,92 10−14 |
|
|
||||||
555,78 |
4 |
|
|
|
|
м |
||||||
Ответ: Е = 6,43 103 В/м.
Задача 1.34. Заряд 1 нКл переносится в воздухе из точки, находящейся на расстоянии 1 м от бесконечно длинной равномерно заряженной нити, в точку на расстоянии 10 см от нее. Определите работу, совершаемую против сил поля, если линейная плотность
заряда нити τ = 1 мкКл/м. |
|
|
|
||
Дано: |
|
СИ |
|
Решение. Работа А внешней силы |
|
|
|
||||
τ = 1 мкКл/м |
|
10-6 м |
|
по перемещению заряда q из точки |
|
r1=1 м |
|
|
|
поля с потенциалом ϕi в точку с по- |
|
r2=10 см |
|
|
|
тенциалом ϕ0 равна: |
|
q = 1 нКл |
|
1 10-9 Кл |
|
A = q(ϕ0 − ϕi ) . |
(1) |
А = ? |
|
|
|
Бесконечная равномерно |
заря- |
женная нити с линейной плоскостью заряда τ создает поле напряженностью
|
|
|
|
E = |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
|||
|
|
|
|
|
2πεε0r |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Напряженность и |
потенциал поля |
связаны |
соотношением |
||||||||||||||||||
E = − |
dϕ |
, откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
dr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
dϕ = −Edr . |
|
|
|
|
|
|
(3) |
||||||||||
Разность потенциалов на расстоянии r1 и r0 от нити: |
(4) |
||||||||||||||||||||
|
|
ϕ0 − ϕ1 = −∫ Edr = − |
|
|
τ |
|
∫ dr |
= |
|
τ ln r1 , |
|||||||||||
|
|
|
|
r0 |
|
|
|
|
r0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
r1 |
2πεε0 r1 r |
|
2πεε0 |
r0 |
|
||||||||||||
Подставляя (4) в формулу (1), определим искомую работу |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
A = |
|
|
qτ |
ln |
|
r1 |
= |
|
|
|
|
|
(5) |
||||
|
|
|
|
2πεε0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
r0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
= 1 10−9 |
|
10−6 |
|
|
|
|
|
|
ln |
1 |
|
= 4,1 10−5 Дж. |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2 |
3,14 8,85 10−12 1 |
0,1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
Ответ: А = 4,1·10-5 Дж.
92
Задача 1.46. Как изменится энергия заряженного плоского воздушного конденсатора (ε = 1) при уменьшении расстояния между его пластинами в два раза? Рассмотреть два случая: 1) конденсатор отключен от источника напряжения, 2) конденсатор подключен к
источнику напряжения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Дано: |
|
Решение. Если конденсатор отключен от источ- |
||||||||||||
|
||||||||||||||
ε = 1 |
|
ника напряжения, то заряд на его обкладках не будет |
||||||||||||
d2 = 0,5 d1 |
|
изменяться при сближении пластин, т.е. q = const. Ем- |
||||||||||||
|
кость же конденсатора будет увеличиваться исходя из |
|||||||||||||
W2/W1 = ? |
|
|||||||||||||
|
формулы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
C = εε0S . |
(1) |
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
||||
Воспользуемся формулой, в которой энергия конденсатора |
||||||||||||||
выражается через его заряд и емкость: |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
W = |
|
q2 |
= |
q2d |
. |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
2C |
|
2ε0εS |
|
|||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W2 |
= |
q2d2 |
: |
q2d1 |
= |
d2 |
= 0,5. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
W1 |
|
2ε0εS 2ε0εS d1 |
|
||||||||
Видим, |
|
что при сближении |
пластин |
энергия конденсатора |
||||||||||
уменьшается.
На обкладках конденсатора поддерживается постоянное напряжение, т.е. U = const. Воспользуемся формулой, в которой энергия конденсатора выражается через напряжение и емкость и с учетом
(1) получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W = |
CU 2 |
= ε0εSU 2 . |
|
|||
|
|
|
|
|||||
|
|
2 |
|
2d |
|
|
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
W2 |
= ε0εSU22 |
: ε0εSU12 |
= |
d1 |
= 2. |
|||
|
|
|
||||||
|
W1 |
2d2 |
|
2d1 |
|
d2 |
|
|
Во втором случае при сближении пластин энергия конденсатора, будучи обратно пропорциональна величине d , увеличивается.
Ответ: 1) W2 = 0,5 ; 2) W2 = 2 .
W1 W1
93
Задача 1.78. В медном проводнике сечением S = 6 мм2 и длиной l = 5 м течет ток. За 1 мин в проводнике выделяется Q =18 Дж теплоты. Определите напряженность поля, плотность и силу тока в проводнике. Удельное сопротивление меди равно ρ =1,7 10-8 Ом м.
Дано: |
СИ |
S = 6 мм2 |
6 10-6 м2 |
l = 5 м |
|
t = 1 мин |
60 с |
Q = 18 Дж |
|
ρ(Cu) = 1,7 10-8 Ом м. |
|
E = ? I = ? j = ? |
|
Решение.
1. Выразим из закона Джоуля– Ленца Q = I 2 Rt ток:
I = |
Q |
, |
(1) |
|
|||
|
Rt |
|
|
где t – время.
Сопротивление проводника
R = ρl , |
(2) |
S |
|
где ρ, l, S – сопротивление, длина и площадь поперечного сечения проводника соответственно.
Подставим (2) в (1):
|
QS |
|
|
18 6 10−6 |
|
I = |
|
= |
|
|
= 4,6 A. |
ρlt |
|
||||
|
|
1,7 10−8 5 60 |
|||
2. По определению, плотность тока равна
j = |
I |
= |
4,6 |
= 0,77 10 |
6 |
А/м |
2 |
= 7,7 10 |
5 |
А/м |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
S |
6 10−6 |
|
|
|
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Напряженность поля Е найдем, используя закон Ома в дифференциальной форме:
j = γ E = Eρ ,
где γ = ρ1 – удельная проводимость, ρ- удельное сопротивление.
E = jρ = 7,7 105 1,7 10−8 = 1,3 10−2 В/м .
Ответ: Е = 1,3 10-2 В/м, I = 4,6 A , j = 7,7 105 А/м2.
Задача 1.100. При какой температуре Т атомы ртути имеют кинетическую энергию поступательного движения, достаточную для ионизации? Потенциал ионизации атома ртути U = 10,4 B.
94
Дано: |
Решение. Средняя кинетическая энергия посту- |
||
U = 10,4 B |
пательного движения атомов ртути равна: |
||
Wk = Wп |
3 |
|
|
Wk = |
|
kT , |
|
Т = ? |
|
||
2 |
|
||
где k – постоянная Больцмана, k =1,38·10-23 Дж/К. Потенциальная энергия атомов в металле Wп = eU . По закону
сохранения энергии
|
Wk = Wп |
или |
3 |
kT = eU . |
|||
|
|
||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
Отсюда получаем |
|
|
|
|
|
|
|
Т = |
2eU |
= |
2 1,6 10−19 10,4 |
= 8036 К. |
|||
3k |
|
3 1,38 10−23 |
|||||
|
|
|
|
||||
Ответ: Т = 8036 К.
Задача 2.18. Квадратная проволочная рамка расположена в одной плоскости с длинным прямым проводом так, что две ее стороны параллельны проводу. По рамке и проводу текут одинаковые токи, равные I = 200 А. Определите силу, действующую на рамку, если ближайшая к проводу сторона рамки находится от него на расстоянии, равном ее длине.
Дано: |
|
|
Решение. Сила взаимодействия двух прямоли- |
|||||
I = 200 А |
|
нейных бесконечно длинных параллельных токов на |
||||||
a = l |
|
единицу их длины |
μ0 I1I2 |
|
||||
I1 = I2= I |
|
|
|
|
F = |
, |
||
F = ? |
|
|
|
|
2 L |
|||
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
где L – расстояние между токами I1 и I2 (рис. П2). |
|||||
Тогда на провод длиной l = a, |
|
|
||||||
находящийся на расстоянии a от |
|
|
||||||
бесконечного |
провода, будет |
|
|
|||||
действовать сила |
|
|
||||||
F1 = |
μ0 I1I2 |
a = |
μ0 I1I2 |
. |
|
|
||
|
|
|
|
|
||||
|
2πa |
|
|
2π |
|
|
||
На провод длиной l = a, на- |
|
ходящийся на расстоянии r = 2a |
|
от бесконечного провода, будет |
|
действовать сила |
Рис. П2 |
|
95
|
|
|
F2 = |
μ0 I1I2 |
a = |
μ0 I1I2 |
. . |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
2π2a |
|
|
|
4π |
|
|
|
||||||
Из рис. П2 видно, что суммарная сила равна F = F1–F2, отсюда |
|||||||||||||||||||
|
F = |
μ0 I1I2 |
|
− |
μ0 I1I2 |
|
= |
μ0 I1I2 |
. |
||||||||||
|
2π |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4π |
|
|
|
|
4π |
|
|
|||||
По условию задачи I1 = I2, поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
F = |
μ0 I 2 |
= |
|
4π 10−7 |
2002 |
= |
4 10 |
−3 |
Н = 4 мН . |
||||||||||
4π |
|
|
|
4π |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Ответ: F = 4 мН.
Задача 2.39. Электрон движется в магнитном поле с индукцией B = 0,02 Тл по окружности радиусом R = 1 см. Определите кинетическую энергию Т электрона.
Дано: |
Решение. Траектория движения частицы в |
|||||
В = 0,02 Тл |
магнитном поле является окружностью толь- |
|||||
R = 10-2 м |
ко в случае, когда угол между вектором ско- |
|||||
q= |
|
e |
|
= 1,6 10−19 Кл |
рости частицы и вектором магнитной индук- |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
m = 9,11 10−31 кг |
||||||
|
||||||
ции составляет 90 °, т.е. (υ, B) = 90° . |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
В данном случае сила Лоренца, дейст- |
|||||
Т = ? |
||||||
|
|
|
|
|
вующая на частицу, будет являться центрост- |
|
ремительной силой, сообщающей частице центростремительное ускорение:
FЛ = qυB = maц = mυ2 / R . Выразим отсюда скорость частицы
υ = qBR / m .
Кинетическую энергию электрона определим по формуле
T = |
mυ2 |
= (qBR)2 |
= |
(1,6 10−19 0,02 10−2 )2 |
= 5,63 10−16 Дж . |
|
2 9,1 10−31 |
||||
2 |
2m |
|
|
||
Ответ: T = 5,63 10−16 Дж .
Задача 2.60. Проводник длиной l = 20 см перемещают в однородном магнитном поле с индукцией В = 0,1 Тл так, что его ось составляет угол α = 30° с направлением поля. С каким ускорением требуется двигать проводник, чтобы разность потенциалов на его концах возрастала равномерно на 1 В за 1 с?
96
Дано: |
СИ |
Решение. При равномерном движе- |
l = 20 см |
0,2 м |
нии проводника в однородном магнит- |
В = 0,1 Тл |
|
ном поле на его концах возникает посто- |
α = 30° |
|
янная ЭДС индукции, равная |
v/ t = 1 B/1 c |
|
ξi = В l υsin(α), |
|
|
где α – угол между осью проводника и |
a = ? |
|
|
|
|
направлением магнитного поля. |
Для того чтобы ЭДС индукции изменялась, проводник должен двигаться в однородном магнитном поле ускоренно. Если в момент времени t1 скорость проводника была υ1, индуцированная ЭДС равнялась
ξ1 = В l υ1 sin(α).
В момент t2 скорость была v2 и ЭДС равнялась
ξ2 = В l υ2 sin(α). Приращение ЭДС составит
ξ = ξ2 – ξ1 = –В l (υ2 – υ1) sin(α) ,
откуда
ξ = − Bl υ sin α = − Bla sin α ,
tt
где а – ускорение, с которым движется проводник. Тогда получим
|
ξ |
|
|
|
|
a = − |
t |
= − |
1 |
= −100 м/с2 . |
|
|
|||||
Bl sin α |
0,1 0, 2 sin 30° |
||||
|
|
|
|||
Ответ: а = –100 м/с2. |
|
|
|
||
Задача 2.71. По обмотке соленоида индуктивностью L = 3 мГн, находящемся в диамагнитной среде, течет ток I = 0,5A. Длина соленоида l = 35 cм, число витков N = 1200, площадь поперечного
сечения S = 15 см2. |
Определите магнитную индукцию В внутри |
||||||
соленоида. |
|
|
|
|
|
|
|
Дано: |
|
СИ |
|
Решение. Индуктивность соленоида |
|||
|
|
||||||
L = 3 мГн |
|
0,003 Гн |
|
рассчитывается по формуле: |
|||
I = 0,5 A |
|
|
|
L = μμ0 |
N |
2 |
S. |
l = 35 cм |
|
0,35 м |
|
l |
|
||
N = 1200 |
|
15 10-4 м2 |
|
Из этой формулы выразим магнитную |
|||
S = 15 см2 |
|
|
|||||
|
|
проницаемость среды |
|
|
|||
В = ? |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
μ = |
Ll |
(1) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||
|
|
|
N 2Sμ0 |
|||||||||||
Напряженность магнитного поля в соленоиде равна |
||||||||||||||
|
|
|
|
Н = |
NI |
, |
|
(2) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
||||
Магнитная индукция В рассчитывается по формуле: |
||||||||||||||
|
|
|
|
В = μ0μН . |
(3) |
|||||||||
Подставим выражения (1), (2) в (3): |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
Ll |
|
NI |
|
LI |
||||||
|
|
В = μ0 |
|
|
|
|
= |
|
= |
|||||
|
|
N 2Sμ0 |
l |
NS |
||||||||||
= |
|
3 10−3 0.5 |
|
= 8,33 |
10−4 |
Тл = 0,833 мТл. |
||||||||
|
|
|
||||||||||||
1200 15 10−4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ответ: В = 0,833 мТл. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Задача 2.100. |
Напряженность однородного магнитного поля в |
|||||||||||||
платине равна 10 А/м. Определите магнитную индукцию поля, создаваемого молекулярными токами, если магнитная восприимчивость платины χ равна 3,6·10-4.
Дано: |
Решение. Вектор собственной магнитной индук- |
Н = 10 А/м |
ции вещества равен: |
χ = 3,6·10-4 |
В′ = μ0 J , |
B′ = ? |
где J – намагниченность вещества. |
|
J = χH . |
Отсюда получаем |
|
|
В′ = μ0χН = 4π 10−7 3,6 10−4 10 = |
|
= 4,52 10−9 Тл = 4,52 нТл. |
Ответ: В′ = 4,52 нТл .
98
3. СПРАВОЧНЫЕ ТАБЛИЦЫ
НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ
Формулы алгебры и тригонометрии
x = −b ± b2 − 4ac
2a
Z = a + ib
Z = ρ (cos ϕ + i sinϕ) Z = ρeiϕ
|Z| = ρ = a2 + b2
sin(x + y) = sinx cosy + siny cosx cos(x + y) = cosx cosy – sinx siny sin2x = 2sinx cosy
sin2x = ½(1– cos2x)
sin(ax) sin(bx) = ½ cos(a–b)x –
– ½cos(a+b)x
|
p |
|
|
p 2 |
||
x = − |
|
± |
|
|
|
− q , |
|
|
|||||
|
2 |
|
|
2 |
|
|
Z* = a – ib
Z* = ρ(cos ϕ – isinϕ)
Z* = ρe-iϕ
ZZ* = |Z|2
sin(x – y) = sinx cosy – siny cosx
cos(x – y) = cosx cosy +sinx siny cos2x = cos2x – sin2x
cos2x = ½(1 + cos 2x)
sin(ax) cos(bx) = ½ sin(a+b)x –
– ½ sin(a–b)x
Формулы приведения для тригонометрических функций
π |
|
|
sin (π ± α ) = sin α , |
|
3 |
|
|
|
|
|||||||
sin |
|
+ α |
= cos α , |
sin |
|
|
|
|
|
|
π ± α = − cos α , |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||
π |
|
|
|
cos (π ± α ) = − cos α , |
3 |
|
|
|
||||||||
cos |
|
|
+ α |
= − sin α , |
cos |
|
|
|
|
|
π ± α |
= ± sin α , |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||
|
π |
|
|
|
tg (π ± α ) = ± tg α , |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||
tg |
|
+ α = −ctgα , |
tg |
|
|
|
|
|
π ± α |
= ctg α , |
||||||
2 |
2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
π |
|
|
ctg (π ± α ) = ± ctg α , |
3 |
π ± α |
|
= tg α . |
|||||||||
ctg |
|
+ α |
= − tg α , |
ctg |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||
99
|
Значения тригонометрических функций |
|
||||
|
|
для стандартных углов |
|
|
||
Функция |
|
|
Угол α, град |
|
|
|
|
0 (360) |
30 |
45 |
60 |
90 |
180 |
sinα |
0 |
1/2 |
2 / 2 |
3 / 2 |
1 |
0 |
cosα |
1 |
3 / 2 |
2 / 2 |
1/2 |
0 |
–1 |
tgα |
0 |
3 / 3 |
1 |
3 |
- |
0 |
ctgα |
- |
3 |
1 |
3 / 3 |
1 |
- |
|
Формулы для приближенных вычислений |
|
||||
Если а << 1, h << 1, то в первом приближении можно принять:
1 |
|
≈ 1 a |
|
|
|
1 |
≈ 1 |
1 |
a |
||||||
|
|
|
|
|
|
1± a |
|
|
|||||||
1± a |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||
|
1+ h |
≈ 1+ h − a |
|
|
1± a ≈ 1± |
1 |
a |
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
1+ a |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||
(а ±h) |
n |
≈ a |
n |
± na |
n−1 |
a |
|
|
|
|
|
||||
|
|
h |
e |
≈1+a |
|||||||||||
(1 ±a)2 ≈ 1± 2a |
|
ln(1+ a) ≈ a |
|||||||||||||
Если угол α мал (α < 5о или α < 0,1 рад) и выражен в радианах, то в первом приближении можно принять:
sin α ≈ tg α ≈ α, cos α ≈ 1.
Формулы элементарной геометрии
Длина окружности l = 2πR. Площадь круга S = πR2.
Объем сферы (шара) V = 4 πR3. 3
Площадь поверхности сферы (шара) S = 4πR2.
100